2023年初三下册数学圆知识点总结归纳定理全面汇总归纳1.pdf

学习必备 精品知识点 初三圆的知识点定理总结 1. 垂径定理及推论: 如图：有五个元素， “知二可推三” ；需记忆其中四个定理， 即“垂径定理” “中径定理” “弧径定理” “中垂定理”. 几何表达式举例： ∵ CD 过圆心 ∵CD ⊥AB 2. 平行线夹弧定理： 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 几何表达式举例： 3. “角、弦、弧、距”定理： （同圆或等圆中） “等角对等弦” ； “等弦对等角” ； “等角对等弧” ； “等弧对等角” ； “等弧对等弦” ； “等弦对等( 优，劣) 弧” ； “等弦对等弦心距” ； “等弦心距对等弦”. 几何表达式举例： (1) ∵∠ AOB= ∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB= ∠COD 4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半； （2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；( 如图) （3） “等弧对等角” “等角对等弧” ； （4） “直径对直角” “直角对直径” ；( 如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.( 如图) （1） （2） （3） （4） 几何表达式举例： （1） ∵∠ACB=21∠AOB ∴ …………… （2） ∵ AB 是直径 ∴ ∠ACB=90 ° （3） ∵ ∠ACB=90 ° ∴ AB 是直径 （4） ∵ CD=AD=BD ∴ ΔABC是 RtΔ 5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角. 几何表达式举例： ∵ ABCD是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素， “知二可推一” ；需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线； （2）圆的切线垂直于经过切点的半径； ※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例： （1） ∵OC是半径∵OC ⊥AB ∴AB是切线 （2） ∵OC是半径 ∵AB是切线 ∴OC ⊥AB （3） …………… 7．切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等；圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例： ∵ PA、PB是切线 ∴ PA=PB ∵PO过圆心 ABCDOABCDEO平分优弧过圆心垂直于弦平分弦平分劣弧∴ ACBCADBD==AE=BEABCDEFOABCOPABOABCDEABCOABCD∵ ∴ ∥ =ABCDACBDABCO是半径垂直是切线学习必备 精品知识点 ABO ∴∠APO =∠BPO 8．弦切角定理及其推论: （1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角； （2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； （3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. （如图） 几何表达式举例： （1）∵BD是切线，BC是弦 ∴∠CBD =∠CAB （2） ∵ ED，BC是切线 ∴ ∠CBA =∠DEF 9．相交弦定理及其推论: （1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； （2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. 几何表达式举例： （1） ∵PA ·PB=PC ·PD ∴……… （2） ∵AB是直径 ∵PC⊥AB ∴PC2=PA ·PB 10．切割线定理及其推论: （1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； （2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 几何表达式举例： （1） ∵PC是切线， PB是割线 ∴PC2=PA ·PB （2） ∵PB、PD是割线 ∴PA· PB=PC ·PD 11．关于两圆的性质定理: （1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦； （2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. （1） （2） 几何表达式举例： （1） ∵O1，O2是圆心 ∴O1O2垂直平分 AB （2） ∵⊙1 、⊙2相切 ∴O1 、A、O2三点一线 12．正多边形的有关计算: （1）中心角n ，半径 RN ， 边心距 rn ， 边长 an ，内角n ， 边数 n； （2）有关计算在 RtΔAOC中进行. 公式举例： (1) n =n360； (2) n1802n 几何 B级概念： （要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理： ABCDABCDEFABCPABCDPABO1O2AO1O2n n ABCDEOarnnnRABCDPABCPO∵ EFAB=平分劣弧角弦弧距定理同圆或等圆中等角对等弦等弦对等角等角对等弧它所对的圆心角的一半如图等弧对等角等角对等弧直径对直角直角对直内对角切线的判定与性质定理如图有三个元素知二可推一需记忆其中四学习必备 精品知识点 1．不在一直线上的三个点确定一个圆. 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分为 2n 个全等的直角三角形. 三 公式： 1. 有关的计算： （1）圆的周长 C=2πR； （2）弧长 L=180Rn； （3）圆的面积 S=πR2. （4）扇形面积 S扇形 =LR21360Rn2； （5）弓形面积 S弓形 =扇形面积 SAOB±ΔAOB的面积. （如图） 2. 圆柱与圆锥的侧面展开图： （1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2 πrh； (r:底面半径；h: 圆柱高) （2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =LR21. （L=2πr，R是圆锥母线长；r 是底面半径） 四 常识： 1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3． 三角形的外心  两边中垂线的交点  三角形的外接圆的圆心； 三角形的内心  两内角平分线的交点  三角形的内切圆的圆心. 4． 直线与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到直线的距离；其中 r 表示圆的半径） 直线与圆相交  d ＜r ； 直线与圆相切  d=r ； 直线与圆相离  d ＞r. 5． 圆与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到圆心的距离，其中 R、r 表示两个圆的半径且 R≥r） 两圆外离  d ＞R+r； 两圆外切  d=R+r ； 两圆相交  R-r ＜d＜R+r； 两圆内切  d=R-r ； 两圆内含  d ＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用： “已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线. 7 ．关于圆的常见辅助线： OCAB 已知弦构造弦心距. OABC 已知弦构造 RtΔ. OABC 已知直径构造直角. OAB 已知切线连半径，出垂直. OBCADP 圆外角转化为圆周角. OACDBP 圆内角转化为圆周角. ODCPAB 构造垂径定理. OACDPB 构造相似形. M01ANO2 两圆内切， 构造外公切线与垂直. 01CNO2DEABM 两圆内切，构造外公切线与平行. NAM02O1 两圆外切，构造内公切线与垂直. CBMNADEO102 两圆外切，构造内公切线与平行. 平分劣弧角弦弧距定理同圆或等圆中等角对等弦等弦对等角等角对等弧它所对的圆心角的一半如图等弧对等角等角对等弧直径对直角直角对直内对角切线的判定与性质定理如图有三个元素知二可推一需记忆其中四学习必备 精品知识点 CEADBO 两圆同心，作弦心距，可证得 AC=DB. ACBO102 两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. BACOP PA 、PB 是切线，构造双垂图形和全等. OABCDE 相交弦出相似. OPABC 一切一割出相似, 并且构造弦切角. OBCEADP 两割出相似, 并且构造圆周角. OABCP 双垂出相似, 并且构造直角. BACDEF 规则图形折叠出一对全等，一对相似. FEDBACOGH 圆的外切四边形对边和相等. ABOCD 若 AD ∥BC 都是切线，连结OA 、 OB 可 证 ∠AOB=180 °，即 A、O、B三点一线. EACBOD 等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心 和切点, 并构造相似形. EFCDBAO RtΔABC的内切圆半径：r=2cba. O 补全半圆. ABCo1o2 AB=2221) rR(OO. CABo1o2 AB=2221) rR( OO. ACDPOB PC 过圆心，PA是切线，构造 双垂、RtΔ. BCDOAP O是圆心，等弧出平行和相似. DEMABCFNG 作 AN ⊥BC ，可证出: ANAMBCGF. 平分劣弧角弦弧距定理同圆或等圆中等角对等弦等弦对等角等角对等弧它所对的圆心角的一半如图等弧对等角等角对等弧直径对直角直角对直内对角切线的判定与性质定理如图有三个元素知二可推一需记忆其中四学习必备 精品知识点 平分劣弧角弦弧距定理同圆或等圆中等角对等弦等弦对等角等角对等弧它所对的圆心角的一半如图等弧对等角等角对等弧直径对直角直角对直内对角切线的判定与性质定理如图有三个元素知二可推一需记忆其中四。