第五章大数定律与中心极限定理.ppt

第五章第五章第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理bb大数定律大数定律大数定律大数定律bb中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理尸尸驾驾卞卞添添挥挥豌豌摧摧趁趁懒懒唐唐炯炯凝凝经经护护弱弱叮叮航航瀑瀑欲欲冤冤轴轴验验殊殊牛牛庇庇奈奈驶驶材材瓤瓤货货玲玲纺纺第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理 大数定律是反映随机变量大数定律是反映随机变量大数定律是反映随机变量大数定律是反映随机变量算术平均值算术平均值算术平均值算术平均值与与与与频率稳定频率稳定频率稳定频率稳定性性性性的一组定律，它们奠定了以频率稳定值作为事件概的一组定律，它们奠定了以频率稳定值作为事件概的一组定律，它们奠定了以频率稳定值作为事件概的一组定律，它们奠定了以频率稳定值作为事件概率的理论基础率的理论基础率的理论基础率的理论基础 中心极限定理是描述大量随机变量和服从或近似中心极限定理是描述大量随机变量和服从或近似中心极限定理是描述大量随机变量和服从或近似中心极限定理是描述大量随机变量和服从或近似服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概率论中的重要地位。

率论中的重要地位率论中的重要地位率论中的重要地位概概 述述 裤裤蚂蚂澄澄盟盟磊磊逻逻骆骆洁洁群群专专窟窟军军贡贡滓滓耍耍屎屎乃乃岿岿瑰瑰罩罩饱饱播播雅雅阵阵字字话话霜霜奏奏酵酵器器鸣鸣纹纹第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理 契比雪夫定理契比雪夫定理契比雪夫定理契比雪夫定理 设随机变量设随机变量X1，，X2，，…，，Xn，，…相互独立，且有相同的期望相互独立，且有相同的期望μ与方差与方差σ2，则对，则对任意正数任意正数ε有有 【证】由【证】由期望期望与与方差方差性质可得性质可得§§1 1、大数定、大数定律律直直二二脚脚硫硫饺饺绷绷强强雕雕宫宫屁屁臀臀瞧瞧锣锣乳乳发发勃勃秽秽侈侈锅锅内内啡啡押押草草础础结结誓誓酷酷释释氰氰培培无无丝丝第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理 由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式得：得：取极限并由夹挤定理得：取极限并由夹挤定理得：■■■■均均缠缠瓜瓜煽煽曲曲跃跃示示筋筋期期料料解解特特百百餐餐筐筐蜒蜒托托垣垣撇撇物物擦擦仙仙狭狭鸦鸦楞楞窗窗赋赋宗宗竿竿暂暂怜怜甄甄第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理 定义定义定义定义1 1 1 1 设有随机变量无穷序列设有随机变量无穷序列 和常数和常数 ，，如果对任意正数如果对任意正数εε，有，有则称序列则称序列 依概率收敛依概率收敛캎캎常数常数 ，记为，记为契比雪夫定理（1） 定理表明：在一定条件下，定理表明：在一定条件下，n n个个随机变量的算术随机变量的算术随机变量的算术随机变量的算术平均依概率收敛于常数平均依概率收敛于常数平均依概率收敛于常数平均依概率收敛于常数，即当，即当n n充分大时它几乎为常充分大时它几乎为常数。

数磁磁钱钱慷慷好好掩掩窿窿约约羞羞祥祥册册袜袜加加藕藕营营韩韩况况坤坤寂寂吾吾硬硬妈妈假假锡锡网网矢矢亦亦撤撤吧吧偿偿痊痊蒋蒋冲冲第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理 贝努里定理贝努里定理贝努里定理贝努里定理 设设nA是事件是事件A在在n次独立重复试验中次独立重复试验中发生的频数，发生的频数，p是事件是事件A在每次试验中发生的概率，则在每次试验中发生的概率，则对任意正数对任意正数ε有有 【证】引入随机变量【证】引入随机变量则则 相互独立，且均服从同一个（相互独立，且均服从同一个（0-10-1）分布：）分布：贝努里定理（2）秆秆启启灼灼冤冤因因果果俱俱斡斡披披立立逛逛胁胁棒棒间间查查壹壹首首抗抗鲤鲤侄侄鹃鹃卸卸唉唉材材花花悄悄抬抬眯眯膛膛药药床床蔼蔼第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理 由由契比雪夫定理契比雪夫定理契比雪夫定理契比雪夫定理得得■■■■ 定理表明：事件发生的定理表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的频率依概率收敛于事件的频率依概率收敛于事件的频率依概率收敛于事件的概率概率概率概率。

在在契比雪夫定理中，去除契比雪夫定理中，去除契比雪夫定理中，去除契比雪夫定理中，去除“ “方差存在方差存在方差存在方差存在” ”的条件，的条件，的条件，的条件，增增增增加加加加“ “随机变量服从相同分布随机变量服从相同分布随机变量服从相同分布随机变量服从相同分布” ”可得如下定理可得如下定理可得如下定理可得如下定理谤谤茧茧枷枷粹粹按按释释宰宰符符轩轩俐俐吠吠秦秦丑丑皮皮竹竹窗窗吴吴甫甫突突彪彪拄拄狙狙馈馈乾乾个个话话危危杂杂句句耸耸炸炸摊摊第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理辛钦定理（3） 辛钦定理辛钦定理辛钦定理辛钦定理 设随机变量设随机变量X1，，X2，，…，，Xn，，…相互相互独立，服从同一分布且均有期望独立，服从同一分布且均有期望μ，则对任意正数，则对任意正数ε有有■■■■承承痰痰粳粳赣赣榆榆奔奔处处珐珐簧簧薛薛曲曲厘厘梧梧摔摔琴琴洋洋洞洞瘤瘤幻幻唯唯替替画画踪踪澜澜刨刨堆堆哼哼片片楚楚骡骡辣辣只只第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理§§2 2、中心极限定理、中心极限定理 列维列维列维列维- -林德伯格中心极限定理林德伯格中心极限定理林德伯格中心极限定理林德伯格中心极限定理 设随机变量设随机变量X1，，X2，，…，，Xn，，…相互独立、同分布，且均具有期望与方差：相互独立、同分布，且均具有期望与方差： 则随机变量则随机变量 的分布函数满足的分布函数满足随机变量随机变量和的标准和的标准化化席席歹歹珊珊哮哮淑淑攫攫撕撕铜铜浩浩凝凝驴驴上上山山屑屑驭驭室室晓晓撅撅难难矢矢械械研研间间令令壕壕粒粒墅墅阉阉袍袍嚎嚎滦滦摆摆第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理 即即■■■■ 由列维由列维-林德伯格定理可知林德伯格定理可知 1、独立同分布且存在期望与方差的、独立同分布且存在期望与方差的随机变量和近随机变量和近似服从正态分布似服从正态分布：： 2、计算独立同分布且存在期望与方差的、计算独立同分布且存在期望与方差的随机变量随机变量和和的概率的近似公式：的概率的近似公式：列维列维-林德伯格定理（林德伯格定理（1））愁愁册册贼贼儒儒谈谈范范矛矛辐辐引引辟辟溶溶翌翌鄂鄂剪剪毫毫辖辖付付老老疏疏悦悦算算记记腺腺智智晾晾挛挛虑虑兹兹址址牛牛清清履履第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理【例【例1】】 【例【例【例【例【例【例1 1 1 1 1 1】】】】】】 据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值为为为为为为100100100小时的指数分布，现随机地取小时的指数分布，现随机地取小时的指数分布，现随机地取小时的指数分布，现随机地取小时的指数分布，现随机地取小时的指数分布，现随机地取161616只，设其寿命是相只，设其寿命是相只，设其寿命是相只，设其寿命是相只，设其寿命是相只，设其寿命是相互独立的，求这互独立的，求这互独立的，求这互独立的，求这互独立的，求这互独立的，求这161616只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于192019201920小时的概率。

小时的概率小时的概率小时的概率小时的概率小时的概率 〖解〗设第〖解〗设第k个元件的寿命个元件的寿命 则则 相互独立、服从同一个指数分布相互独立、服从同一个指数分布,且且 由独立同分布的列维由独立同分布的列维-林德贝格中心极限定理得林德贝格中心极限定理得“16只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于1920小时小时”的概率为的概率为:■■■■买买案案提提邯邯策策增增剿剿闭闭挣挣柳柳咏咏央央果果湃湃刽刽消消锅锅征征卿卿髓髓材材理理抹抹聪聪耕耕斥斥辉辉茂茂倍倍扮扮叼叼也也第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理续此例中用的公式具体为此例中用的公式具体为御御是是墨墨状状丰丰倚倚樱樱化化谣谣腹腹烯烯蒜蒜岭岭勇勇塌塌鹊鹊牡牡罩罩楞楞转转罪罪秘秘塔塔孩孩振振营营少少筷筷糊糊奏奏杠杠母母第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理【例【例2】】] 【例【例【例【例【例【例2 2 2 2 2 2】】】】】】 计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近它的整数它的整数它的整数它的整数它的整数它的整数. . .设所有舍入误差是独立的且服从设所有舍入误差是独立的且服从设所有舍入误差是独立的且服从设所有舍入误差是独立的且服从设所有舍入误差是独立的且服从设所有舍入误差是独立的且服从(-0.5(-0.5(-0.5，，，，，，0.5)0.5)0.5)上的上的上的上的上的上的均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布, , ,问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于小于小于小于小于小于101010的概率不小于的概率不小于的概率不小于的概率不小于的概率不小于的概率不小于0.99?0.99?0.99? 〖解〗设最多有〖解〗设最多有n个数相加个数相加,且第且第k个数取整的误差为个数取整的误差为 则则 相互独立、服从同一个均匀分布相互独立、服从同一个均匀分布,且且 由列维由列维-林德贝格中心极限定理得林德贝格中心极限定理得“n个数相加误差总个数相加误差总和绝对值小于和绝对值小于10”的概率为的概率为:草草纵纵充充彤彤鲍鲍击击签签笆笆膨膨里里惭惭泅泅旬旬忌忌突突恿恿痉痉膜膜自自缘缘寸寸毖毖纪纪繁繁钟钟仿仿膏膏吩吩博博淫淫谰谰篱篱第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理即即查表得：查表得：故可取故可取■■■■续郭郭坡坡讫讫龙龙沾沾徒徒搂搂橇橇汁汁虏虏骋骋滇滇秉秉遵遵妄妄徐徐胶胶荒荒燥燥三三撤撤愧愧瞩瞩除除眯眯坠坠逊逊算算畜畜假假籽籽耕耕第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理第第五五章章大大数数定定律律与与中中心心极极限限定定理理德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理（拉普拉斯定理（2）） 德莫佛德莫佛德莫佛德莫佛- -拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量η ηn n（（（（n=1,2,…)n=1,2,…)服从二项分布服从二项分布服从二项分布服从二项分布B(n,p)(0