
考研数学高等数学强化习题-不定积分.docx
17页模块五 不定积分Ⅰ经典习题一.原函数与不定积分1、设,下述命题成立的是( )(A)在上存在原函数 (B)存在(C)在上存在原函数 (D),则存在2、若的导函数是,则有一个原函数为 ( )(A) (B) (C) (D) 3、在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) (B) (C) (D) 4、已知是的一个原函数,则.二.有理函数积分5、计算下列不定积分(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)三.可化为有理函数的积分1.三角有理式6、计算下列不定积分(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)2.指数有理式的积分7、计算下列不定积分(1) (2)(3) (4)四.根式的处理8、计算下列不定积分(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)9、计算下列不定积分(1) (2)(3) (4)(5) (6)五.分部积分法的使用10、计算下列不定积分(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)11、计算下列不定积分(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)12、若的一个原函数为,则( )(A) (B) (C) (D) 13、已知是的原函数,求.14、已知曲线过点,且其上任一点处的切线斜率为,求.15、求积分.16、已知有二阶连续导数,证明:.六.其他考查形式17、设 求 .18、设则Ⅱ参考答案一.原函数与不定积分1、【答案】:(C)【解析】:在上连续,故存在原函数(A)不正确,在点处具有跳跃间断点,故在包含此点的区间内不存在原函数2、【答案】:(B)【解析】:由的导函数是,即,得, 其中为任意常数.所以的原函数,其中为任意常数.令,得.故选(B).3、【答案】:(A)【解析】:由不定积分的概念和性质可知,,为常数.故应选(A).4、【答案】: 【解析】:因为是的一个原函数,故.令,则.二.有理函数积分5、(1)【答案】:【解析】:(2)【答案】: (3)【解析】:通过变换,将积分转化为常见积分,即(4)【解析】:原式=(5)【解析】:设,计算得.(6)【解析】:(7)【解析】: (8)【解析】:(9)【解析】: 其中.故(10)【解析】:其中.,故(11)【解析】:(12)【解析】:(13)【答案】:【解析】:(14)【答案】:【解析】:6、(1)【解析】:利用万能公式:,令,则(2)【答案】:【解析】:先作恒等变形,凑微分得(3)【解析】:,令,故(4)【解析】:(5)【解析】:(6)【解析】:(7)【解析】:(8)【解析】:()(9)【解析】:令则原式为即(10)【解析】:7、(1)【解析】:方法一:方法二:令,则.则原式为(2)【解析】:(3)【解析】:(4)【解析】:四.根式的处理8、(1)【解析】: (2)【解析】:令,则.(3)【解析】:令,则.(4)【答案】:【解析】:令于是 (5)【答案】:【解析】:(6)【解析】:(7)【解析】:(8)【解析】:9、(1)【答案】:【解析】:令,则原式 (2)令,则,原式为利用万能公式:再将变量还原即可。
3)【解析】:令,则再将变量还原即可4)【解析】:令,则(5)【解析】:(6)【解析】:令则,原式为 五.分部积分法的使用10、(1)【答案】:【解析】: (2)【答案】:【解析】: (3)【答案】:【解析】:原式 (4)【答案】:【解析】: (5)【答案】:【解析】: 原式 (6)【解析】:(7)【解析】:(8)【解析】:11、(1)【答案】:(2)【答案】:(3)【答案】:(4)【答案】:(5)【答案】:(6)【答案】:(7)【答案】:(8)【答案】:12、【答案】:(C)【解析】:令,则..13、【解析】:已知是的原函数,因此,由分部积分法:.14、【解析】:由题知 ,可知.由分部积分法得 因为曲线过点,故,所以所求曲线为.15、【解析】:故.16、【解析】:六.其他考查形式17、【解析】:由题可知,是在第一类间断点,故在内,不存在原函数;而 是连续点,所以得不定积分只能分别在区间和内得到。
因为是的连续点,所以得原函数在处连续,即18、【答案】:【解析】:所以 因此 。
