2023年第七章 第节2.doc

第2节　均值不等式及其应用最新考纲　1.了解均值不等式的证明过程；2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.均值不等式：≤(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).[常用结论与微点提醒]1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.ab≤≤.3.≤≤≤(a>0，b>0).4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.(　　)(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.(　　)解析　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.(2)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为－5.(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)A.80 B.77 C.81 D.82解析　xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时取等号.答案　C3.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)A.1＋ B.1＋ C.3 D.4解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3.答案　C4.(2019·山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________.解析　由题设可得＋＝1，∵a>0，b>0，∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8.故2a＋b的最小值为8.答案　85.(教材习题改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.解析 设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.答案　15　考点一　配凑法求最值【例1】 (1)若x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________；(2)函数y＝的最大值为________.解析　(1)因为x＜，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.(2)令t＝≥0，则x＝t2＋1，所以y＝＝.当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t＞0，即x＞1时，y＝，因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝≤，即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).答案　(1)1　(2)规律方法　1.应用均值不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用均值不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.2.在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式.【训练1】 (1)(2019·湖北重点中学一联)若对∀x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.(2)函数y＝(x>1)的最小值为________.解析　(1)因为函数f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)的最小值为g(1)＝，因此对∀x≥1不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)最小值＝，故实数a的取值范围是.(2)y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.答案　(1)　(2)2＋2考点二　常数代换或消元法求最值(易错警示)【例2】 (1)(一题多解)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________；(2)(一题多解)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.解析　(1)法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.法二　由x＋3y＝5xy，得x＝，∵x>0，y>0，∴y>，∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4≥＋2＝5，当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.(2)由已知得x＝.法一　(消元法)因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，所以x＋3y＝＋3y＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6，当且仅当＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.法二　∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，当且仅当x＝3y时等号成立.设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.答案　(1)5　(2)6规律方法　条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用均值不等式求解最值；三是对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示　(1)利用均值不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用均值不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练2】 (1)已知x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　)A.24 B.32 C.20 D.28(2)(2019·石家庄质检)已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2，3)，则a＋b的最小值为________.解析　(1)∵x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4＝6(x＋2＋y＋2)－4＝6－4≥6×－4＝20，当且仅当x＝y＝10时取等号.∴x＋y的最小值为20.故选C.(2)因为直线l经过点(2，3)，所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝>0，所以a－3>0，所以a＋b＝a＋＝a－3＋＋5≥5＋2＝5＋2，当且仅当a－3＝，即a＝3＋，b＝2＋时等号成立.答案　(1)C　(2)5＋2考点三　均值不等式在实际问题中的应用【例3】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.解　(1)设所用时间为t＝(h)，y＝×2×＋14×，x∈[50，100].所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100](或y＝＋x，x∈[50，100]).(2)y＝＋x≥26，当且仅当＝x，即x＝18时等号成立.故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.规律方法　1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.【训练3】 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数.(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？解　(1)由题意，得k＋9＝10，即k＝1，生产m千克该产品需要的时间是，所以y＝(kx2＋9)＝m，x∈[1，10].(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为y＝1 000≥1 000×2＝6 000，当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，且3∈[1，10].故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.下列不等式一定成立的是(　　)A.lg>lg x(x>0)B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C.x2＋1≥2|x|(x∈R)D.＜1(x∈R)解析　当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用均值不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；显然选项C正确；当x＝0时，有＝1，选项D不正确.答案　C2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)A.[0，2] B.[－2，0]C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]解析　2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤，所以x＋y≤－2.答案　D3.(2019·济南一模)若对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A. B.C. D.解析　由x>0，得＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，则a≥.答案　A4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)A.≤ B.＋≤1C.≥2 D.a2＋b2≥8解析　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.答案　D5.若a，b都是正数，则·的最小值为(　　)A.7 B.8 C.9 D.10解析　∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号.答案　C6.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)A. B. C.2 D.解析　由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案　C7.已知x>0，y>0且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为(　　)A. B.2 C. D.2解析　∵。