角函数的图象与性质人教A.doc

　　第3讲　三角函数的图象与性质【2013年高考会这样考】1．考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用．2．考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．【复习指导】1．掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象．通过三角函数的图象研究其性质．2．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用．基础梳理1．“五点法”描图(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质　　函数性质　　y＝sin xy＝cos xy＝tan x定义域RR{x|x≠kπ＋，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R / 对称性对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：无对称轴对称中心：(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间，2kπ＋(k∈Z)；单调减区间，2kπ＋(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间，kπ＋(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数y＝cos，x∈R(　　)．A．是奇函数B．是偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数答案　C2．函数y＝tan的定义域为(　　)．A. B.C. D.答案　A3．(2011·全国新课标)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)．A．f(x)在单调递减B．f(x)在单调递减C．f(x)在单调递增D．f(x)在单调递增解析　f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x) ＝f(x)可知f(x)为偶函数，因此φ＋＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜可得φ＝，所以f(x)＝cos 2x，在单调递减．答案　A4．y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)．A．(－π，0) B.C. D.解析　∵y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋(k∈Z)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin的一个对称中心是.答案　B5．(2011·合肥三模)函数f(x)＝cos的最小正周期为________．解析　T＝＝π.答案　π　　考向一　三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y＝lg sin 2x＋的定义域．(2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．[审题视点] (1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x的范围．(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决．解　(1)依题意⇒⇒.(2)设sin x＝t，则t∈.∴y＝1－sin2x＋sin x＝－2＋，t∈，故当t＝，即x＝时，ymax＝，当t＝－，即x＝－时，ymin＝. (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．【训练1】 (1)求函数y＝的定义域．(2)已知函数f(x)＝cos＋2sin·sin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值．解　(1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为.(2)由题意得：f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)·(sin x＋cos x)＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin.又x∈，∴2x－∈，∴sin∈.故当x＝时，f(x)取最大值1；当x＝－时，f(x)取最小值－.考向二　三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y＝2cos2－1是(　　)．A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数[审题视点] 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性．解析　y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x为奇函数，T＝＝π.答案　A 求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．【训练2】 已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．解析　由f(x)＝(sin x－cos x)sin x＝sin2x－sin xcos x＝－sin 2x＝－sin＋.∴最小正周期为π.答案　π考向三　三角函数的单调性【例3】►已知f(x)＝sin x＋sin，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．[审题视点] 化为形如f(x)＝Asin(x＋φ)的形式，再求单调区间．解　f(x)＝sin x＋sin＝sin x＋cos x＝sin.由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得：－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，又x∈[0，π]，∴f(x)的单调递增区间为. 求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．【训练3】 函数f(x)＝sin的单调减区间为______．解析　f(x)＝sin＝－sin，它的减区间是y＝sin的增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得：kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的减区间为(k∈Z)．答案　(k∈Z)考向四　三角函数的对称性【例4】►(1)函数y＝cos图象的对称轴方程可能是(　　)．A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝(2)若0＜α＜，g(x)＝sin是偶函数，则α的值为________．[审题视点] (1)对y＝cos x的对称轴为x＝kπ，把“ωx＋φ”看作一个整体，即可求．(2)利用＋α＝kπ＋(k∈Z)，求解限制范围内的α.解析　(1)令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，令k＝0得该函数的一条对称轴为x＝－.本题也可用代入验证法来解．(2)要使g(x)＝cos为偶函数，则须＋α＝kπ＋，k∈Z，α＝kπ＋，k∈Z，∵0＜α＜，∴α＝.答案　(1)A　(2) 正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．【训练4】 (1)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.解析　(1)由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，即3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，∴k＝0，故φ＝.(2)由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，∴φ＝kπ＋，k∈Z.答案　(1)　(2)kπ＋，k∈Z　　难点突破9——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析．一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】► (2011·镇江三校模拟)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► (2011·泉州模拟)已知f(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为(　　)．A. B. C．－ D．－▲根据三角函数的周期性求解参数(教师备选)【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y＝sin ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为，则ω＝________.▲根据三角函数的最值求参数(教师备选)【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝处有最小值－2，则常数a、b的值是(　　)．A．a＝－1，b＝ B．a＝1，b＝－C．a＝，b＝－1 D．a＝－，b＝1 友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。