学年几何与代数试题答案.doc

第 1 页 共 8 页北 京 交 通 大 学2012-2013 学年第一学期 《几何与代数》期末考试试卷（A ）参考答案与评分标准一．简答题（需写出计算过程，本题共九小题，满分 50 分）1. （4 分）已知向量 中任两个的夹角都是 ，且 的长度分别是,3,求向量 的长度 ,62解 22() 210所以 ()102. （4 分）若矩阵 的伴随矩阵的秩为 ，求 的值1a1a解 若矩阵 的伴随矩阵的秩为 ，则矩阵 的秩为 1a 1a2由 ，知 或 ，经验证21()0a1a223． （5 分）求过四点 的空间四(,)(,4)(,3)(,13)ABCD第 2 页 共 8 页面体 的体积ABCD解 由立体几何知，四面体 的体积 等于以 为棱的平ABCDV,ABCD行六面体体积的 1/6即 1()6V而 ，所以(1,3)2,34),12AB， 1()CD 6V4. （5 分）设 是 阶正交矩阵， ， 是 阶矩阵满足 A40AB44BA是 阶单位矩阵，求行列式 的值。

I4TI解 4(1)TTB又 ，所以 ，而 ，故 这样AI21AI0A4T5． （6 分）已知矩阵 和向量组10A123(,4),(1,46),(1,74)求向量组 的一个最大线性无关组，并用其表示23A中其它向量123,,第 3 页 共 8 页解 可证 线性无关，且 ………3 分12,312()又 可逆，故 线性无关所以 是一个最大无关组，A2,A,A且 ………6 分312()6. （6 分）已知三阶矩阵 满足2 35912,263617AA求矩阵 解 可逆，且 ………4 分2210()3所以 321592101()60172A  ………6分7． （6 分）设 ，在 中求 ，使 为正交向量组1(,)3R23,123,解 由已知条件， 的坐标满足 2310x解得基础解系 ， ………3分(,0)(,)将 正交化得23,2。

32(,)1(,)(,0)(1,2) 于是 为所求的正交向量组 ………6分123,8． （7 分）计算 4阶行列式第 4 页 共 8 页12341234xDx解 各列加到第一列 2341234(0)12341234xxDxx 再将第一列的-i 倍加到第 i 列,得 ………7 分3010(0) (10)0xDx9． （7 分）已知二次曲面方程 221312(0)xxaa经过正交变换 化为 求23(,)(,)TTPy222131yby的值，并指出该曲面是何种二次曲面ab解 二次型 的矩阵221231312(,)fxxxa，0aA由题意， 相似于 ，于是 ，得 …230b13b1第 5 页 共 8 页分又10(3)1)()0aIAa故 (3)1)()()()a b所以 ………6分2该曲面是单叶双曲面 ……7分二． （10 分）若向量 能被向量组(2,1)Ta12(,03)(1,),TTa线性表示。

3(1,6)Ta（1）求 的值；（2）求 由 线性表出的一般表达式123,解 向量 能被向量组 线性表示等a12310,,36aa价于增广矩阵为10136a的方程组（*）有解 ………1分将上矩阵化为阶梯形：2121210300 136358aaaa ………4分（1） 由（*）有解，得 ，即 或 ………5 分284（2） （*）的一般解 ………9分1323,1xaxa由 线性表出的一般表达式：123,第 6 页 共 8 页当 时， 4a31323(27)(5)xx或当 时， 231323()()其中 任取 ………10分3x三． （10 分）设直线 过点 ，且平行于平面 若l(,04)M410xyz与直线 相交，求 的方程。

l132zxyl解 设所求直线的点向式方程为 ， ………2 分14xyzlmn由其与平面 平行知3410xyz………4分.()lmn据题意，所求直线与直线 相交，故 ，即32zxy12034ln………7分10430.()ln由（1） ， （2）解得 ………9 分19,728m于是所求直线方程为 ………10461928xyz分四． （8 分）已知平面 垂直于平面 ，且与 的交线落1:320xyz1在 平面上，求 的方程xoz解 由已知条件，所求平面通过 和 平面的交线，故可设 的方程为：1oz………4分320xyzy第 7 页 共 8 页它的法向量 与 的法向量 垂直，故(1,3)1(,13)，解得 ………7 分1)0故 的方程为： ………8分20xyz五（12 分） 已知 是矩阵 的特征值3012Aa（1）求 的值； （2）求正交矩阵 使 为对角矩阵。

aCTA解 （1）由 是矩阵 的特征值，知3A108(2)0I aa解得 ………3分2a（2） 210(1)(3)2IA的特征值是 1（二重） ，-1，3 ………7 分属于 1的线性无关的特征向量为 ，单位化得(1,0),(1,)TT12(,0),,2T属于-1 的线性无关的特征向量为 ，单位化得(1,0)T31(,0)2T第 8 页 共 8 页属于 3的线性无关的特征向量为 ，单位化得(0,1,)T41(0,)2T令 ， ………11分1234101(,,)02C则 ………12分13TA六． （每小题 5分，满分 10分） （1） 设 均是 阶矩阵， 是 阶单位矩阵若,BCnIn，,IAC证明 可逆，且其逆为 进一步验证 IABI（2） 设 是 实矩阵， 是 阶单位矩阵若 正定，证mnIn2TAI明 的秩是 。

证 （1）由 知 ，所以 可逆，且其逆为BIA()I又 ，故 ，因此，CCI，所以 )IBAI（2）由 正定，知 正定，从而 的TAI2()TTATA秩为 又秩（ ）= 秩（ ） ，故 的秩是 。