《定积分及其应用》word版.doc

第五章 定积分及其应用§1.1 定积分及应用内容网络图定积分及其应 用定积分定义可积的条件性质计算方法中值定理13条基本性质性质变上限积分求导定理牛顿一莱布尼兹公式基本方法变量代换凑微分分部积分换元法应用微元法几何应用平面图形面积旋转体及一般立体的体积平面曲线弧长物理应用质量重心坐标转动惯量引力压力广义积分第一类广义积分（区间无界）第二类广义积分（被积函数无界）§1.2 内容提要与释疑解难 定积分的概念是由求曲边梯形面积，变力作功，已知变速直线运动的速度求路程，密度不均质线段的质量所产生 定义 设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在闭区间[a,b]内任意插入n-1个分点将[a,b]分成n个小区间，记，，作乘积（称为积分元），把这些乘积相加得到和式（称为积分和式）设，若极限存在唯一且该极限值与区是[a,b]的分法及分点的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数f(x)在[a,b]上的定积分，记作，即.否则称f(x)在[a,b]上不可积. 注1：由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号 注2：若存在，区间[a,b]进行特殊分割，分点进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常出现，请读者要真正理解。

注3：定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关，即定积分的几何意义: 若f(x)在[a,b]上可积，且则表示曲线与直线所围成的曲边梯形的面积. 同样，变力所作的功（其中f(x)是变力）变速直线运动的路程（是瞬时速度），密度不均质直线段 [,b]的质量（其中是线密度）规定 定性 若函数f(x)在闭区间[,b]上可积，则f(x)在[,b]上有界，反之不成立 例 . 事实上，因为不论把[0，1]分割得多么细，在每个小区间中，总能找到有理数，无理数，知 知不存在定理 若f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积.定理 若f(x)在闭区间[a,b]上只有有限个间断点且有界，则f(x)在[a,b]上可积.定理 若f(x)在闭区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积定积分的性质性质1 性质2 （线性运算法则）设在[a,b]上可积，对任何常数则.该性质用于定积分的计算与定积分的证明.性质3 （区间的可加性），若f(x)在以a,b,c为端点构成的最大区间上可积，则不论a,b,c顺序如何，有该性质用于计算分段函数的定积分与定积分的证明.性质4 若f(x)在[a,b]上可积且则.性质5 若f(x),g(x)在[a,b]上可积且则性质6 若f(x)在[a,b]上连续，且f(x) 0则性质7 若f(x),g(x)在[a,b]上连续且但,则.性质8 若f(x)在[a,b]上可积，则.性质9 若f(x)在[a,b]上可积，m,M是f(x)在区间[a,b]上的最小值与最大值，则 性质4、5、6、7、8、9主要用于定积分不等式的证明及不通过定积分的计算，估计定积分值的范围.性质10 （积分中值定理）若f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点，使而称为f(x)在区间[a,b]上的平均值，即闭区间[a,b]上连续函数f(x)的平均值是 注：这里的与是不同的。

性质11 （推广的积分中值定理），设在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点,使柯西----许瓦尔兹（Cauchy—schwarz）性质12 设函数f(x)，g(x)在[a,b]上连续，则（1）（2）性质13 变上限积分求导定理 设f(x)连续，可导，则§1.3 解题基本方法与技巧一、有关定积分命题的证明 利用积分中值理，定积分的13条性质，规定尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，可证明涉及到定积分的有关命题，包括方程根的存在性，适合某种条件的存在性及定积分的不等式等，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似 1．方程根的存在性 例1 设函数f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且证明在（01）内存在一点，使.证由积分中值定理知，在上存在一点c，使 且，由f(x)在(0，c)上连续，在[0，c]内可导，f(0)=f(c)，由罗尔定理知至少存在一点使 例2 设函数f(x)在上连续，且，试证：在内至少存在两个不同的，使 证法一 令则有，又因为 , 所以存在，使因为若不然，则在内或F（x）sinx恒为正或F(x)sinx恒为负，均与矛盾. 但当时，知再对F(x)在区间上分别应用罗尔定理，知至少存在，使 即 证法二 由知，存在，使，因若不然，则在内或f(x)恒为正，或f(x)恒为负，均于矛盾. 若在内f(x)=0仅有一个实根，则由知，f(x)在内与内 异号，不妨设在内f(x)>0，在内f(x)<0，于是再由与及cosx在上单调性知，得出矛盾，从而知，在内除处，至少还有另一实根.故知存在， 例3 设f(x)在[a,b]上连续，且对于任意的连续函数。

都有证明在[a,b]上 证 用反证法，假设，则至少存在一点使不妨设由f(x)在x0处连续，知根据保号性知，存在由于可取任意的连续函数，取显然在[a,b]上连续，时，，于是 与题设条件相矛盾，故在 例4 设f(x)在[a,b]上连续，证明时，证 用反证法，假设时，即存在时，，不妨设，由f(x)在[a,b]上连续，则在x0处也连续，有由保号性存在，当时，于是 与题目条件矛盾，故假设不成立，所以 例5 设f(x)在[a,b]上连续，且 证明 F(x)在(a,b)内有且仅有一个根 证 由 且F（x）在[a,b]上连续，由根的存在定理知至少存在一点，使 由于，知F(x)在[a,b]上严格递增，故F(x)在(a,b)内仅有一根 2．适合某种条件的存在性 例6 设在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且满足证明至少存在一点,使 证 由及积分中值定理，知至少存在一点，使得令由在[c,1]上连续，在（c,1）内可导由罗尔定理知，至少存在一点，使得，由得 即 例7 设f(x),g(x)在[a,b]上连续且g(x)不变号，则至少存在一点，使（推广的积分中值定理） 证 （1）当g(x)=0，，有此时可以[a,b]上任何一个值，都有 （2）当，由g(x)不变号，必有对每一个，或者g(x)都大于零或者都小于零，不妨设时，g(x)>0，由f(x)在[a,b]上连续，必取到最小值m与最大值M，且R(f)=[m,M]，对于一切，都有由于得故至少存在一点，使，即 注：这题可作为结论记住 例8 设f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上的导数连续且不变号，试证至少存在一点，使.（第二积分中值定理）证 由分部积分、推广的积分中值定理（例7）、区间可加性，有 例9 设f(x),g(x)在[a,b]上连续，证明至少存在一点,使 证 要证原等式成立，只要证成立，只要证成立，只要证成立，设，只要证 （1）成立，由F(t)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，F(a)=F(b)=0，由罗尔定理知至少存在一点，使成立，即（1）式成立，由每一步可逆，故原等式成立。

例10 设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且，试证：至少存在一点，使 证 设由在[ a,b]上满足柯西定理的条件，知其中 例11 设f(x)是区间[0，1]上的任意一非负连续函数, （1） 试证存在，使在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0,1]上以y=f(x) 为曲边的曲边梯形面积 （2） 又设f(x)在区向（0，1）内可导，且，证明（1）中的x0是唯一的 证法一 （1）要证原结论成立，只要证成立，只要证成立，只要证成立，只要证 成立，设，只要证F'(x0)=0 （1）成立，由F(t)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，F（0）=F（1）=0，由罗尔定理知至少存在一点，使成立，即（1）式成立，由每一步可逆，故原等式成立2）设，则当时，，又条件知，知所以在[0,1]上严格递减，故（1）中的x0是唯一的 证法二 （1）设在区间内取x1，若在区间[x1,1]上，则在(x1,1)内任一点都可作x0，否则可设为连续函数f(x)在[x1,1]上的最大值，在区间[0,x2]上，作辅助函数，则连续，且 ，因而由根的存在定理知至少存在一点，使（2）证法同证法一. 例12 设f(x)在[a,b]有二阶连续导数，试证在[a,b]上至少存在一点c，使 证法一 令并在处展成泰勒公式，其中介于、之间，分别将代入得 （1） （2）（2）—（1）得，其中，而.由导数的达布定理知，存在，使，因此 证法二 由泰勒公式展开式知，其中介于，之间.设，则，由，知至少存在一点，使或所以 注1：证法2中的是介于之间，变，也变，故不能提到积分号的前面注2：若 连续改成存在，只能用证法一，不能用证法二。

例13 设f(x)在[-a,a]上存在连续的二阶导数，f(0)=0，证明至少存在一点，使分析 由于涉及二阶导数且与函数f(x)有关，考虑用泰勒公式 证 由泰勒公式知其中介于0,之间，于是 因为在[-a,a]上连续，设，知，得，由，知至少存在一点，使即因此有 3、证明不等式 例14 设f(x)，g(x)在［a,b］上连续， 证明.（柯西——许瓦尔兹（Cauchy—schwarz）不等式） 证法一 要证原不等式成立，只要证成立设只要证 （1）成立，由F(t)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且 ，知F(t)在[a,b]上递增，由b>a，知，即不 等式（1）成立，由每一步可逆，故原不等式成立 证法二 由，即 . （1）（i）若知即此时结论显然成立，不等式中取等号ii）若知（1）式的左边是t的一元二次函数，且该函数始终大于等于零，故判别式 即 注：证法一需要f(x), g(x)连续，证法二只需f(x), g(x)可积.例15 证明（a