第03章自激振动.ppt

第三章第三章 自激振动自激振动§3.1 自激振动的机理和特征 §3.2 极限环与 van der Pol 方程§3.3 工程中的自激振动问题§3.4 张驰振动§3.5 动态分岔第三章 自激振动自激振动与周期激励的响应相比，仍然是一种周期振动，它也是靠外界能源的驱动形成的，不同的是现在的能源是一个能量不变的能源，能源本身不直接给系统提供周期性变化的能量，系统振动能量的周期性变化是靠系统固有的某种自动调节机制、周期性地向能源和环境吞吐能量形成的当然，振动系统周期性地向能源吸收能量而能源的能量保持不变，这只能在能源的能量大大超过振动能量的前提下才能近似实现，这是自激振动系统的另一个特征自激振动系统（self-excited system）也称为自振系统,它的特性很复杂本章只学习单自由度系统自激振动的形成和演变的一些基本规律§3.1 自激振动的机理和特征 1. 自激振动的机理图3.1、图3.2为两个自振系统的实例就电铃而言，能源为直流电源，在一定时期内，能量近似恒定，接通电源后，铃锤在电磁吸力作用下，弯曲敲击铜铃，同时电路触点断开，电磁吸力消失；在这个过程中，振系从能源吸收图3.1图3.2电能，一部分转化为铃锤的动能和弹性势能，另一部分由于材料阻尼、敲击等因素而耗散。

接下来的过程是，弹性势能使铃锤恢复形状，使电源再次接通，完成一次振动，并开始下一次振动 可见，自激振动的形成过程和机理是：振系在某些初始激励下能作往复运动，同时振系内有一个固有的自动调节环节起作用，它能自动感知振系状态，根据振系状态自动调节能量的吸收，并能使振系在每个往复运动中吸收的能量逐渐等于耗散的能量，从而使振系的能量和状态周期性变化，即形成自激振动自激振动的形成机理，可用框图表示，如图3.3振动系统调节器能源状态反馈图3.3需要指出的是，图中的调节器就是前述的自动调节环节，对于某些振系，调节器是一个实际存在的装置，如电铃，其调节器为电磁断续器，而对很多振系，调节器并不是一个明确的装置，而是系统自身的特性和参数综合形成的一个自动控制环节2. 自激振动的特征参见课本p57的总结§3.2 极限环与 van der Pol 方程1. 极限环从以上定性分析已知，自激振动是周期振动，因此对单自由度系统，自激振动的相轨迹是一条封闭曲线，与保守系统的自由振动相轨迹不同的是，自激振动的封闭相轨迹的形状和运动周期，是由系统的固有参数和特性决定的，而与初始条件无关因此，自激振动的封闭相轨迹在相平面上是一条孤立的封闭曲线。

在这条封闭曲线邻近的相点，将沿某一螺旋状相轨迹趋近或离开这条封闭曲线，因此称它为极限环(limit cycle)一个振系的极限环可能不止一个，当极限环邻近的相轨迹都趋近于极限环时，该极限环是稳定的，否则，是不稳定的，如图3.4只有稳定的极限环才对应于能够实现的自激振动，因此寻求极限环并确定其稳定性，是非线性自治系统研究中的一个最重要的问题 van der Pol 振荡器是已知存在极限环的系统的一个经典例子 van der Pol 方程也可以由Rayleigh方程经变换得到，Rayleigh方程为2. van der Pol 方程图3.4(3.2)这就是van der Pol 方程对（3.2）作能量积分得(3.1)（3.1）式对 t 求导，得E为积分常数当x 的幅值较小时，上式右端第二项圆括号中的值大于零，积分值随时间增长而增大，系统的机械能增大，即系统向外界吸收能量，同时使系统的运动幅度增大，这一过程一直到积分的平均值为零才停止当x 的幅值较大，上式右端第二项圆括号中的值小于零时，系统将耗散能量，同时使系统的运动幅度减小因此预计系统最后可能会稳定在某个周期运动状态，即自振状态方程（3.2）的第二项与速度有关，相当于一个阻尼项，由上述分析知，它不是常规阻尼，而是一个交变阻尼，耗散能量时，称为正阻尼，吸收能量时称为负阻尼。

下面用相平面法来确定其极限环不失一般性，设Rayleigh方程（3.1）中 ，d = 1，相轨迹微分方程为显然，原点是系统唯一的奇点用Lienard方法作相轨迹， Lienard辅助曲线为(3.3)它也恰好是通过原点的零斜率等倾线，图3.5中的虚线稍加考察可知，奇点附近的相轨迹是向外发散的，因此奇点为不稳定焦点最后作出的相轨迹如图3.5也可用谐波平衡法来求出van der Pol 方程的近似解，设极限环图3.5代入下面的van der Pol方程注意，以上近似解只有当 e 为小参数时才成立，图3.5也是针对e 为小参数的情况画出的对于e 为大参数的情况将在§3.4节中研究§3.3 工程中的自激振动问题1. 时钟原理机械时钟的钟摆简化模型如图3.6，它是一个自激振动系统近似恒定的能源为发条弹性能，当钟摆向平衡位置运动并(3.4)到达摆角 x=  时，会受到由发条能量转换而来的脉冲力设钟摆受到干摩擦，动力学方程可写成 x图3.6系统的能量积分为其中为Dirac d 函数，I 为冲量；方程中忽略了重力的影响其中 E 为积分常数我们规定B <  。

在相平面上，假定相点从 x 轴上的某点 x= x 开始运动，不失一般性，可设 x > 0、 x  ，接下去相点先在下半相平面运动，因此按（3.5）式进行由初始条件求出积分常数E 后，（3.5）式变为(3.5)(3.6)(3.7)这是一个以（0, B）为圆心的圆方程下面分三种情况分析：(1) x < B ：这时按（3.7）式画出的相轨迹如图3.7a，这种相轨迹是不可能出现的，因此相点只能静止不动实际上，这时系统的弹性力没有超过最大摩擦力，弹性力与摩擦力平衡，再加上初始速度为零、没有受到脉冲的作用，因此系统将静止，相点不再运动(2) B < x < ：这时系统也没有受到脉冲的作用，但是弹性力已超过最大摩擦力，系统将按干摩擦阻尼系统的规律逐渐运动随着运动的进行，由于摩擦耗能，位移幅值将持续减小，永远不可能到达x=  的位置而受到能源的激励，因此能源对系统不起作用这种情况下，系统退化为一个纯粹的干摩擦阻尼系统，相轨迹如图3.7bByx图3.7（a）x (3) x > ：这时相点开始阶段按干摩擦阻尼系统的规律在下半相平面逐渐运动，随着位移幅值的减小，将到达x=  的位置，受到脉冲的激励而吸能，激励后，系统位置不变，速度值增加，然后继续按干摩擦阻尼系统的规律运动，到达负 x 轴上的某一点。

接下来相点进入上半相平面运动，运动情况与下半相平面的运动类似，也可能出现上述情况（2）的运动，如图3.8上述各个结果中，只有图3.8(a)所示情况才有可能发育成一个极限环，因此对它作深入分析由（3.5）、（3.6）式，这时的能量积分方程为图3.7（b）由于I 太大能量吸收大于损耗图3.8由于I 太小能量吸收小于损耗(a)(b)-h(3.8)(3.9)(3.10)(3.11)参见图3.9，其中对脉冲函数的积分要注意积分限的变化方向hxT图3.9在（3.9）式中令 y = 0、 x = – h ，解出 h 得在（3.11）式中令 y = 0、 x = xT ，解出 xT 得如果能使 xT = x ，则相轨迹封闭而成为极限环，由(3.12)、(3.13)可求出实现这一结果应满足的条件为(3.12)(3.13)这意味着，对于给定的B、I 值，当相点从点（I / 2B, 0 ）出发，将沿极限环运动马上将证明，这个极限环是稳定的，因此系统能实现自激振动，极限环如图3.10；其振幅 A为(3.14)极限环从极限环外趋近极限环从极限环内趋近极限环图3.10 下面来研究极限环的稳定性。

由(3.12)、(3.13)可得函数关系(3.15)(3.16)（3.16）式意味着，在极限环邻近的相点，每运动一周将向极限环靠近一点，随着运动的进行，相点将逐渐进入极限环，因此极限环是稳定的3.15）式的含义是：相点从 x = x 出发运动一周，将到达 x = xT 点，参见图3.10因为 x = A 时，有 xT = A 、h = A，因此，当时2. 干摩擦自振当干摩擦振子与摩擦面有恒速相对运动时，振子会出现自激振动，图3.11为力学模型图3.11以往将干摩擦力简化为常值，对于本问题，为了能解释实际中出现的自激振动，需要对摩擦力的模型作一些细化，如图3.12，其中的摩擦力j 随速度v 有小的变化不失一般性，设系统的质量和刚度等于1图3.12jm- jm则系统的动力学方程为系统的平衡位置为(3.17)其中 v0 为摩擦面的运动速度，设为常值当 时，摩擦力j (0)的值不定，需要根据不同情况确定，具体如下：(3.18)(3.21)将平衡位置变换到新坐标的原点方程（3.17)变为(3.19)(3.20)引入变换相平面微分方程为(3.24)y (y)曲线如图3.13。

其中图3.13yminymaxv0(3.23)根据式(3.20)、(3.18)、(3.19) 和 (3.23)，y(v0)的取值为(3.22)于是，相平面微分方程变为其中(3.25)(3.26)方程（3.25）决定了几乎整个相平面上的相轨迹分布；方程（3.26）决定了直线 y = v0 上的相轨迹或直线 y = v0 附近的相轨迹的走向与方程（3.25）对应的相轨迹方程（能量积分）为(3.27)因为上式右端第二项的值近似为零（参见图3.13），即于是方程（3.28）为两个圆方程上叠加一个摄动项，摄动项将决定相轨迹是向圆内收缩、向圆外发散或在圆周附近振荡方程（3.26）决定了相点到达y = v0 这条直线上以后的相轨迹及其走向其中的第一个方程规定了相轨迹为一个直线段，第二、第三个方程规定了相轨迹穿越直线y = v0 的斜率上式写成即(3.28)根据方程（3.28）、（3.26），辅之以Lienard方法可以定出相轨线的近似形状易知，辅助曲线 穿过相平面的原点，当v0值适当时，辅助曲线从一、三象限穿过原点，此时原点为不稳定焦点，原点附近的相轨线发散另一方面，由方程（3.26）的第一个方程知道， 从P1(– ymax, v0)、P2(– ymin, v0)两点之间的任意点出发，将沿直线 y = v0运动到P2(– ymin, v0)点，再按方程（3.28）的第一个方程运动回到P1P2线段上的D1点，最后按D1 P2 D2 D1的轨迹作周期运动，因而构成极限环。

如图3.14图3.14近似相轨迹圆心D1D2极限环y3. 管内流体喘振有些输水管道系统中，当拧开水龙头时，水管会剧烈振动并发出噪声，这种现象称为流体的喘振，这是管内流体自激振动造成的图3.15为喘振的力学模型设水泵通过导管1将水注入容器2，导管的长度为l，容器内的水面高度为h，导管和容器的横截面积分别为S1、S2，导管左右导管内水流的流速—流量关系为 (3.29)两端的压强分别为P1、P2，水的密度为r，流速为v，管内阻力为Fd应用动量定理得导管内流体的动力学方程为图3.15压强P1和管内阻力Fd均为流速v的函数，因而也是流量q的函数令(3.30)函数f (q)的实验曲线如图3.16压强P2取决于容器内水面的高度h(3.31)设q0为容器的出水流量，由流体的连续性条件得(3.32)方程（3.29）对t求导，并将(3.30)～(3.32)代入，得(3.33)系统的平衡点为 qs = q0 ，将f(q)在 q0 附近展开，得图3.16如果系统参数和特性的组合恰好使得 df 2(q0) /dq2 = 0，也就是q0恰好是f (q)的拐点，于是得代入（3.33），得(3.34)方程（3.34）是van der Pol方程，因此喘振现象可用van der Pol方程的极限环解释。

§3.4 张驰振动现在我们来考察Rayleigh方程(3.1)中e 为大参数的情况不失一般性，仍然考虑 w 0 = 1、 d = 1的情况(3.35)引入变换，得相轨迹微分方程为(3.37)由于 e 很大，因此只要 y(1  y2)  x  0 , 就可认为近似有dy / dx ，也就是只要相点不落在曲线 y(1 y2) = x 附近，将近似沿相平面上的铅垂线运动；当相点到达(3.36)yx xx = y(1-y2)yx x极限环图3.17ABCD曲线 y(1 y2) = x 附近时，相轨迹的斜率急剧变为零，相点被吸引到曲线 y(1 y2) = x 上，沿该曲线运动到曲线的极值点，然后沿近似铅垂线跳跃到曲线 y(1 y2) = x 的另一侧，接下去，重复沿曲线 y(1 y2) = x 和沿近似铅垂线的跳跃运动，因而构成极限环，如图3.17相点在 AB 线段上运动的时间：可见，近似极限环由两段铅锤线BC、DA，和两段y(1 y2) = x 曲线AB、CD 构成下面，我们来估计相点在AB 线段和BC 线段上运动的时间y B 对应于dx / dy = 0 ，即所以进而(3.38)所以相点在 BC 线段上运动的时间：而其中(3.39)(3.40)G( y )～y 曲线如下图所示， G( y )在 yB 和 yC 的值为，这是由于假设了相轨线 BC 为直线造成的，而实际上相轨线 BC 并非为直线，且BC 与曲线 y(1 y2) = x 的衔接有一个光滑的过渡过程。

因此，在计算式（3.40）的积分时，需要排除G( y )在 yB 和 yC 的奇异区间，从下图可见，我们取非奇异积分区间为 0.3～ 1，由此，对式（3.40）作数值积分，得G ( y )～y 曲线G( y )yyByC(3.41)由于 e 很大，由式（3.39）和（3.41）可见， 有TAB >> TBC对极限环上的CD和DA段有相同的结果因此在自激振动的一个周期中，有非常明显的快、慢交替运动将速度～时间曲线画出，是类似于锯齿的锯齿波，如图3.18这种一张一弛的振动称为张驰振动ty图3.18e = 10.0张驰振动的的过程，从物理本质上讲，是一个能量积聚和能量释放或耗散的交替过程如图3.17，在相轨迹的AB段，系统从能源慢速吸能而使系统的势能缓慢增长，系统动能缓慢变小，到达势能的临界值，系统的相轨迹进入BC段，系统的速度发生跳变，但在跳变过程中，系统的位形几乎不变，因而势能几乎不变；跳变完成后，在C 点系统的动能与A 点的相同因此以上整个过程，几乎没有发生动能的改变，而势能增大，是一个积聚能量并同时使系统进入释放能量状态的过程接下来，在相轨迹的CDA段，是一个反向的能量变化过程，同时使系统进入再次吸收能量的状态。

因此，张驰振动系统只与外界交换能量，而系统内部几乎不进行能量转换，这与其它自振系统和保守系统是不同的§3.5 动态分岔系统的运动状态随着参数变化而发生突变的现象称为动态分岔下面以干摩擦自振系统为例，来说明和认识这种现象在§3.3节中已经给出如下结果：系统的动力学方程为其中图3.20yminymaxv0以上方程和变换中需要注意的一点是: (1) y(0) = 0; (2) 原点是奇点相轨迹如图3.21图3.19jm- jm－vm由图3.21可见，奇点附近的相轨迹是发散的，最后进入极限环，系统的整体运动图景是不稳定焦点和极限环这种情况与曲线 x = - y(y)在奇点附近的斜率有关，图3.21所示情况对应于斜率为正值当斜率变为负值，奇点变为稳定焦点，也不会出现自激振动（极限环），系统的整体运动图景起了本质的变化，这种变化是可以实现的，只要将速度 v0 提高，如图3.22因此这个系统随参数v0 的值有两种不同的运动状态，在v0 的临界值附近，两种运动状态互相切换由图3.19、3.22可见，v0 的临界值为vm 图3.21yx = -y (y)极限环x = - y(y)v0图3.22vm。