
高三数学二轮复习18数列、不等式.pdf
10页易错点- 数列、不等式专题综述数列在高考中可以是客观题,也可以是解答题,客观题一般突出小、巧、活,解答题一般考查数列的通项与求和,难度不大;不等式主要考查不等式的应用,一般为客观题,其中基本不等式也有可能与解三角形及解析几何交汇出现在解答题中.专题探究S n与an关系不清致错求 前n项和时项数不清致错数列与函数的关系不清致错对不等式基本性质理解不透致错 ;二71 一数列、不等式等差数列、等比数列混合运算时致错基本不等式应用不当致错不理解数列的函数性质致错探 究1 ”, 与%关系不清致错易错警示己知数列{ % } 的前〃项和S",求通项%与sn的关系中, 4 = s„ - S “T 成立的条件是〃 2 2 , 求出的% 中 不 一 定 包 括 % , 而 % 应 由 q=S1求出,然后再检验%是否在%在典例1( 2021福建省福州市期中) 若数列{ an} 的前n项和Sn = n2- 3 n - l , 则册 = _ _ _•【 规范解析】解:根据题意, 数列{ an} 的前n项和Sn = M —3n —1,当n = 1 时,% = Si = 1 — 3 — 1 = — 3,当n > 2时,Qn = Sn 一 Sn_!当n = 1时,G 二 S1 ,当nN 2=n2 — 3 n — 1 — ( n — l )2 + 3 ( n — 1 ) 4 - 1 = 2 n - 4 ,n = 1时,的 = - 3不符合,故斯={ 2 n - 4 , n > 2,故答案为:{2n - 4 , n > 2 ,变式训练1( 2 0 2 1湖南省单元测试) 数列{ an}的前n项和是S n,% = 1 , a - 0 , 3 Sn =。
九即+1 + 1 ,若 郁 =2 0 2 0 ,则卜=探究2:数列与函数的关系不清致错易错警示数列的通项公式、前〃项和公式都是关于正整数n的函数, 要善于从函数的观点认识和理解数列问题. 如求数列中的最值、 利用函数单调性求解数列问题, 要注意”的取值不是连续实数, 但考生很容易忽视〃为正整数的特点, 或即使考虑了 «为正整数, 但对于〃取何值时, 能够取到最值求解;H错.典例2( 2 0 2 1辽 宁 省 沈 阳 市 期 中 ) 等 差 数 列 { 斯} 中 ,% > 0 , 3 a 8 = 5的3 ,bn =anan+lan+2' 表示办的前n项和,当7 1取( ) 时%最大.A . 1 7 B. 1 8 C. 1 9【 规范解析】D . 2 0解:公差为d的等差数列{ an}中,3 a 8 = 5的3 ,整理得:3 ( % + 7 d) = 5 (的 + 1 2 d) ,化简得的 = - 弓 乙 所以d <0,所以的1 = — y d 4 - ( n - l ) d = (n - 2 0 . 5 ) d,an+1 = ( n — 1 9 . 5 ) d, an+ 2 = ( n — 1 8 . 5 ) d,所以bn = anan + 1an+ 2 = ( n - 2 0 . 5 ) ( n - 1 9 . 5 ) ( n — 1 8 . 5 ) c由于d V 0 , bn = anan+1an+2f Sn表示心的前几项和,n < 1 8时,bn > 0 ,n = 1 9时,与9 = ( - 1 . 5 ) x ( - 0 . 5 ) x 0 . 5 d3 = - d3 < 0 ,n = 2 0时,b20 = ( - 0 . 5 ) x 0 . 5 x 1 . 5 x d3 = --d3 > 0 ,n > bn < 0 ,且瓦9 = - 6 2 0 ,则S ] 8 = S 2 0 > S 1 9 ,;3.数列是自变量n为正整数的函数,求和的最大值,关注项的正负变化序号,由n的值验证即可.故当n = 2 0或1 8时,S "最大. 故选:BD.变式训练2( 2 0 2 1江苏省扬州市单元测试) 已知数列{ 即} 满足:的 =; ,即+i = |即4 Z1 .( 1 )求证数列{ 即 -2 }是等比数歹U :( 2 )若数列{ 九} 满足垢=2 n+ 2 , an,求{ ,} 的最大值.探究3:等差数列、等比数列混合运算时致错易错警示在数列的基础性试题中, 等差数列、等比数列的通项公式、前〃项和公式是解题的根本, 用错了公式, 解 题 就 失 去 了 方 向 . 且 若 等 比 数 列{ a n}的各项为实数, 则6 , % ,。
5 , …, 4 2 , 1 , …同号, 2 , " 4 M 6, …,… 同号•典例3(2 0 2 1江苏月考)在公差不为0的等差数列{ 即} 中,的, a2, % , ak 2, 成公比为4的等比数列, 则 & = ( )A . 84B . 86C.88D . 9 6【 规范解析】解:设等差数列{ 即} 的公差为d ,因为由, a2, ak l, ak 2,成公比为4的等比数列,所以2 = 4 % ,所以a i + d = 4a i ,得d = 3的 ,L.所以% = 44a l = 2 56%,所以的 4- & - l )d = 2 56a l| 即 & - 1 ) - 3a l = 2 55%,解得自 =86.I____________________________________________________故选:B.变式训练3把握等差数列、等比数列的通项公式,解得基本且_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(2 0 2 1辽宁省沈阳市期中考试)已知{ a "是公比为q的等比数列,且| 53是S ] , 2 s 4的等差中项,则q = ( )A- -IC. -1D . 1探究4:不理解数列的函数性质致错易错警示数列是特殊的函数, 但函数的性质在数列中仍然成立, 如单调性、 周期性等,把握数列的函数性质,可以解决数列的项、前“项和等问题.典例4( 2 0 2 1 福建月考) 在数列{ Qn}中,% = 1,。
2 = 2 , an + 2 = an + 1- an f 则{ an}的前2 0 2 1项和为【 规范解析】解:数列{ 即} 中,的 =1 , a2 = 2,n + 2 = Qn+ i 一即,则:= 2 —= 1,a4 = a3 — a2 = - 1 ,a5 = a4 — a3 = —2 ,6 二曲 一= —1 ,Q 7 == 1,• • •所以:数列的周期为6 ,且% + g +4 ++ “ 6 =数列5} 的前2 0 2 1项和为:( % +2 +5 + a6)-----( @ 2 0 1 1 + a201 2 + a2 0 1 3 + £+ 2 0 1 5 + 0 2 0 1 6)+2 0 1 7 + @ 2 0 1 8 + a2 0 1 9 + a2020+ a2021= 0 + 0 + … + 0 + +5)= 1 + 2 + 1 — 1 —由具体项的结果得到数列具有周期性,由此性质解得数列的前2 0 2 1项和0 1 41 .故答案为:1 .变式训I练4( 2021山东省淄博市单元测试) 已知数列{ an}的首项的=J ,即+1 = 1 -十 ,/an贝 U @ 2 0 2 1 =探究5:求前〃项和时项数不清致错易错警示数列求和常用的方法有公式法、倒序相加法、分 组 ( 并项)求和法、裂项相消法、错位相减法;含有( - 1) ”的数列求和, 一般用分组( 并项) 求和法,且要分〃为奇数与偶数进行讨论, 对每一类的讨论要在前提条件下进行. 用裂项相消法求和时, 要对通项进行变换, 如:后为二= (听前一而, 裂项后可以产生连续相互抵消的项, 但抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项, 也有可能前面剩两项, 后面也剩两项. 错位相减法的过程同学们都会,但由于步骤繁琐,计算量大导致漏项或添项以及符号出错等.典例5(2021河南省郑州市单元测试)若等差数列Q} 的前n项和为之 ,a5 = 9, S5 =25.(1)求数列{ 即} 的通项公式及前n项和Sn;(2)设垢= ( - l )n5n. 求{ 既} 的前项和【 规范解析】解:(1)由题意,Ss = % 止 也 = % 至 = 5。
3 = 25,即 3 = 5 ,设等差数列{ an} 的公差为d,贝 Q = q = 三 = 2,5-3 2II・•・ Qn = % + (九 - 3) • d = 5 + 2(n — 3) = 2n — 1. ।।则a [ = 2 X 1 — 1 = 1,... s, = nU+(2n-l)]= 九 2.(2)由(1)知,% = (-1 )” 朴 =(-1),2,I①当n为偶数时,Q = 瓦 + B + …+ 匕= - I2 + 22 - 32 + 42 --------( n - I)2 + n2= (22 - I2) + (42 - 32) + …+ [n2 - ( n - l)2]含有(一1)的数列求和,用并项求和法,且分〃为奇数与偶数进行讨论= (2 + 1)(2 - 1) + (4 + 3)(4 — 3) + 4- [n + (n - 1)][n - (fi।_______-1 )]QlI= l + 2 + 3 + 4 + “・+ ( n - l ) + n =I②当n为奇数时,及 = 瓦 + ⑦ + …+%= - l2 + 22 - 32 + 42 --------( n - 2)2 + ( n - l)2 - n2= (22 - l2) + (42 - 32)+ …+ [(n - l)2 - (n - 2)2] - n2= (2 + 1)(2 - 1) + (4 + 3)(4 — 3) 4-…+ [(n - 1) + (m- 2)]^(n - 1) — (n — 2) — n211= 1 + 2 + 3 + 4 + …+ (TI — 2) + (TI - 1 )一九 2 = — " }i),• 11J 综上所述T可得严若段一变式训练5(2021湖北七校联考卷) 等差数列{ a ,J的公差d不为0 , 满足。
5 = 13, %,心,成等比数歹U .数歹岫“ } 满 足 氤 +氤+氤+…+ • = A(1)求数列{ an} 与{ %} 的通项公式;(2)若% =即 %,求数列{ 7 } 的前几 项和2 .探究6:对不等式基本性质理解不透致错易错警示在判断不等式大小或解不等式时, 对不等式基本性质中的条件没有准确理解,造成错解,如很多条件是“ 正数不等式”, 同向不等式不能相减、相除;高次不等式、分式不等式、无理不等式等其它不等式在求解时注意它们的等价变形,不能漏解或增解.典例6( 2 0 2 1江苏省无锡市单元测试) 对于实数a , b, c ,下列命题是真命题的为( )A .若 a > b ,则,< 2a hC .若 a > O > b ,贝i j a 2 V —aba b- - - ->- - - - -c - a c - h【 规范解析】B .若 ,则4 2 . .儿2D.若 c > a > b > 0 ,则根据不等式的基本性质判断选项,也可以代值检验解:A根据> 人 ,取a = l , b = - l ,则, b , 0 2 . . 0. . 由不等式的基本性质知a /. . 尻工成立,故8正确;C .由a> 0 >〃,取a = l , Z ? = — 1 ,则不成立,故C错误;D. c > a > h > 0 , / . (a-b)c>0 , B P a c > b c f: .ac — ah>hc — ab , 即 a(c-b)>b(c-a),c — a > 0 , c — Z ? > 0 , / . ■ a - > - - -,故 D 正确.c-a c-bS: BD.变式训练6( 2 0 2 1江苏省扬州市单元测试) 能够说明“ 若a , 则1a + l[a1<---- -=b + ijb是假命题的一组非零实数a, b的值依次为探究7:基本不等式应用不当致错易错警示利用基本不等式求最值时需保证3个条件:一正二定三相等, 特别是等号成立的条件容易忽略,且多次使用基本不等式时要保证等号成立的条件一致.典例74 1( 2 0 2 1江苏联考) 已知实数m , 〃£ (0 ,也 ) 且 加+ 拉= 1 ,则^ —— 十 —丁的最3m + n m + 3n小值为.【 规范解析】解:令 3 加 + 〃 = 尢,tn + 3n = y f 贝 !J x + y = 4 ,4 1 4 11,4 1 、 , 、 4yA 9. . - - - - - -1- - - - - - = —I — = — ( —I — ) ( x + y ) = - ( 5 H - - - - 1— ) . . ;―,3 m + n m + 3n x y 4 x y 4 x y 42 4当且仅当 % = 2 y , x + y = 4 ,即 x = §, y = § ,即6= 25, 〃= _I L 时等号成立. 故答案为:9r .6 6 4变式训练7( 2 0 2 1 湖北模拟) 已知正实数a , b 满足a + 〃 = 3 .⑴ 求y/ 2a + l + V 2 Z ? + 1 最大值;1 4⑵若不等式0 2 川 - b-”, 工 + %对任意xeH恒成立’求 m的取值范围.专题升华> 把握等差数列、等比数列的定义,等比数列的公比、基本不等式这些基本概念、明白常见的陷阱点;> 理解等差数列、等比数列的性质,数列求和方法,细心计算,注意题干特殊条件,是避免出错的有效点;> 重 视 “ 分类讨论”;换元后满足基本不等式应用的条件【 答 案 详 解 】变式训练1【 答案】1347【 解析】• * , 3Sn = anan+1 + 1, ..・ 3sH_i = an_xan + l(n > 2),两式相减得:3an = an(an+1 - 即_ 力,n > 2,,: C L fi H 0, Q〃+i — Q/— i = 3, n N 2, 乂= 1, 3sl — C L^C L^ + 1, • * , 02 = 2,停 产 , 九为奇数 34_] - 3k-2•・•斯 = 八 二 “, 田岭,由 以 =掌 =2 0 2 0 ,或 以 =答 =2020, (kCN*)为偶数 2 z可解得:k = 1 3 4 7 ,故答案为:1347.变式训练2【 解析】(1)证明:因为a“+i - 2 = | 厮 —3 = | ( 即—2), «1 — 2 = — ^所以数列{ % - 2} 是以- 彳为首项,以| 为公比的等比数列, 所以数列{ 厮 -2} 是等比数列;(2)由(1)得 即 —2 = - ( |) - 1,所以册=2 一7 ( |) "T,则 % = 2n + 2[2 - \ • (|)n-i] = 2n+3 - 14x 371-1,因为“ +i - bn = -1 4 - 3n + 2n+4 + 14 - 3n -1 - 2n+3 = 2n+ 3 - 28 - 3n -1 < 2n+ 3 - 3n+ 2= 8 - 2n - 9 - 3n < 9(2n - 3n) < 0, (n 6 N*)所以勾+ 1 < %,即数列{ %} 为递减数列,所以幻的最大值为九= 2 .变式训练3【 答案】A D【 解析】因 为 是 Si,2s4的等差中项,所以2 x | s3 = Si + 2s4 ,即3s3 = Si + 2s4 ,变形得: S3 - Sj = 2S4 - 2s3 ,所以a2 + a3 = 2a4,因为数列为公比为q的等比数列,所以上式可化为:a2 + a2q = 2a2q2,因为等比数列各项均不为0,所以l + q = 2 q 2 , 解得:9 = 1 或 勺 = 一 / 故选:AD.变式训练4【 答案】- 1【 解析an + 1 = 1 - 7 - ,乙anT1 « 31c .11a2 = 1 - - = - 1 , a3 = 1 -- = 2 , a4 = 1• ••数 列{ a n } 是周期为3 的数列,.••a 2 0 2 1 = a 6 7 3 x 3 + 2 = a 2 = - l ,故答案为:- 1 .变式训练5【 解析】( 1 )由已知谖 = 的 。
6 , 又 5 = 1 3 故( 1 3 - 3 d )2 = ( 1 3 - 4 d )( 1 3 + d ),解得d - 0 ( 舍去),或d = 3 , an = a5 + (n — 5 )d ——3n — 2 ,故 ;, =3 n - 2 .1,2,3, , n n zrx■:----------1 ------------1 ------------F ••• H ----------= — (1J2002bl log2b2 log2b3 logzbn 2故当n = l 时,可知—L _ = 1 = > lOq b -2,log2bl 2 " n 1当n 2 2 时,可知 ] , + 2 + 3 +“ . n - i = 曰 ②l o g 2 b l log2b2 log2b3 log2bn_1 2 7① 一② 得 肃 f = 1 = * logzbn = 2 n bn = 4n又瓦也满足e=4n,故当N * 时,都有为 =4n.( 2 )由( 1 )知. =c unbn = ( 3 n — 2 ) x 4n>故又 =1 x 41 + 4 x 42 + • • • + ( 3 n - 5 ) x 4 人】 + ( 3 n - 2 ) x 4 n ③4 Sn = 1 x 42 + …+ ( 3 n - 5 ) x 4n + ( 3 n - 2 ) x 4n + 1( 4 )由 ③ 一 ④ 得— 3Sn = 4 + 3 ( 42 + 43 + …+ 4n) - ( 3 n - 2 ) X 4n + 1 , 解得 土 = ( n - 1 ) x里+ i + 4 ,变式训练6【 解析】由。
〉人,可 得 妫 〉的, 4+妫 > / ? + 蛎 , ,a + i/ a >0,b+ \[h < 0 ,则- - -Tf= <- - -尸 不 成立,故取>0 ,力< 0的一组值即可,a + \ja b + y/ b故答案为1 ; - 1 ( 答案不唯一:第 1 个数大于0,第 2 个数小于即可).变式训练7【 解析】⑴ 由 题 ( V2 a +1 + V2 Z ? + 1 )2 = ( 2 〃 +1 ) + (2b +1 ) + 2j2a +1 • + 13, , ( 勿 + 1 ) + ( 抄+ l ) + ( 2 « + l ) + ( » + l ) = 4 ( a + Z ? ) + 4 = 1 6 ,当且仅当 a = b = 一时取等号.2所以,2 a + l + j2 6 + l , , 4 ,所以J2 a + 1 + J2 " + 1 最大值为4 .(c2')r由k H题百 ,—1 I—4 =1— z ( 〃 + ,力、)/(1— I—4、) =1 —. (. 5 H b 1 4〃 、).. 1 — ( 5 +3 2仍.- - -4-〃)、 = 3个,a b 3 a b 3 a b 3 \ a b也 一 丝 1 4当且仅当卜/ - 6 '即 。
1 ,匕=2取等号, 所以± + ?的最小值为3 .a+b=3 a b又 I x+ 2tn\-\x-\\„ \2m+\\, 不等式 | x + 2 , 〃 | - | x - l 工 + 3 对任意 x e / ?恒成立,a b只 需I 2 % + l | , , 3即可,解得一2金 加1 ,即m的取值范围是[ 一2 , 1 ] .。
