变化率与导数及导数的计算.docx

第十/艺变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1.函数y=fx)在x=x0处的导数(1)定义：称函数y=fx)在x=x0处的瞬时变化率f(x -H Ax) — fTx ) Aylim_八0 J八0三为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f (x0)或y' lx=x0, Ax^0 Ax Ax^e Ax 0 u u即f'(Xo) =职缶AxfHX皿Ax_O Ax Ax^e(2)几何意义：函数fx)在点x0处的导数f' (x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0，,x0))处的切线的斜 率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为y—fx0)=f (x0)(x—x0).2.函数fx)的导函数称函数f (x)= limAx—0fx±A严为f(x)的导函数.二、基本初等函数的导数公式原函数导函数fx) = c(c为常数)f (x)=0fx)=xn(n WQ*)f' (x) = nxn—1fx) = sin xf' (x) = cos xfx) = cos xf (x) =—sin xf(x)=axf' (x)=axln afx) = exf' (x)=exfx)=logaxf (x) xln afx)=ln xf' (x)=x三、导数的运算法则1. fx)±g(x)]'=f (x)土g' (x)；2. fx)・g(x)]'=f (x)g(x)+fx)g' (x)；f (x)g(x)—fx)g‘(x)[g(x)]2(g(x)H0).1.(教材习题改编)若fx)=xex,则f (1)=( )B. eA. 0C. 2e D. e2解析：选 C •:f (x) = ex+xex,・：f (1) = 2e.2.曲线y=xlnx在点(e, e)处的切线与直线x+ay=1垂直，则实数a的值为()A. 2 B.－2C-I1D.—2解析： 选 A依题意得y'=1+lnx, y 1 =1+ln e=2，所以一丄X2= — 1, a = 2.x=e a3.(教材习题改编)某质点的位移函数是s(t) = 2t3—|gt2(g=10 m/s2)，则当t=2 s时，它的加速度是( )A．14 m/s2B．4 m/s2C. 10 m/s2 D.— 4 m/s2解析：选 A 由 v(t)=s' (t) = 6t2—gt, a(t)=v' (t)=12t—g,得 t=2 时，a(2)=vz (2) = 12X2 —10=14(m/s2).4. (2012・广东高考)曲线y=x3—x+3在点(1,3)处的切线方程为 .解析：Ty‘ =3x2—1,.：y‘ 1 = 3X 12 — 1=2.该切线方程为 y — 3 = 2(x—1),即 2x—y+1=0.答案： 2x— y＋1 = 05．函数 y= xcos x— sin x 的导数为 解析：yz = (xcos x)z —(sinx)z=xz cosx+x(cosx)z —cosx= cos x— xsin x— cos x=— xsin x.答案： — xsin x1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导 法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变 换的等价性，避免不必要的运算失误．2.曲线y=f(x) “在点P(x0, y0)处的切线”与“过点P(x0, y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y=fx)在点P(x0,儿)处的切线是指P为切点，切线斜率为k=f (x0)的切线, 是唯一的一条切线．(2)曲线y=fx)过点P(x0, y0)的切线，是指切线经过P点•点P可以是切点，也可以不 是切点，而且这样的直线可能有多条．1典题导入［例 1］ 用定义法求下列函数的导数．4(1)y=x2； (2)y=x2.Ay f(x+Ax)—f(x)［自主解答］⑴因为aX= aX~(x + Ax)2~ x2Axx2 + 2x •Ax + （Ax）2 ~x2 ,AX Fx+zAy所以 y' =Aliim0 a =Alinl0 （2x+Ax）=2x.⑵因为Ay^^+u亠~4A；（2肿（x + Ax）2 X2 X2（x + Ax）22x+AxX2（x + Ax）2,所以Aim0 Ay=AMm02x+Axx2（x+Ax）2_8.X3由题悟法根据导数的定义，求函数丁=/(工)在x=x0处导数的步骤(1)求函数值的增量Ay=fx0+Ax)—fx0)；⑵求平均变化率詈4七严；(3)计算导数f' (x0)=li m A0 Ax-0 AX3以题试法1．一质点运动的方程为 s= 8—3t2.(1) 求质点在［1,1+At］这段时间内的平均速度；(2) 求质点在t=1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解). 解：(1)Vs=8~3t2,As=8 — 3(1+At)2—(8—3 X 12)= —6At—3(At)2,p 二At=_6_3At-(2)法一(定义法)：质点在t=1时的瞬时速度 十 As .e=li m ■ =li m (—6—3At)=—6.At-0 At At-0法二(导数公式法)：质点在t时刻的瞬时速度 v=s' (t) = (8 —3t2)‘ =—6t.当 t=1 时，p=—6X1 = —6.1典题导入[例 2] 求下列函数的导数．ex+1(1)y=x2sin x； (2)y=eXTp［自主解答］ (1)y‘ = (x2)' sin x+x2(sin x)' = 2xsin x+x2cos x.(2)y‘(ex+1)' (ex—1) — (ex+1)(ex—1)(ex —1)2ex(ex — 1) — (ex +1 )ex —2ex(ex—1)2 (ex—1)2°则 y' = (ln u)' u=2^2=总，2 即 y' =2x^.-由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误3以题试法2．求下列函数的导数．(1)y = ex・ln x；(纺十+出解：(1)y' =(ex・ln x)=exln x+“ x=ex(g x+i12(2)Vy=x3+1+x2，-y' =3x2—x；.1典题导入［例3］ (1)(2011•山东高考)曲线y=x3 + 11在点P(1, 12)处的切线与y轴交点的纵坐标 是( )A．－9 B．－3C．9 D．15(2)设函数fx)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1, g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处切线的斜率为()1- 4一 4• •AC［自主解答］(l)y‘ =3x2，故曲线在点P(l,12)处的切线斜率是3,故切线方程是y—12 = 3(x—1),令 x=0 得 y=9.(2)V曲线y=g(x)在点(1, g(1))处的切线方程为y=2x+1,・・・g‘ (1)=k=2.又f (x)=g‘ (x)+2x,(1)=g‘ (1)+2=4，故切线的斜率为4.［答案］ (1)C (2)C»》一题爹变若例3(1)变为：曲线y=x3+11，求过点P(0,13)且与曲线相切的直线方程.解：因点P不在曲线上，设切点的坐标为(x0, y0),由 y=x3+11，得 yz =3x2,• • k=y lx=Xo=3x0・又Vk=yo—13 xo—O'••X±^=3x0• x03=— 1 ,即 x0=— 1.• k= 3, y0= 10.•所求切线方程为 y— 10= 3（x＋1）即 3x— y＋13= 0.2由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点A(x0, f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值：k=f (x0)；(2) 已知斜率k,求切点A(x1，f(x1))，即解方程f (x1)=k；(3) 已知切线过某点M(x1，fX］))(不是切点)求切点，设出切点A(x0, fx0)),利用k =fx!f1=fl (xo)求解.x1 x03以题试法3. (1)(2012・新课标全国卷)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 .(2)(2013*乌鲁木齐诊断性测验)直线y=2x+b与曲线y=—gx+ln x相切，则b的值为2 1-2- -) A C• • BD解析：(1)yz =3ln x+1+3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4,所以切线方程为y—1 =4(x— 1),即 y=4x—3.⑵设切点的坐标为(a,fa+ln a依题意，对于曲线y=—7x+ln x,1 一卄1- 2所以—出二得a = 1.又切点(1,fj 在直线 y=fx+b 上，故一f=f+b，得 b= — 1.答案：(1)y=4x-3 (2)BA圾全员恶撇题1．函数fx) = (x+2a)(x—a)2的导数为( )A．f(xf- af)B．f(xf＋af)C．3(x2— a2) D. 3(x2＋a2)解析：选 C f (x)= (x—a)2+(x+2a)[2(x—a)] = 3(x2—a2).32.已知物体的运动方程为s = t2+-(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t=2时的速度为( )D.^3解析：选 D °.°s'=2t—&3. (2012・哈尔滨模拟)已知a为实数，函数fx)=x3+axf+(a—2)x的导函数f (x)是偶函数，则曲线y=fx)在原点处的切线方程为()A. y=—3x B. y=—2xC. y=3x D. y=2x解析：选 B x)=x3+ax2+(a—2)x,:寸"(x) = 3x2+2ax+a—2.•・f (x)为偶函数，・・・a = 0.:.f (x) = 3x2—2,・f (0)=—2.・•曲线y=f(x )在原点处的切线方程为y = —2x.4.设曲线y = 1++C°S x在点(n，1)处的切线与直线x—ay+1=0平行,则实数a等于()xA.— 11B・2C.— 2D. 2解析：选A Vyz—sin2x—(1+c°s x)c°s x — 1—cos x , n 1= 」 = ・ ,Ayz lx=2 = —1 .由条件知sin2x sin2x 2 a=— 1 ，・ a=— 1.5. 若点P是曲线y=x2—lnx上任意一点，则点P到直线y=x—2的最小距离为() A. 1 Ba； 2C.于 D.码'3解析：选B 设P(x0, y0)到直线y=x—2的距离最小，则y‘ lx=x0=2x0—丄=1.0 0 0 0 x 0得 x0= 1 或 x0=—*舍).:.P点坐标(1,1).11 — 1 —21:、P 到直线 y=x—2 距离为 d=' 1 | 1 ~=\2.6. fx)与g(x)是定义在。