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一元二次方程得整数根【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流一元二次方程的整数根.精品文档.第6讲一元二次方程的整数根精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人们长期切磋积累的成果 我也是慢慢学来的，而且还要继续不断的学习 -阿贝尔知识方法扫描1当含有某个参数k的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k的分式形式的解 然后利用其根是整数的要求来解不定方程 此时因参数k的条件不同，常有两种处理方法 其一是k为整数，这时只需注意分式形式的解中，分子是分母的倍数即可；其二是k为实数，此时应该消去参数k，得到关于两根的关系式，也就是关于两根的不定方程，再解此不定方程即可 2我们知道一元二次方程ax2bxc0在b24ac0时有实数根x 所以要使整系数的一元二次方程方程有整数根，必须b24ac为完全平方数，并且b为2a的整数倍.故处理此类问题，常可用判别式来解决 又可细分为两类：（1）先求参数范围 可利用题设参数的范围，直接求解；也可由不等式0求出参数的范围.再求解。

（2）再设参数法，即设k2（k是整数） 当k2为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当k2为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解.此外，对有理系数的二次方程有有理根的问题，上述解法也是适用的 3韦达定理即根与系数的关系是一元二次方程的重要性质，我们也常用它来处理含参数的一元二次方程的整数解得问题，常用的方法有：（1）从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.（2）利用“当两根为整数时，其和、积必为整数”来解 4在含有参数的一元二次方程中，参数和未知数都是用字母表示的，通常是将未知数看作是主元必要时也可反过来将参数看成是主元，即将方程看成是以参数为未知数的方程，这种方法就是变更主元法 （1）当方程中参数的次数为一次时，可将参数直接用未知数表示出来，再利用已知参数的范围或性质来求解 （2）当方程中参数的次数为二次时，可考虑以参数为主元构造一个二次方程，再运用前述的方法（如利用判别式，韦达定理）来处理 经典例题解读例1(1995年山东省初中数学竞赛试卷)k为什么整数时，方程(6k)(9k)x2(11715k)x540的解都是整数？分析此方程的系数均为整数，而且方程的左边可以直接分解成两个整系数的一次因式，故可考虑直接求根来解答此题。

另外此题的条件中并未说明方程是一元二次方程，故还应考虑二次项系数为0，原方程是一次方程的情况 解若k=6,则x=-2 若k=9,则x=3；若k6且k9，原方程可化为(k-6)x-9(k-9)x-6=0,故方程的二根为x1，x2.为使x1和x2都是整数，则应有k-6=1,3,9，k=-3,3,5,7,9,15 还应有k-9=1,2,3,6,k=3,6，7,8,10,11,12，15.所以k=3,7,15时，x1和x2都是整数，综上所述，当k值为3，6，7，9，15时方程的解都是整数 例2(2000年全国初中数学联赛试卷)设关于x的二次方程(k26k8)x2(2k26k4)xk24的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值.分析此题也可通过直接求根法求出二根，但是它的条件与例1不同，例1中的参数k是整数，而本题中的参数k是实数 因此求得二根后不能像例1那样讨论，因为使x1（或x2）为整数的实数k有无穷多个，所以要先消去k，得到关于x1，x2的不定方程，先求出这个不定方程的整数解，然后再反过来求k的值 解将原方程变形得(k2)(k4)x2(2k26k4)x(k2)(k2)0.分解因式得(k2)xk2(k4)xk20.显然，k2，k4.解得x1=；x2=.于是有，（x1-1,x2-1）两式相减消去k整理得x1x23x120即x1(x23)2.于是有或或或解得或或或(舍去)因为,当x1=-2时，k=6。

当x1=2时，k= 当x1=1时，k=3.经检验，k=6，3，都满足题意 .例3（2000年广东奥林匹克学校高中入学考试数学试卷）求当m为何整数时，关于x的一元二次方程mx2-6x+9=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数 分析从此题的两个方程无法得到用有理式形式表示的二根，但方程有整数根的前提是有实数根，我们可以先求出两个方程有实根的条件，从而求出参数m的取值范围，再由m是整数的条件，确定其值 不过最后还得代入验证此时的方程是否根都是整数 解依题意有解得，且m0.又m为整数，故m=1 当m=1时，方程mx2-6x+9=0的二根均为1，方程x2-4mx+4m2-4m-5=0的二根为-1和5，符合要求 当m=-1时，方程mx2-6x+9=0的二根均不是整数,不符合要求.所以仅当m=1时，方程的两根都是整数 例4(1996年上海市初中数学竞赛试卷)若关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数根，且a为整数，求a.分析此题和上题不同在于：若利用判别式求出参数a的取值范围，计算后会发现，满足此范围的整数a有无数多个，无法一一验证。

注意到要使整系数的一元二次方程方程有整数根，必须判别式为完全平方数 本题的判别式是关于参数a的一次式，一般可以设其为t2（t为非负整数），再将方程的根用t表示出来从而求得其整数解 解当a=0时，方程为-6x-2=0，无整数解 当a0时，方程为一元二次方程，要使方程至少有一个整数根，必须判别式为完全平方数 =4(a-3)2-4a(a-2)=4(9-4a),9-4a为完全平方数 设9-4a=t2（t为正奇数，且t3）,则a=.此时，方程的二根为x1,2==-1+=-1+=-1+x1=-1+,x=-1+要使x1为整数，而t为正奇数，只能t=1，此时a=2 要使x2为整数，t只能为1,5,7，此时a=2,-4,-10.综上所述，a的值为2,-4,-10.例5(2022年全国初中数学联赛试卷)已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值 分析1此题与上题的差别在于其判别式是关于参数的一次式，而是二次式，就不能用代入法了 此类问题一般采用因式分解的方法求解 解法1因二次方程的根都是整数，故=4n2+32n+9应为完全平方数。

设4n2+32n+9=k2(k0,k为整数)，即(2n+8)2-k2=55，所以(2n+8+k)(2n+8-k)=55因2n+8+k2n+8-k,故可得如下4个方程组分别解得n=10,n=0,n=-18,n=-8.分析2因4n2+32n+9=k2又可以看作是关于n的一元二次方程，本题也可以再用判别式来求解 解法2因二次方程的根都是整数，故1=4n2+32n+9应为完全平方数 设4n2+32n+9=k2(k0,k为整数)，即4n2+32n+9-k2=0 将其看作关于n的一元二次方程，其判别式也应为完全平方数，即2=322-44(9-k2)=16(k2+55)为完全平方数设k2+55=t2,(t0,t为整数),即(t+k)(t-k)=55因t+kt-k故可得如下4个方程组分别解得k=27,3,-27或-3，于是4n2+32n+9=272，或4n2+32n+9=33，分别解得n=10,n=-18,n=-8,n=0.所以整数n的值为-18,-8,0,10.例6（1996年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试卷）求使关于x的方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0有整数根的所有整数a解当a=-1时，方程为-2x-8=0,x=-4为整数根；当a-1时，=-7a4-8a3+2a2+24a+25若a2，由于-a4+2a210p8p-10q，此时无解；当x1+x2=5+pq时，5+pq=8p-10q，从而(p+10)(q-8)=-85因p，q都是质数，只可能有所以（p，q）=（7，3）；当x1+x2=p+5q时，p+5q=8p-10q，7p=15q，不可能成立，此时无解；当x1+x2=q+5p时，q+5p=8p-10q，3p=11q，所以（p，q）=（11，3）综上所述，满足条件的质数对（p，q）=（7，3）或（11，3）。

6设方程的两个质数根为pq.由根与系数的关系，有pq(k2ak)，pq1999k2ak.，得pqpq1999则(p1)(q1)2453.由知，p、q显然均不为2，所以必为奇数.故和均为整数，且2253.若为奇数，则必5r(r1，2，3)，从而p25r1为合数，矛盾.因此，必为偶数.同理，也为偶数.所以，和均为整数，且53.不妨设pq，则1或5.当1时，53，得p3，q499，均为质数.当5时，52，得p19，q99，q为合数，不合题意.综上可知，p3，q499.代入得k2ak5020.依题意，方程有惟一的实数解.故a245020.有a27将原方程整理成关于a的方程，得(x2-7)a2+xa+1=0 因x是整数，=x2-4(x2-7)=28-3x20,即x2.从而x2=0,1,4,9.x=0,1,2,3.当x=0时，代入方程解得a=；当x=1时，代入方程解得a=或a=；当x=-1时，代入方程解得a=或a=；当x=2时，代入方程解得a=1或a=；当x=-2时，代入方程解得a=或a=-1；当x=3时，代入方程解得a=或a=-1；当x=-3时，代入方程解得a=或a=1 于是a=,1.当a=时，原方程两根为-2,-1。

当a=时，原方程两根为1,-3 当a=时，原方程两根为0,-当a=1时，原方程两根为2,-3.综上所述，a=,,1.8设两整数根为x1,x2，则x1+x2=a为整数 a(x-4)=x2,显然x4,0,a=x+4+，于是x-4=1，2，4，8，16，从而x=5,6,8,12,20 于是a=16,18或25 9.（1）f(a)=a3+(2+2a-a2)a-2a(a+1)=0.（2）f(x)=(x-a)(x2+ax+2a+2)因关于的方程f(x)=0有三个整数根，故x=a为整数，且x2+ax+2a+2=0二根为整数，其=a2-8a-8为完全平方数 设a2-8a-8=t2(t0,且为整数),即(a-4+t)(a-4-t)=24(*)因a-4+t与a-4-t的奇偶性相同，由(*)知a-4+t与a-4-t必同为偶数，注意到a-4+ta-4-t，故，或，或，或解得a=11,-3,9或-1，即a的所有值为-3，-1，9，11 10当m为整数时，原方程为二次方程，(2m+1)2-4(2m-1)=4m2-4m+5=(2m-1)2+4 若方程有有理数根，则应为完全平方数，设(2m-1)2+4=k2(k为整数)，即k+(2m-1)k-(2m-1)=4。

注意到k+(2m-1)与k-(2m-1)有相同的奇偶性，故有k+(2m-1)=2，k-(2m-1)=2或k+(2m-1)=-2，k-(2m-1)=-2 二式都得到m=,此时m不是整数 所以方程没有有理数根 7Word版本。