连续型随机变量的分布与例题讲解.doc

连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布（一）连续型随机变量及其概率密度函数（一）连续型随机变量及其概率密度函数1.定义：对于随机变量 X 的分布函数 F(X)，若存在非负函数 f(x),使对于任意的实数 x，有，则称 X 为连续性随机变量，f(x)称( )( )xF xf t dt 为 X 的概率密度函数，简称概率密度注注：：F(x)表示曲线下 x 左边的面积，曲线下的整个面积为 12 .密度函数 f(x)的性质：注：f(x)不是概率1) f(x)≥0 2) ( )1f x dx+¥- ¥=ò3) 21x1221x{xx }f(x) x(x )(x )PXdFFï=íï£ï î数 k，并求其分布函数 F(x)和 P{X>0.1}.解：由得f(x) x1d+¥- ¥=ò00f(x) x( )( )df x dxf x dx+¥+¥- ¥- ¥=+òòò3x0kxk/31,ed+¥-===ò3.k\=3x3, x0,f(x)0, x0.e-ìï>ï=íï£ï î当时，0x£( )00xF xdt 当时，0x>0330( )031xtxF xdtedte--- ¥=+=-òò于是， 3x1, x0,F(x)0, x0.e-ìï ->ï=íï£ï î0.3{0.1}1{1}1(1)1(1)P XP XFe->=-£=-=--0.30.7408.e-==（二）正态分布（二）正态分布（1）设随机变量 X 的概率密度函数为22(x)21f(x),x,2e   为常数，则称 X 为服从参数为的正的正态分布，记作,(0)  。

 其图象为（右图） 其中：称为位置参数，的图形2~( ,).XN (x)f关于对称，影响的最大值及曲线的形状分布函数为x(x)f2基 本 内 容备 注22(t)x21(x)t2Fed 性质：1.曲线关于对称，这表明对于任意有xh0-h} }.P{XP{Xh2.当时，x1( ) f( ) .2f x2）标准正态分布特别地，当时，称 X 服从标准正态分布，0,1记为相应的概率密度函数和分布函数分别记为~(0,1).XN22xtx2211(x) (x)t.22πeed x)1(x) 即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用x)例 3 设随机变量 X~N(0,1)，查表计算：(1) P(X≤2.5)；(2) P(X>2.5)；(3) P(|X|2.5) =1- P(X≤2.5) =1- Φ(2.5) =0.006210(3) P(|X|<2.5) =P(-2.5

令得可知tu  2 x21( )2u edux~(0,1).XZN 3基 本 内 容备 注于是，若则它的分布函数可写成：2~( ,)XN x)Fxx(x){x}{}().XFP XP对于任意区间，有12(x ,x ]12 12xxP{xx }{}XXP 21xx()().注：可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概率例如，设 X~N(1,4)，则 0 111.6 1{01.6}{}222XPXP1.6 10 1(0.3)(0.5)0.6179 [1(0.5)] 22   0.6179 1 0.69150.3094.  例 4 设某商店出售的白糖每包的标准全是 500 克,设每包重量 X(以克计)是随机变量,X~N(500,25),求:(1) 随机抽查一包, 其重量大于 510 克的概率;(2) 随机抽查一包, 其重量与标准重量之差的绝对值在 8 克之内的概率;(3) 求常数 C,使每包的重量小于 C 的概率为 0.05。

510500:(1) {510}1{510}1()5P XP X  解1(2)1 0.97720.0228  (2) {|500| 8}{492508}PXPX508500492500()()55 (1.6)( 1.6)2 (1.6) 12 0.9452-10.8904    (3) 求常数 C，使之满足 P{X

三）（三） 对数正态分布对数正态分布定义：定义：若随机变量 X 的概率密度函数为22(ln)21 ( ) 2 0x f xex 5基 本 内 容备 注其中，为常数，则称 X 服从参数为和的对数正态分布，记0 ，作2~(,).XLN 对数正态分布的分布函数为22(ln)2 01( ) 02txF xedtxt 若则2~(,),XLN 21 12lnln{}()()xxP xXx   （四）（四）Weibull 分布分布定义定义：若随机变量 X 的概率密度函数为() 1() ( ) 0 mx mmxexf xx     其中，为常数，则称 X 服从参数为的 Weibull 分布，记作, ,0m , ,m ~( , ,).XW m Weibull 分布的分布函数为() 1( )()mtxmmF xtedt () 1 ()mx ex  ——形状参数m——位置参数——尺度参数Weibull 分布概括了许多典型的分布。

本次课小结：介绍了连续型随机变量的概念, 连续型随机变量概率密度函数的概念及其性质.介绍了几种常见的连续型随机变量的分布，其中最主要的是正态分布 。