行程-自动扶梯.docx

行程问题： 自动扶梯科学中的速度和参照物概念都不给力，还是用最简单的数学方程【概念精析】与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题，与行船问题类似的，自动扶梯的速度有以下两条关系式：与流水行船不同的是，自动扶梯上的行走速度有两种度量，一种是 " 单位时间运动了多少米 " ，一种是 " 单位时间走了多少级台阶" ，这两种速度看似形同，实则不等，拿流水行程问题作比较， " 单位时间运动了多少米 " 对应的是流水行程问题中的 " 船只顺 ( 逆) 水速度" ，而 " 单位时间走了多少级台阶 " 对应的是 " 船只静水速度 " ，一般奥数题目涉及自动扶梯的问题中更多的只出现后一种速度，即 " 单位时间走了多少级台阶 " ，所以处理数量关系的时候要非常小心，理清了各种数量关系，自动扶梯上的行程问题会变得非常简单．【例题精讲】例 1. 甲步行上楼梯的速度是乙的 2 倍，一层到二层有一上行滚梯 ( 自动扶梯 ) 正在运行二人从滚梯步行上楼，结果甲步行了 10 级到达楼上，乙步行了 6 级到达楼上这个滚梯共有多少级 ?解答：甲步行了 10 级，乙步行了 6 级，甲的时间为 10÷2=5，乙的时间为 6÷1=6. 在甲步行的时间里滚梯运行了 x 级，在乙步行的时间里滚梯运行了 1.2x 级，可以列式为： 10+x=6+1.2x, 解得 x=20，所以滚梯有 10+20=30级。

例 2. 在地铁车站中， 从站台到地面有一架向上的自动扶梯 小强想逆行从上到下， 如果每秒向下迈两级台阶， 那么他走过 100 级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过 75 级台阶到达站台自动扶梯有多少级台阶 ?解答：每秒向下迈 2 级台阶，走 100 级台阶的时间为 100÷2=50，每秒迈 3 级台阶，走 75 级台阶时间为 75÷ 3=25，自动扶梯分别上行了 2x 级和 x 级，列式为 100-2x=75-x ，解得 x=25 级，自动扶梯有 50级北京市迎春杯试题）例 3. 小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走 36 级如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端 ( 很危险哦，不要效仿 !) ，需要用下楼时 5 倍的速度走 60 级才能走到上端请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级 ?解答：从上往下走 36 级用的时间为 36÷1=36，从下往上走 60 级用的时间为 60÷5=12，时间的关系为 3：1，列式为 36＋3x=60-x ，解得 x=6，所以自动扶梯在静止不动时有 36+18=54级例 4. 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶， 两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40 级到达楼上，男孩走了 80 级到达楼下。

如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的 2 倍，则当该扶梯静止时， 可看到的扶梯梯级有多少级？解答：两个孩子走楼梯的方向不同，这样增加了解题的难度但是从条件中可知，男孩走楼梯的速度是女孩的 2 倍，男孩走了 80 级正好是女孩走了 40 级的 2 倍，这样两人走完此楼梯的时间相同设两人在这相同的时间内自动扶梯上升 a 级，那么扶梯的长度等于男孩在这段时间走的 80 级减去自动扶梯上升的 a 级，也等于女孩在这段相同的时间内走的 40 级加上自动扶梯上升的 a 级，所以有下面等式：80－a=40＋a解得 a=20 所以当扶梯静止时，扶梯可看见的梯级共有 40＋a=40＋20=60（级）例 5. 小霞与小宝两个孩子比赛登电梯， 已知他俩攀登电梯的速度分别为每秒 2 个台阶和每秒 3 个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相反方向从一楼登上二楼， 分别用时 60 秒和 30 秒，那么如果他们攀登静止的电梯需要用时多少秒？解答：要求出他们攀登静止的电梯时间，必须把电梯静止时的级数求出来，小霞用了 60 秒，60×2=120级，小宝用了 30 秒，30×3=90级他们在攀登过程中，电梯运行的级数分别为 2x 和 x，那么可以列式：120-2x=90-x ，解得 x=30 级，电梯静止时可见部分为 120-60=60 级，需要的时间很容易求出来了。

例 6. 小明站着不动乘电动扶梯上楼需 30 秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需 12 秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？解答：站着不动乘电梯时间为 30 秒，乘电梯同时向上走要 12 秒，速度和时间成反比，为 2：5，电梯速度为 2，小明的速度为 3. 接下来就要求电梯的级数了 30×2=60 级，那么当电梯不动时，徒步上楼要 60÷3=20 秒例 7. 在商场里甲开始乘自动扶梯从一楼到二楼，并在上向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层 当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他一共走了 60 级，如果他一直走到顶端再反身向下走，则一共要走 80 级，那么，自动扶梯不动时从下到上要走多少级？分析：向上走速度为甲和自动扶梯的速度和，向下走速度为甲和自动扶梯的速度差当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他一共走了 60 级，如果他一直走到顶端再反身向下走， 则一共要走 80 级，60÷80=3/4 ，这说明甲乙处于同一高度时，甲的高度是两层总高度的 3/4 则甲和自动扶梯的速度和与自动扶梯的速度之比是 3/4 ：(1-3/4)=3 ：1，即甲的速度与自动扶梯速度之比 2： 1，甲和自动扶梯的速度差与自动扶梯的速度相等。

向下走速度向上走速度的 1/3 ，所用时间为向上走的 3 倍，则甲向下走的台阶数就是向上走台阶数的 3 倍. 因此甲向上走了 80÷(3+1)=20 级台阶甲的速度与自动扶梯速度之比 2：1，甲走 20 级台阶的同时自动扶梯向上移动了 10 级台阶，因此如果自动扶梯不动，甲从下到上要走 20+10=30级台阶例 8. 小偷与警察相隔 30 秒先后逆向跑上一自动扶梯，小偷每秒可跨越 3 级阶梯，警察每秒可跨越 4 级阶梯已知该自动扶梯共有150 级阶梯，每秒运行 1.5 级阶梯，问警察能否在自动扶梯上抓住小偷？分析：全部以地板为参照物，那么小偷速度为每秒 1.5 级阶梯，警察速度为每秒 2.5 级阶梯警察跑上电梯时相距小偷 1.5 ×30＝45级阶梯，警察追上小偷需要 45 秒，在这 45 秒内，小偷可以跑上 1.5 ×45＝ 67.5 级阶梯，那么追上小偷后，小偷在第 112～第 113 级阶梯之间，没有超过 150，所以警察能在自动扶梯上抓住小偷练习精选】1. 小明站着不动乘电动扶梯上楼需 30 秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需 12 秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需 __________秒.2. 小霞与小宝两个孩子比赛登电梯，已知他俩攀登电梯的速度分别为每秒 2 个台阶和每秒 3 个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相反方向从一楼登上二楼， 分别用时 60 秒和 30 秒，那么如果他们攀登静止的电梯需要用时多少秒？3. （奥数网精选试题）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动， 女孩由下往上走， 男孩由上往下走，结果女孩走了 40 级到达楼上，男孩走了 80 级到达楼下。

如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的 2 倍，则当该扶梯静止时， 可看到的扶梯梯级有多少级？4. （北京市迎春杯试题）小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走 36 级如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端 ( 很危险哦，不要效仿！ ) ，需要用下楼时 5 倍的速度走 60 级才能走到上端请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级？5. 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强想逆行从上到下， 如果每秒向下迈两级台阶， 那么他走过 100 级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过 75 级台阶到达站台自动扶梯有多少级台阶 ?。