高考数学（浙江专用）高考数学（浙江专用）5.3 正弦、余弦定理及解三角形 考点一考点一 正弦、余弦定理正弦、余弦定理考点清考点清单考向基础考向基础1.正、余弦定理正、余弦定理 2.解斜三角形的类型解斜三角形的类型(1)已知两角及一边,用正弦定理,有解时,只有一解.(2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,有解时可分为几种情况.在△ABC中,已知a、b和角A,解的情况如下: 上表中A为锐角时,ab解的个数 一解 两解 一解一解 (3)已知三边,用余弦定理,有解时,只有一解.(4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解.3.三角形的面积三角形的面积设△ABC的三边为a,b,c,所对的三个内角分别为A,B,C,其面积为S,△ABC的外接圆半径为R.(1)S= ah(h为BC边上的高);(2)S= absin C= acsin B= bcsin A;(3)S=2R2sin Asin Bsin C;(4)S= ;(5)S= . 考点二考点二 解三角形及其综合应用解三角形及其综合应用考向基础考向基础1.距离的测量距离的测量 2.高的测量高的测量3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中,目标视线在水平视线④ 上方 的叫仰角,目标视线在水平视线⑤ 下方 的背景可测元素图形目标及解法底部可到达a、α 求AB:AB=atan α底部不可到达a、α、β 求AB:(1)在△ACD中,用正弦定理求AD;(2)AB=ADsin β 叫俯角(如图(a)所示). (2)方位角指从⑥ 某点的正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图(b)所示). (3)坡角指坡面与水平面所成的锐二面角.【知识拓展】【知识拓展】1.三角形中的常用结论在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(1)A+B+C=π;(2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B;(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;(4)在锐角三角形ABC中,sin A>cos B⇔A+B> ;(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C;(6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; tan(A+B)=-tan C ;sin =cos ;cos =sin .2.三角形形状的判断方法三角形形状的判断方法要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,依据已知条件中的边角关系判断时,主要有以下两种途径:(1)化角为边:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化边为角:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用“△ABC中,A+B+C=π”这个结论. 方法方法 有关三角形面积的计算有关三角形面积的计算与三角形面积有关的问题主要有两种:一是求三角形的面积;二是给出三角形的面积,求其他量.解题时主要应用三角形的面积公式S= absin C= acsin B= bcsin A,此公式既与边长的乘积有关,又与角的三角函数值有关,由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解.方法技巧方法技巧 例例 (2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),18,14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 = ,A+3C=π.(1)求cos C的值;(2)若b= ,求△ABC的面积.解题导引解题导引 (1) (2) 解析解析 (1)∵A+B+C=π,A+3C=π,∴B=2C.由 = ,得 = ,化简得cos C= .(2)∵C∈(0,π),∴sin C= = = .∵B=2C,∴cos B=cos 2C=2cos2C-1=2× -1= ,∴sin B= .∵A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= × + × = .∵ = ,b= ,∴c= .∴△ABC的面积S= bcsin A= × × × = . 。
