2016北京市中考数学专题突破五：四边形的有关计算(含答案).doc

专题突破(五)　四边形的有关计算　 四边形中档解答题所考查知识点相对稳定，主要考查学生对所学四边形、相似、解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力.2015年计算量和难度都有所下降．2011—2015年北京中考知识点对比　　 题型年份　　20112012201320142015题型梯形有关计算四边形有关计算四边形有关证明及计算四边形有关证明及运算四边形有关证明与计算1．[2015·北京] 如图Z5－1，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.图Z5－12．[2014·北京] 如图Z5－2，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．图Z5－23．[2013·北京] 如图Z5－3，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．图Z5－34．[2012·北京] 如图Z5－4，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2 .求CD的长和四边形ABCD的面积．图Z5－4一、以特殊平行四边形为背景图形1．[2015·顺义一模] 如图Z5－4，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且CE⊥BD于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G.(1)画出△DEC平移后的三角形；(2)若BC＝2 ，BD＝6，CE＝3，求AG的长．图Z5－52．[2015·东城一模] 如图Z5－6，在△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若AC＝2DE，求sin∠CDB的值．图Z5－63．[2015·海淀一模] 如图Z5－7，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值．图Z5－74．[2015·朝阳一模] 如图Z5－8，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE，OE，连接AE交OD于点F.(1)求证：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．图Z5－85．[2015·西城一模] 如图Z5－9，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．图Z5－9二、以一般四边形为背景图形1．[2014·海淀一模] 如图Z5－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2 ，以AC为边在△ABC的外部作等边三角形ACD，连接BD.(1)求四边形ABCD的面积；(2)求BD的长．图Z5－102．[2014·顺义一模] 如图Z5－11，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，BC＝4，CD＝3，求AB的长．图Z5－113．[2014·石景山一模] 如图Z5－12，在四边形ABCD中，AB＝2，∠A＝∠C＝60°，DB⊥AB于点B，∠DBC＝45°，求BC的长．图Z5－124．[2014·昌平一模] 已知：如图Z5－13，BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3＋，CD＝2 .(1)求tan∠ABD的值；(2)求AD的长．图Z5－13三、以三角形为背景图形1．[2015·平谷一模] 如图Z5－14，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC.(1)求证：BE＝AF；(2)若∠ABC＝60°，BD＝12，求DE的长及四边形ADEF的面积．图Z5－142．[2015·延庆一模] 如图Z5－15，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OC＝4，求EF的长．图Z5－153．[2015·海淀二模] 如图Z5－16，已知：在△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2.(1)求证：AD＝CD；(2)若tanB＝3，求线段AB的长．图Z5－164．[2015·大兴一模] 已知：如图Z5－17，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B.(1)请你判断BC′与AB′的位置关系，并说明理由；(2)求BC′的长．图Z5－17参考答案北京真题体验1.证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE.又∵DF＝BE，∴四边形DEBF为平行四边形．又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四边形DEBF为矩形．(2)∵四边形DEBF为矩形，∴∠BFC＝∠BFD＝90°.∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝＝5，∴AD＝BC＝5，∴AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA.∵CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.2．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥CB.∵AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，∴∠BAE＝∠DAE，∠ABF＝∠CBF.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∠EBF＝∠AFB，∴∠ABF＝∠AFB，∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，AB＝AF，∴AF＝BE.∵AF∥BE，∴四边形ABEF为菱形．(2)如图，过点P作PH⊥AD于点H.∵∠ABC＝60°，AB＝BE，∴△ABE为等边三角形，∴AE＝AB＝4，∠AEB＝60°.∵AD∥BC，∴∠DAE＝60°.∵四边形ABEF为菱形，∴P为AE的中点，∴AP＝2.在Rt△APH中，∠AHP＝90°，∠PAH＝60°，AP＝2，∴AH＝1，PH＝.∵AD＝6，∴DH＝5，∴tan∠ADP＝＝.3．解：(1)证明：在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC.∵F是AD的中点，∴DF＝AD.又∵CE＝BC，∴DF＝CE，且DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形．(2)如图，过点D作DH⊥BE于点H.在▱ABCD中，∵∠B＝60°，∴∠DCE＝60°.∵AB＝4，∴CD＝AB＝4，∴CH＝2，DH＝2 .在▱CEDF中，CE＝DF＝AD＝3，则EH＝1.∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE＝＝＝.4．解：如图，过点D作DH⊥AC于点H.∵∠CED＝45°，DH⊥EC，DE＝，∴EH＝DH＝1.又∵∠DCE＝30°，∴HC＝，DC＝2.∵∠AEB＝45°，∠BAC＝90°，BE＝2 ，∴AB＝AE＝2，∴AC＝2＋1＋＝3＋，∴S四边形ABCD＝×2×(3＋)＋×1×(3＋)＝.北京专题训练一、以特殊平行四边形为背景图形1．解：(1)如图所示．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.由平移可知点C平移到点B，且△DEC≌△AGB，∴BG＝CE，BG∥CE.∵CE⊥BD，CE＝3，∴BG＝3，∠GBD＝90°.在Rt△GBD中，BD＝6，BG＝3.∴DG＝3 .又∵BC＝2 ，∴AD＝2 ，∴AG＝DG－AD＝.2．解：(1)证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴CE＝BD.又∵CD是边AB上的中线，∴BD＝AD，∴CE＝DA.又∵CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形．∵∠BCA＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴AD＝CD，∴四边形ADCE是菱形．(2)过点C作CF⊥AB于点F.由(1)可知BC＝DE.设BC＝x，则AC＝2x.在Rt△ABC中，根据勾股定理可求得AB＝x.∵AB·CF＝AC·BC，∴CF＝＝x.∵CD＝AB＝x，∴sin∠CDB＝＝.3．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠F.∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°.∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB＝∠DAE＝45°，∴∠DAB＝90°.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)如图，过点B作BH⊥AE于点H.∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°.∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6.在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴∠DEA＝∠DAE＝45°，∴AD＝DE＝8，∴BC＝8.在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝10.在Rt△AHB中，∠HAB＝45°，∴BH＝AB·sin45°＝7 .∵在Rt△BHE中，∠BHE＝90°，∴sin∠AEB＝＝.4．解：(1)证明：在菱形ABCD中，OC＝AC.∵DE＝AC，∴DE＝OC.又∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴▱OCED是矩形，∴OE＝CD.(2)∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2，∴AO＝AC＝1.∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝.在Rt△ACE中，AE＝＝.5．解：(1)证明：∵∠ADE＝∠BAD，∴AB∥ED.∵BD垂直平分AC，垂足为F，∴BD⊥AC，AF＝FC.又∵AE⊥AC，∴∠EAC＝∠DFC＝90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．(2)如图，连接BE交AD于点O.∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠1.又∵∠ADE＝∠BAD，∴∠1＝∠BAD，∴AB＝BD，∴▱ABDE是菱形．∵AB＝5，AD＝6，∴BD＝AB＝5，AD⊥BE，OA＝AD＝3.在Rt△OAB中，OB＝＝4.∵S△ABD＝AD·OB＝BD·AF，∴6×4＝5AF，解得AF＝4.8.∵BD垂直平分AC，∴AC。