极大线性无关组课件.ppt

极大线性无关组课件,1,1. 是 的线性组合( 可由 线性表示),2. 任一n维向量 都可由Rn的基本单位向量组唯一线性表示:,有解,(组合系数就是方程组的一个解),3.,可表示为,的线性组合,极大线性无关组课件,有非零解,(无),(只有零解),r n,(r = n),5.,线性相关,线性相关,不全为0，,4.,线性无关,仅当k1=k2=ks=0时成立.,重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.,可否由 线性表示,竖排行变换， 放末列.,是否线性相关,竖排行变换.,求向量组的秩,并将其余,竖排行变换.,极大线性无关组课件,定理5.向量组 线性相关,(线性无关),(任一向量都不能由其余向量线性表示),其中至少有一个向量是其余向量的线性组合,定理3.部分相关 整体相关；整体无关 部分无关,定理4. 短无关 长无关；长相关 短相关.,定理6. 线性无关， 线性相关,可由 唯一线性表示.,定理1. n个n维向量线性相关,(线性无关),(不为0),定理2.向量个数向量维数，,其排成的行列式值为0,向量组线性相关.,极大线性无关组课件,第四章 向量的线性相关性,4. 2 向量组的线性相关性,4. 1 n维向量概念,4. 3 极大无关组,4. 4 线性方程组解的结构,极大线性无关组课件,一、极大线性无关组,极大线性无关组，简称极大无关组.,定义,线性表出；,4. 3 极大无关组,极大线性无关组课件,注:,(2)线性无关向量组的极大无关组,向量组含有非零向量,(1)向量组有极大无关组,(3) 为Rn的一个极大无关组 .,(4)向量组的极大无关组可能不止一个. 例：,( 5 )向量组的所有极大无关组含向量个数相同,线性无关, 而3个二维向量必线性相关. 故,是 的一个极大无关组,和 等也是 的极大无关组.,就是该向量组.,极大线性无关组课件,定义向量组 的极大无关组所含向量个 数称为这个向量组的秩.,性质：,一个向量组线性相关的充要条件是,它的秩与它所含向量个数相同；,它的秩它所含向量个数.,二、向量组的秩,1）一个向量组线性无关的充要条件是,线性无关,线性相关,极大线性无关组课件,3）等价向量组必有相同的秩.,极大线性无关组课件,对应分量不成比例，线性无关,线性相关,线性相关,为极大无关组,繁！,解1,极大线性无关组课件,10,重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.,线性无关,为极大无关组,极大线性无关组课件,例2 求向量组,的一个极大无关组，将其余向量用此极大无关组线性表示，并写出向量组的秩.,为,极大线性无关组课件,例2 求向量组,的一个极大无关组，将其余向量用此极大无关组线性表示，并写出向量组的秩.,为,极大线性无关组课件,r1 r2,D,极大线性无关组课件,附,求向量组的极大无关组的一般步骤：,则就是一个极大无关组.,第一步：作矩阵,或,为列向量时,为行向量时,第二步：用初等行变换化矩阵A为阶梯阵 J .,若 J 中有 r 个非零行，则秩,设 J 中第 i 个非零行第一个非零元所在列标号为,极大线性无关组课件,习题12. 设向量组,（1）当P为何值时，该向量组线性无关？,解：,作矩阵,对矩阵A作初等行变换化阶梯形,，,，,，,（2）当P为何值时，该向量组线性相关？此时，求出它的秩和一个极大线性无关组.,极大线性无关组课件,由矩阵 B 知线性无关且为极大无关组.,极大线性无关组课件,11. 求下列向量组的秩和一个极大线性无关组： （1）,（2）,.,所以，向量组的秩为,极大线性无关组为,极大线性无关组课件,所以，向量组的秩为,极大线性无关组为,极大线性无关组课件,(1)a4时，D0，方程组有唯一解,解:设,则该方程组的系数行列式,(a4),即: a4时, 可由 线性表示, 且表示唯一.,极大线性无关组课件,(2)a4时，对增广矩阵作初等行变换，有,(3)a4且3bc1时,(k为任意常数),3bc1时，方程组无解,即: a4且3bc1时, 不能由 线性表示.,可由 线性表示, 但表示不唯一.,方程组有无穷多组解，,。