中学生物理奥林匹克竞赛第27届试卷及答案.doc

0第第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷届全国中学生物理竞赛复赛试卷题号一二三四五六七八九总分得分阅卷复核本卷共九题，满分 160 分计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步 骤只写出最后结果的不能得分有数字计算的题，答案中必须明确写出数值和单位把 填空题答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程一、(15 分)蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器(见图)若干个摆球位 于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小设重力加速度29.8/gm s1．试设计一个包含十个单摆的蛇形摆 (即求出每个摆的摆长)，要求满足：(a)每个摆的摆长不小于，不大于0.450m ； (b)初始时将所有摆球由平1.000m 衡点沿轴正方向移动相同的一个小位x移()，然后同时释放，0x00.450xm=经过后，所有的摆能够同时回到初始状态40s 2．在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速度首次全部为零所经过的时间为 1二、(20 分)距离我们为 L 处有一恒星，其质量为 M，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为 T，摆动范围的最大张角为。

假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作周期 运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量所满足的方程m若光年，年，毫角秒，(为太阳质量)，则此行星的质10L 10T 3SMMSM量和它运动的轨道半径各为多少？分别用太阳质量和国际单位 AU(平均日地距离)作rSM为单位，只保留一位有效数字已知 1 毫角秒角秒，1 角秒度，1AU1 10001 3600，光速81.5 10 km53.0 10/ckm s2三、(22 分)如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为，半径为 R，螺距，可mHR 绕竖直的对称轴无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆OO的质量可忽略不计一质量也为的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋m 环无摩擦地滑动首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点 A，这 时螺旋环也处于静止状态然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴转动求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向OO的距离为时，螺旋环转动的角速度和小球对环作用力的大小h3四、(12 分)如图所示，一质量为、电荷量为()的粒子做角速度为、半径为 Rmq0q 的匀速圆周运动一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为()，在ddR 导线上通有随时间变化的电流 。

时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的距离i0i  为若粒子做圆周运动的向心力等于电流 的磁场对粒子的作用力，试求出电流 随dRii 时间的变化规律不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响长直导线电流产生的磁场的磁感应强度表示式中的比例系数已知k4五、(20 分)如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为 Q 和-Q(Q>0)，半径分别为 R 和，小球面与大球面内切于 C 点，两球面球心和的连线 MN 沿竖直方/2ROO向在 MN 与两球面的交点 B、O 和 C 处各开有足够小的孔，因小孔损失的电荷量忽略不计有一质量为，带电荷量为()的质点自 MN 线上离 B 点距离为 R 的 A 点竖直mq0q 上抛设静电力常量为，重力加速度为kg1．要使质点为从 A 点上抛后能够到达 B 点，所需的最小初动能为多少？ 2．要使质点从 A 点上抛后能够到达 O 点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少？5六、(20 分)由单位长度电阻为的导线组成如图所示的正方形网络系列时，正方形r1n  网络边长为 L；时，小正方形网络的边长为；时，最小正方形网络的边长2n /3L3n  为。

当、2、3 时，各网络上 A、B 两点间的电阻分别为多少？/9L1n 6七、(15 分)地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射(假定不计大气对 太阳辐射的吸收)一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收被吸收的部分最终 转换成为地球热辐射(红外波段的电磁波)热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温 室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡作为一个简单的理想模型，假定地 球表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃-玻尔兹曼定律：单位面积的辐射功率 J 与表面的热力学温度 T 的四次方成正比，即，其中是一个常量已知4JT太阳表面温度，太阳半径，地球到太阳的平均距离35.78 10STK56.96 10SRkm假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射81.50 10dkm能量的反射率为0.381．如果地球表面对太阳辐射的平均反射率，试问考虑了温室气体对热辐射的反0.30 射作用后，地球表面的温度是多少？2．如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为，其余部10.85分的反射率为问冰雪覆盖面占总面积多少时地球表面温度为。

20.25273K7八、(20 分)正午时太阳的入射光与水平面的夹角有一座房子朝南的墙上有一个直45o径的圆窗，窗口中心距地面的高度为 H试设计一套采光装置，使得正午时刻10Wcm 太阳光能进入窗口，并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进入采光装置前 2 倍的平行光可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平面镜的反射率为，透镜的透射率为，忽略透镜表面对光的反射要求从这些器件中80%70% 选用最少的器件组成采光装置试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的 光路图，并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件8九、(16 分)已知粒子 1 和粒子 2 的静止质量都是，粒子 1 静止，粒子 2 以速度与粒0m0v子 1 发生弹性碰撞 1．若碰撞是斜碰，考虑相对论效应试论证：碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还 是钝角若不考虑相对论效应结果又如何？ 2．若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度2010 年第 27 届全国物理竞赛复赛试题答案一、参考解答：1．以表示第 i 个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是 40s 的整数分之il一，即（Ni为正整数） i i i402πlTgN（1） [(1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.]由(1)可得，各单摆的摆长i22 i400 πglN（2）依题意，，由此可得i0.450m1.000mli2020 ππ0.45ggN（3） 即i2029N（4）因此，第 i 个摆的摆长为i22400 π (19i)gl (i1, 2,,10)L（5）i123456789109li/m0.9930.9010.8210.7510.6900.6350.5880.5450.5070.4722．20s评分标准：本题 15 分．第 1 小问 11 分． （2）式 4 分， （4）式 4 分，10 个摆长共 3 分．第 2 小问 4 分．二、参考解答：设该恒星中心到恒星－行星系统质心的距离为，根据题意有d2Ld（1）将有关数据代入（1）式，得．又根据质心的定义有AU1053dMdrdm（2）式中为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律r有222πMmGMdrT（3）由（2） 、 （3）两式得23224π1md G TM m（4）[若考生用表示行星到恒星行星系统质心的距离，从而把(2)式写为，把(3)式写rMdrm为，则同样可得到222πMmGMdTrd(4)式，这也是正确的.] 利用（1）式，可得103222π 21Lm GTM m（5）（5）式就是行星质量所满足的方程．m可以把(5)试改写成下面的形式 33222π 21m ML GMTm M（6）因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得3 S 22(1AU) (1y)4πGM（7）注意到，由（6）和（7）式并代入有关数据得SMM 3 10 2 S8.6 101Sm Mm M(8) 由（8）式可知S1m M由近似计算可得3 S1 10mM （9） 由于小于 1/1000，可近似使用开普勒第三定律，即 m M3322(1AU) (1y)r T（10）代入有关数据得5AUr （11）评分标准：本题 20 分．（1）式 2 分， （2）式 3 分， （3）式 4 分， （5）式 3 分， （9）式 4 分， （11）式 4 分．11三、参考解答：解法一一倾角为的直角三角形薄片(如图 1 所示)紧贴于半径为的R圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环．根据题意有π1tan2π2R R（1）可得图 1hm vu12， （2）5sin52 5cos5设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为，则环上每一质量为的小质元im绕转轴转动线速度的大小都相同，用 u 表示，uR（3）该小质元对转轴的角动量2 iiiLmuRm R  整个螺旋环对转轴的角动量22 iiLLm RmR（4）小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成．在螺旋环的角速度为时，设小球相对螺旋环的速度为，则小球在水平面内作圆周 v运动的速度为cosRPvv（5）沿竖直方向的速度sinvv（6）对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴的力矩为 0，系统对转轴的角动量守恒，故有0mRLPv（7）由（4） 、 （5） 、 （7）三式得 v cos  R=R（8） 在小球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守恒，有222 i11 22mghmmuPvv（9）由（3） 、 （5） 、 （6） 、 （9）四式得132222singh=RR  vv2cos（10）解（8） 、 （10）二式，并利用（2）式得12 3ghω=R（11）3 v =10gh（12）由（6） 、 （12）以及（2）式得2 3vgh（13） 或有2123ghv（14）（14）式表明，小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动，其加速度1 3ag（15）若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为 ，则有t21 2h=a t（16）由（11）和（16）式得3gtR（17）（17）式表明，螺旋环的运动是匀加速转动，其角加速度3g R（18）小球对螺旋环的作用力有：小球对螺旋环的正压力，在图 1 所示的薄片平面内，1N方向垂直于薄片的斜边；螺旋环迫使小球在水平面内作圆周运动的向心力的反作用2NC Rm2N图 214力．向心力在水平面内，方向指向转轴 C，如图 2 所示．、两力中只有2N2N1N2N对螺旋环的转轴有力矩，由角动量定理有1N1sin  NR tL（19）由（4） 、 （18）式并注意到得t15 3sin3mgNmg（20）而222NNmRPv（21）由以上有关各式得22 3hNmgR（22）小球对螺旋环的作用力2 22 1221453hNNNmgR（23）评分标准：本题 22 分．（1） 、 （2）式共 3 分， （7）式 1 分， （9）式 1 分，求得（11）式给 6 分， （20）式 5 分，（22）式 4 分， （23）式 。