高中数学 第二章 平面向量第27课时平面向量数量积的物理背景及其含义检测试题 新人教A版必修4.doc

高中数学 第二章 平面向量第27课时平面向量数量积的物理背景及其含义检测试题 新人教A版必修4一、选择题1．[xx·雷州联考]在△ABC中，a＝5，b＝4，C＝60°，则·的值为(　　)A．－10　 B．10C．－10 D．10解析：·＝||||cosC＝a·b·cosC＝5·4·cos60°＝10.答案：B　2．[xx·江西南昌月考]已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12.则向量a在向量b方向上的投影为(　　)A．4 B．－4C．－2 D．2解析：a在b方向上的投影为＝＝－4.答案：B　3．在△ABC中，＝a，＝b，a·b>0，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不能确定解析：由题意得a与b的夹角是θ＝π－B，由a·b>0，得cos(π－B)>0，即－cosB>0，cosB<0，所以B为钝角，△ABC是钝角三角形．答案：C　4．已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题：①|a·b|＝|a||b|⇔a∥b；②a、b反向⇔a·b＝－|a||b|；③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.其中正确命题的个数是(　　)A．1 B．2C．3 D．4解析：①∵a·b＝|a||b|cosθ，∴由|a·b|＝|a||b|及a、b均为非零向量可得|cosθ|＝1，∴θ＝0或θ＝π，∴a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题；②若a、b反向，则a、b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|cosπ＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③当a⊥b时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，该平行四边形一定为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a、b为邻边的平行四边形为矩形，所以有a⊥b，因此命题③也是真命题；④当|a|＝|b|，但是a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|.反过来，由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故命题④是假命题．故选C.答案：C　二、填空题5．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(3a＋b)的值为－8.解析：b·(3a＋b)＝3a·b＋|b|2＝3|a||b|cos120°＋16＝－8.6．[xx·江南十校联考]边长为1的等边三角形ABC中，则·＝－.解析：·＝－·＝－||||cosB＝－.7．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，(a＋b)·(2a－3b)＝12，则|b|＝；b在a方向上的投影等于1.解析：由(a＋b)·(2a－3b)＝12，可得a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0，解得|b|＝；b在a方向上的投影等于|b|cosθ＝×＝1.三、解答题8．已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)(3a)·(b)；(3)(3b－2a)·(4a＋b)．解：(1)a·b＝|a||b|cosθ＝10×12×cos120°＝－60.(2)(3a)·(b)＝(a·b)＝×(－60)＝－36.(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.9．向量a，b均为非零向量，且|a|＝|b|，a、b不是共线向量．求证：(a－b)⊥(a＋b)．证明：∵|a|＝|b|，∴(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0.∵a、b均为非零向量，且a、b不共线，∴a－b≠0，a＋b≠0.∴(a－b)⊥(a＋b)．。