材料力学课件：第七章弯曲变形.ppt

第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 § §7-1 7-1 7-1 7-1 引言引言引言引言 § §7-2 7-2 7-2 7-2 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程 § §7-3 7-3 7-3 7-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法 § §7-5 7-5 7-5 7-5 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法 § §7-6 7-6 7-6 7-6 简单静不定梁简单静不定梁简单静不定梁简单静不定梁 § §7-7 7-7 7-7 7-7 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 1Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形目的目的: : 1 1、、 解决梁的刚度问题解决梁的刚度问题 2 2、、 求解静不定梁求解静不定梁3 3、、 为研究稳定问题打基础为研究稳定问题打基础§7-1§7-1§7-1§7-1 引言引言引言引言拉压杆的变形：伸长或缩短拉压杆的变形：伸长或缩短 (D Dl) )圆轴扭转的变形：相对转动圆轴扭转的变形：相对转动 ( (扭转角扭转角j j ) )弯曲变形：怎样描述？弯曲变形：怎样描述？回顾：回顾：2Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 挠曲轴是挠曲轴是一条一条连续、光滑曲线连续、光滑曲线   对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线   对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计 因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴挠曲轴  轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴挠曲轴，，•弯曲变形的特点弯曲变形的特点3Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形  梁变形的表示方法：梁变形的表示方法：描述梁的位移描述梁的位移:1、、截面形心在垂直于梁轴方向的线位移截面形心在垂直于梁轴方向的线位移 —— 挠度挠度 w2、、横截面的角位移横截面的角位移 —— 转角转角  挠度随坐标变化的方程挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程挠曲轴方程 w= w(x) 忽略剪切变形忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小梁的转角一般很小—— FAB4Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形§ §7-2 7-2 7-2 7-2 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程w挠曲轴的近似微分方程挠曲轴的近似微分方程——变形与载荷的关系：变形与载荷的关系： 中性层曲率表示的弯曲变形公式中性层曲率表示的弯曲变形公式 由高等数学知由高等数学知 曲线曲线w= =w (x)上任意点的曲率上任意点的曲率  挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程 —— 二阶非线性常微分方程二阶非线性常微分方程二阶非线性常微分方程二阶非线性常微分方程（（（（纯弯纯弯纯弯纯弯））））（（（（推广到非纯弯推广到非纯弯推广到非纯弯推广到非纯弯））））5Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形方程简化方程简化 •小变形时小变形时：：•正负号确定正负号确定——确定坐标系确定坐标系:w向上为正，向上为正， 逆时针为正逆时针为正6Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 C、、D为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。

为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定一、梁的挠曲轴方程一、梁的挠曲轴方程§ §7-3 7-3 7-3 7-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法7Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Ø位移边界条件位移边界条件w = 0w = 0w = 0q q = 0二、位移边界条件与连续条件二、位移边界条件与连续条件自由端：无位移边界条件自由端：无位移边界条件Ø位移连续与光滑条件位移连续与光滑条件ACDMFB$挠曲轴在挠曲轴在B、、C点连续且光滑点连续且光滑连续：连续：wB左左= wB右右光滑：光滑： B B左左 =  B B右右 8Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件例：例：ABCDFE 可动铰可动铰自由端：自由端：无位移边界条件无位移边界条件固定端固定端 连续条件：连续条件：边界条件：边界条件：右右左左右右左左CCCCwwq q= == =9Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形已知已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程建立该梁的挠曲轴方程AB解解:2、、挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程1、、弯矩方程弯矩方程: :例：例：10Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形AB3、、积分常数的确定积分常数的确定w(0) = 0D = 0w’(0) = 0C = 011Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形已知已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程建立该梁的挠曲轴方程 AC解解: 计算约束反力，建立坐标系。

计算约束反力，建立坐标系AB段段BC段段例例:xB12Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形边界和连续条件边界和连续条件: : 四个方程定四个方程定4 4个常数个常数ACxB1213Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形ADBC绘制挠曲轴的大致形状：绘制挠曲轴的大致形状：1. 绘制弯矩图绘制弯矩图2. 绘制挠曲轴的大致形状绘制挠曲轴的大致形状凹凹凸凸凹凹直线直线挠曲轴大挠曲轴大致形状致形状+_Fs+M 弯矩图过零点处为挠曲轴拐点，弯矩图过零点处为挠曲轴拐点，弯矩弯矩M＝＝0的梁段，挠曲轴为直线的梁段，挠曲轴为直线 支座性质定该处线和或角位移，支座性质定该处线和或角位移，在分段处满足位移连续条件在分段处满足位移连续条件 弯矩图符号定挠曲轴凹凸性弯矩图符号定挠曲轴凹凸性 • • 有些截面的挠度为正或负，需由计算确定有些截面的挠度为正或负，需由计算确定有些截面的挠度为正或负，需由计算确定有些截面的挠度为正或负，需由计算确定拐点14Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形§7-5 7-5 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法 叠加法叠加法 逐段分析求和法逐段分析求和法 两种方法比较两种方法比较 例题例题15Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形一、一、 叠加法叠加法M(x)为载荷为载荷(F, q, Me)的线性齐次函的线性齐次函数数2 2、、梁的变形很小；梁的变形很小；( (不影响其它载荷的作用效果不影响其它载荷的作用效果) )1 1、、应力不超过比例极限；应力不超过比例极限；( (线弹性线弹性) )梁的变形与载荷成线性关系梁的变形与载荷成线性关系积分后，积分后，w和和w’仍然是载荷仍然是载荷( (F, q, Me) )的线性齐次函数的线性齐次函数16Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形叠加法的应用叠加法的应用叠加法的应用叠加法的应用例例：：EI EI = =常数，常数， 求求，载荷由集中力载荷由集中力F F，均布力，均布力q q和力偶和力偶M M0 0构成，分别查构成，分别查表表（请熟记（请熟记P377P377附录附录E E中中 1 1，，3 3，，4 4，，6 6，，8 8，，9 9各梁各梁的挠度和转角）的挠度和转角），然后将各个载荷在，然后将各个载荷在A A端引起的端引起的位移叠加。

位移叠加AFqQ 分析方法：分析方法：17Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形查表查表, ,p 377377AAFAqAFq( )Fq叠加：叠加：18Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例：例：载荷集度载荷集度为为，，求自由端挠度求自由端挠度xq0BFB分析方法：分析方法：将任意分布载荷看作无将任意分布载荷看作无穷微集中力的叠加穷微集中力的叠加注意注意(1)a 取为变量取为变量x x(2)(2)载荷向上为正载荷向上为正查表查表P 377(2):19Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例：例：载荷集度载荷集度为为，，求自由端挠度求自由端挠度xq0BFB20Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形ACBq0(a)+q0(b)BACq0(c)分析：分析：故：故：为什么？为什么？例：例：EI=常值，求常值，求21Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例：例：矩形截面梁斜弯曲问题矩形截面梁斜弯曲问题——计算自由端形心计算自由端形心C的位移方位角方位角 一般一般      ，，弯曲变形不发生在外力作用面内弯曲变形不发生在外力作用面内。

yCzF22Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形ABC例：例：求图示外伸梁求图示外伸梁C点的挠度和转角点的挠度和转角二、二、逐段分析求和法逐段分析求和法：：ABC仅仅考虑考虑BCBC段变形：段变形：仅仅考虑考虑ABAB段变形：段变形：ABCqaqa2/223Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例：E常数,，,求PABC刚化刚化AB段：段：BC段刚化：段刚化：ABCABCP仅仅考虑考虑BCBC段变形：段变形：仅仅考虑考虑ABAB段变形：段变形：24Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例2：EI=常数，=常数，求BCBC扭转扭转: :BCBC弯曲弯曲: :ABCPABCBC刚化刚化:PBCAPPaAB刚化刚化:w3ABAB弯曲：弯曲：25Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形例：例：E常数,，,求FABCEFABC   对称性在变形分析中的应用：对称性在变形分析中的应用：对称性在变形分析中的应用：对称性在变形分析中的应用：F/2CFB26Page第七章第七章 弯曲变形弯曲变形作业作业7-3c, d，，7-6, 7-11(书上书上A处改为活动铰支座）处改为活动铰支座），，7-1427Page。