高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 1.1.1 实数大小的比较 1.1.2 不等式的性质学案 北师大版选修4-5.doc

1 -1.11.1 实数大小的比较实数大小的比较 1.21.2 不等式的性质不等式的性质1．理解实数大小与实数运算间的关系，会用作差(商)法比较大小．(重点)2．理解并掌握不等式的性质．(重点、易错易混点)3．能用不等式的性质解决一些简单的问题．(难点)[基础·初探]教材整理 1 实数大小的比较阅读教材 P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列问题．1．实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．2．两实数大小与运算间的关系(1)a＞b⇔a－b＞0；a＜b⇔a－b＜0；a＝b⇔a－b＝0.(2)当a>0，b＞0 时， ＞1⇔a＞b， ＜1⇔a＜b； ＝1⇔a＝b.a ba ba b判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)若 >1，则a>b.( )a b(2)∀x∈R R，x2>2x.( )(3)若a>b>c且a＋b＋c＝0，则a>0，cb，a>c，所以 2a>b＋c，即 3a>a＋b＋c＝0，所以a>0，又因为cb＋c，则a－b________c.(2)若a>b>0，则 ________ .1 a1 b(3)若a>b，cb>0,0 (2) (4)>[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： - 3 -[小组合作型]实数大小的比较(1)已知x＞3，比较x3＋3 与 3x2＋x的大小；(2)若m＞0，试比较mm与 2m的大小．【精彩点拨】 (1)只需考查两者差同 0 的大小关系；(2)注意到 2m＞0，可求商比较大小，但要注意到用函数的性质．【自主解答】 (1)x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1)．∵x＞3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)＞0，∴x3＋3＞3x2＋x.(2)＝m，mm 2m(m 2)当m＝2 时，m＝1，此时mm＝2m，(m 2)当 0＜m＜2 时，0＜ ＜1，m＜1，m 2(m 2)∴mm＜2m.当m＞2 时， ＞1，m＞1，∴mm＞2m.m 2(m 2)比较大小的常用方法及步骤1．求差法：a≥b⇔a－b≥0，a≤b⇔a－b≤0.一般步骤是：作差→变形→判号→定论．变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段．2．求商法：当a>0，b>0 时，把比较a，b的大小转化为比较 与 1 的大小关系，此即为a b作商比较法．理论依据是不等式的性质：若a>0，b>0，则 ≥1⇔a≥b， ≤1⇔a≤b.a ba b一般步骤为：作商→变形→与 1 比较大小→定论．- 4 -[再练一题]1．已知x，y均为正数，设m＝ ＋ ，n＝，试比较m与n的大小. 1 x1 y4 x＋y【导学号：94910000】【解】 m－n＝ ＋ －`1 x1 y4 x＋y＝－＝＝，x＋y xy4 x＋yx＋y2－4xy xyx＋yx－y2 xyx＋y∵x，y均为正数，∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0，∴m－n≥0，即m≥n.利用不等式性质判断命题的真假对于实数a，b，c判断下列命题的真假．(1)若a>b，则acbc2，则a>b；(3)若aab>b2；(4)若a|b|；(5)若c>a>b>0，则>.a c－ab c－b【精彩点拨】 本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答此题需要依据实数的基本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合理逻辑推理即可判断．【自主解答】 (1)由于c的符号未知，因而不能判断ac，bc的大小关系，故该命题是假命题．(2)由ac2>bc2知c≠0，而c2>0，∴a>b，故该命题是真命题．(3)Error!⇒a2>ab；又Error!⇒ab>b2，∴a2>ab>b2，故该命题是真命题．(4)两个负实数，较小的离原点远，其绝对值反而大，故该命题是真命题．(5)Error!⇒0，故该命题是真命题．a c－ab c－b- 5 -1．判断命题的真假往往用举反例予以否定，或从条件入手，看是否推出与结论一致的结论．2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质．[再练一题]2．判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若＞，则a＞b；a c2b c2(3)若a＞b，ab≠0，则 ＜ ；(4)若a＞b，c＞d，则ac＞bd.1 a1 b【解】 (1)错误．当c＝0 时不成立．(2)正确．∵ c2≠0 且c2＞0，在＞两边同乘以c2，∴a＞b.a c2b c2(3)错误．a＞b⇔ ＜ 成立的条件是ab＞0.1 a1 b(4)错误．a＞b，c＞d⇒/ ac＞bd，例如当a，b，c，d为负数时不成立．[探究共研型]不等式性质的简单应用探究 1 甲同学认为a＞b⇔ ＜ ，乙同学认为a＞b＞0⇔ ＜ ，丙同学认为1 a1 b1 a1 ba＞b，ab＞0⇔ ＜ ，请你思考一下，他们谁说得正确？1 a1 b【提示】 甲说得不正确．当a>0，ba>b时也有 b>0，c.e a－c2e b－d2【证明】 ∵c－d>0，∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.(*)由(*)式知(a－c)2>(b－d)2>0，∴>.1 b－d21 a－c2- 7 -又∵e.e a－c2e b－d2[构建·体系]1．设a∈R R，则下面式子正确的是( )A．3a＞2aB．a2＜2aC. ＜aD．3－2a＞1－2a1 a【答案】 D2．已知m，n∈R R，则 ＞ 成立的一个充要条件是( ) 1 m1 n【导学号：94910001】A．m＞0＞nB．n＞m＞0C．m＜n＜0D．mn(m－n)＜0【解析】 ∵ ＞ ⇔ － ＞0⇔＞0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)＜0.1 m1 n1 m1 nn－m mn【答案】 D3．若 6≤x≤13,2≤y≤7，则x－y的取值范围是________．【解析】 ∵2≤y≤7，∴－7≤－y≤－2，又∵6≤x≤13，所以－7＋6≤x－y≤－2＋13，即－1≤x－y≤11.【答案】 [－1,11]4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是________．(填序号)① ＜ ；②ab＞b2；1 a1 b- 8 -③ ＞ ；④＜1.b aa ba＋b b【解析】 ∵a＜b＜0，∴ ＞ ，①不成立；由b＜0，a＜b，∴ab＞b2，②成立；又1 a1 ba＜b＜0，∴0＜ ＜1， ＞1，因此 ＞ 不成立；＝ ＋1＜1 不成立，即①，③，④不正b aa bb aa ba＋b ba b确，只有②成立．【答案】 ②5．已知一次函数f(x)＝ax＋b，且－1≤f(－1)≤2，－2≤f(2)≤3，求f(3)的取值范围．【解】 ∵Error!又∵f(3)＝3a＋b＝－ (－a＋b)＋ (2a＋b)，1 34 3∴－≤f(3)≤.10 313 3我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评学业分层测评( (一一) )(建议用时：45 分钟)[学业达标]一、选择题1．设a，b，c，d∈R R 且a＞b，c＞d，则下列结论正确的是( )A．a＋c＞b＋dB．a－c＞b－dC．ac＞bdD． ＞a db c【解析】 ∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d.【答案】 A2．已知a，b 是实数，则“a＞0 且b＞0”是“a＋b＞0 且ab＞0”的( )A．充分不必要条件- 9 -B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】 当a＞0 且b＞0 时，一定有a＋b＞0 且ab＞0.反之，当a＋b＞0，ab＞0 时，一定有a＞0，b＞0.【答案】 C3．设角α，β满足－0，b>0 时，b .1 a1 a∴“0b>0，则下列各式中恒成立的是( )A.>B．>2a＋b a＋2ba bb2＋1 a2＋1b2 a2C．a＋ >b＋D．aa>bb1 a1 b【解析】 选取适当的特殊值，若a＝2，b＝1，可知＝ ， ＝2，由此可知选项2a＋b a＋2b5 4a bA 不成立．利用不等式的性质可知，当a>b>0 时， b>0，则aa＝bb，故选项 D 不恒成立．故选 B.1 21 4【答案】 B3．设x，y为实数，满足 3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________. x2 yx3 y4- 12 -【导学号：94910003】【解析】 由 4≤≤9，得 16≤≤81.x2 yx4 y2又 3≤xy2≤8，∴ ≤≤ ，1 81 xy21 3∴2≤≤27.又x＝3，y＝1 满足条件，这时＝27.x3 y4x3 y4∴的最大值是 27.x3 y4【答案】 274．已知m∈R R，a＞b＞1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．mx x－1【解】 f(a)－f(b)＝－ma a－1mb b－1＝.mb－a a－1b－1∵a＞b＞1，∴(a－1)(b－1)＞0，b－a＜0.当m＞0 时，f(a)－f(b)＜0，f(a)＜f(b)．当m＝0 时，f(a)＝f(b)．当m＜0 时，f(a)－f(b)＞0，f(a)＞f(b)．。