巨人教育绥德分校三角函数图像及性质经典例题精析(共15页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上巨人教育绥德分校三角函数图像及性质经典例题精析类型一：周期　　1. 求下列函数的周期：　　（1）；（2）　　思路点拨：先转化为或的形式的三角函数，再求周期.　　解析：（1）， ∴周期为；　　　　　 （2）函数的周期， ∴周期为.　　总结升华：　　① 求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式：　　　 或，否则很容易出现错误　　② 二者的共同点是， 　　　 如：的周期是，的周期是. 　　举一反三：　　【变式】求函数的最小正周期．　　（1）； （2）； （3）　　【答案】　　（1），∴周期为；　　（2） ，∴周期为；　　（3），∴周期为；类型二：定义域　　2．求函数的定义域　　思路点拨：找出使函数有意义的不等式组，并解答即可.　　解析：　 　　　　　将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分，　　　　　由于x∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，　　　　　即：　　　　　　　　　　　　　∴因此函数的定义域为：　　总结升华：　　①sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R，不是角度。

求定义域时，若需先把式子化简，一定要注　　　意变形时x的取值范围不能发生变化　　②求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.　　举一反三：　　【变式1】求函数的定义域：　　（1）； （2）.　　【答案】　　（1）要使得函数有意义，需满足，　　　　 解得或，　　　　 ∴定义域为：.　　（2）要使得函数有意义，需满足 　　　　 解得　　　　 ∴定义域为：　　【变式2】已知的定义域为，求的定义域.　　【答案】∵中，∴中，　　　　　　 解得，　　　　　　 ∴的定义域为：.类型三：三角函数的图象　　3．已知函数　　（1）用五点法作出它的图象；　　（2）指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间；　　（3）说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到？　　解析：　　（1）.　　　　 列表描点绘图如下:02xy020-20　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（2）如图可知，此函数的振幅是2，周期为，频率为，初相为.　　　　 单调增区间为 k∈Z ，　　　　 单调减区间为k∈Z.　　（3）　　　　 　　　　 　　总结升华：　　①五点法作(, )的简图时，五点取法是设，由取0、、　　　、、来求相应的值及对应的值，再描点作图；　　②由的图象变换出的图象一般先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出　　　现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而　　　不是“角变化”多少；　　③此处的难点是函数图象的平移，可以选择画出图象后观察；也可以直接由函数式子利用特殊位置点　　　（如：首点、波峰、波谷等）的坐标判定，但其前提是两个函数的名称以及的系数是相同的.　　举一反三：　　【变式1】由的图象得到的图象需要向__________平移________个单位.　　【答案】左，；　　　　　　 ∵，　　　　　　 ∴由的图象得到的图象需要向左平移个单位.　　【变式2】试述如何由的图象得到的图象.　　【答案】　　方法一： 　　　　　　 .　　方法二： 　　　　　　 .　　【变式3】画出函数在区间上的图象.　　【答案】　　由知道：x0y－1010　　故函数在区间上的图象：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4. 下图是函数（，）的图象．则、的值是（　　　）　　A．， 　　　B．，　　C．， 　　　 D．，　　解析：由图象可得：　　　　　∵，由得，　　　　　由 ，得 　　　　　∴ （）　　　　　由，得．满足时，或．　　　　　由此得到，．注意到，即，　　　　　因此，这样就排除了．　　　　　∴，　　总结升华：因为函数是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确定A、ω、φ的值．本题虽然给出了，的条件，但是仅靠(0，1 )、两点，不能完全确定ω、φ的值．在确定ω的过程中，比较隐蔽的条件（）起了重要作用．　　举一反三：　　【变式1】将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】C；把点代入选项即得。

　　【变式2】写出下列函数图象的解析式　　（1）将函数的图象上所有点向左平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象　　（2）将函数的图象上所有点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移个单位，得到所求函数的图象　　【答案】　　（1）；　　　　 按图象变换的顺序，自变量的改变量依次是：，倍　　　　 图象的解析式依次为： → → .　　（2）；　　　　 按图象变换的顺序，自变量的改变量依次是：2倍，　　　　 图象的解析式依次为： → → 即.类型四：单调性与最值、值域　　5．已知函数，　　(1)求函数的最小值以及相应的的取值的集合；　　(2)写出函数在上的单调递增区间　　思路点拨：先将化简为,然后将看作一个整体,数形结合求最小值；利用复合函数的单调性进行讨论.　　解析：　　　　　　　　　　　　，　　（1）当即（）时，的最小值为-2，　　 　　故当时，.　　（2）该函数是和的复合函数，　　 　　∵为增函数，要求的递增区间，只须求的递增区间　　 　　∵的递增区间为：()　　 　　∴由得：()　　 　　∵，∴时，时，　　 　　故该函数的单增区间是或.　　总结升华：　　1．把三角函数式化简为（）是解决周期、最值、单调区间、对称性等问题　 　　的常用方法. 　　2．三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间　 　　（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数　　　　　　的有界。

　 　　（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响.　　举一反三：　　【变式1】求下列函数的单调递增区间.　　（1），（2），（3），（4）.　　【答案】　　（1）∵，∴递增区间为：()；　　（2）∵，∴递增区间为()；　　（3）画出的图象：　　　　　　　　　　　　　　　　 可知增区间为()；　　（4）函数在区间()上是增函数.　　【变式2】利用单调性比较下列各组的大小：　　（1），，；　　（2），．　　【答案】　　（1）∵，，且　 　　　∴　　（2）∵，，∴.　　　【变式3】已知函数．求函数在区间上的最小值和最大值．　　【答案】，　 　　　　　∵当，∴，　 　　　　　∴当，即时；　 　　　　　当，即时.　　6．求下列函数的值域.　　（1）；（2）；（3）　　思路点拨：三角式确定的函数求解值域.一般可从两个途径入手.一是将三角式化为一个三角函数的形式，从而利用三角函数性质求解值域，二是将三角式化为相同形，通过换元转化为代数函数求解值域.　　解析：　　（1），　　　　 ∵， ∴ .　　　　 由正弦函数图象可知：　　　　 当即时，；当即时，.　　　　 所以函数值域为.　　（2）由去分母得：, 　　　　 移项整理，　　　　 由辅助角公式得：（）　　　　 ∴,　　　　 ∵, ∴, 即.　　　　 平方整理得:, 解出：，　　　　 所以函数值域为.　　（3）由得　　　　 ∴　　　　 令，则　　　　 ∴, 　　　　 当时，， 当时，.　　　　 所以函数值域为.　　举一反三：　　【变式1】求下列函数的值域：　　（1）； （2）； （3）.　　【答案】　　（1）　　　　 ∴当时，有最大值；　　　　 当时，有最小值－４.　　　　 ∴值域为　　（2）∵,∴，　　　　 即，解得，　　　　 ∴值域为.　　（3）∵，　　　　 ∴值域为.　　【变式2】设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最大值。

　　【答案】令，，　　　　　　 则，　　　　　　 开口向上，对称轴，　　　　　　 当，即时，函数在上递增，； 　　　　　　 当，即时，函数在上递减，，得与矛　　　　　　 盾；　　　　　　 当，即时，，解得或（舍），　　　　　　 ∴，此时.　　【变式3】已知函数的定义域为，值域为，求常数、的值．　　【答案】　　　　　　 ∵， ∴　　　　　　 （1）若，不符合题意.　　　　　　 （2）若，有时，；时，　　　　　　 　　 ∴，.　　　　　　 （3）若，有时，；时，　　　　　　 　　 ∴，.　　　　　　 故，或，.类型五：奇偶性与对称性　　7．已知函数　　（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性　　思路点拨：先求定义域并判断在数轴上关于原点对称，再结合函数的图象判断其奇偶性和对称性　　解析：　　（1）的定义域关于原点对称，　　　　 　　　　 ∵且，　　　　 ∴函数不是奇函数也不是偶函数.　　（2）∵令,则的图象的对称轴是，对称中心（），　　　　 ∴函数的图象的对称轴是即（）　　　　 由得（），　　　　 ∴函数的图象的对称中心是（）.　　总结升华：　　①经过等值变形尽量转化为一个角的一个三角函数式（），再判断其奇偶　　　性。

函数的奇偶性与函数的对称性既有联系又有区别，用定义法，换元法　　②对于（）来说，对称中心与零点（平衡位置）相联系，对称轴与最值点（极　　　值点）联系.　　举一反三：　　【变式1】判断下列函数的奇偶性　　（1）； （2）.　　【答案】　　（1）定义域关于原点对称，　　　　 又　　　　 ∴ 函数为奇函数　　（2）∵从分母可以得出（），∴定义域在数轴上关于原点不对称　　　　 ∴ 函数为非奇非偶函数　　【变式2】设函数的图象的一条对称轴是直线，则______；　　【答案】∵是的图像的对称轴， 　　　　　　 ∴即（）　　　　　　 又，∴　　【变式3】已知函数.　　（1）当取何值时，取得最大值并求最大值；　　（2）求函数的单调递增区间；　　（3）求函数的图象的对称中心，对称轴；要使函数成为偶函数，向左平移最少单位是多少；　　（4）求函数在上的图象与的围成的封闭图形的面积；　　【答案】　　（1）　　　　　 　　　　 当，即时，.　　（2）由得,即，　　　　 ∴单调增区间是.　　（3）函数的图象的对称中心，是图象与平衡位置所在直线的交点；　　　　 函数的图象的对称轴，是经过图象上表示最大、最小值的点且与轴垂直的直线.　　　　 如图:　　　　　　　　　　　　　　　　　 令,则,∴即，　　　　 ∴对称中心坐标为，　　　　 当取得最大，最小值时， ∴，即，　　　　 ∴对称轴方程为.　　　　 当时，是轴右侧且离轴最近的对称轴，　　　　 所以将原函数图象向左平移最少为时，图象满足关于轴对称，成为偶函数.　　（4）方法一：定积分法　　　　 所求面积为:　　　　 　　　　 　　　　　 方法二：如上图，是矩形的一个对称中心，　　　　 所以点与点间的图象将矩形的面积平分，　　　　 同理，、间的图象将矩形的面积平分，　　　　 故函数在上图象与围成封闭图形面积是矩形面积的，　　　　 所求面积为.类型六：其他　　8．已知方程.　　（1）若方程在上有实根，求实数m的取值范围；。