第二讲数学基础幻灯片.ppt

第二讲 地图的数学基础,第二讲 地图的数学基础,§1 地球体 §2 地球坐标系与大地定位 §3 地图投影 §4 地图投影的应用 §5 地图分幅与编号 §6 地图方向,§1 地球体,1.1 地球的自然表面 —— 为了了解地球的形状，让我们由远及近地观察一下地球的自然表面浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体机舱窗口俯视大地 : 地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面—— 珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km事实是：,地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体1.2 地球的物理表面 当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面 在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面它所包围的形体称为大地体大地水准面的意义 1. 地球形体的一级逼近： 对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当 2. 起伏波动在制图学中可忽略： 对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体。

3. 重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）1.2 地球的数学表面 在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为 地球椭球体，简称 椭球体它是一个规则的数学表面，所以人们视其为 地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f,WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid: a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m equatorial diameter = 12 756.3km polar diameter = 12 713.5km equatorial circumference = 40 075.1km surface area = 510 064 500km2,,a - b 6378137 - 6356752.3 f = —— = ———————— a 6378137,1 — = 298.257 f,对 a，b，f 的具体测定就是近代大地测量的一项重要工作。

对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体 —— 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位 通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体 ； 1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台） ； 自1980年开始采用 GRS 1975（国际大地测量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系” 大地坐标的起算点——大地原点地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题具体而言，就是球面坐标系统的建立§2 地球坐标系与大地定位,2.1 地理坐标 —— 用经纬度表示地面点位的球面坐标① 天文经纬度 ② 大地经纬度 ③ 地心经纬度,① 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。

2.1 地理坐标,天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角 在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角② 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l 、大地纬度  和大地高 h 表示2.1 地理坐标,大地经度l ：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角东经为正，西经为负大地纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角北纬为正，南纬为负③ 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l ，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 2.1 地理坐标,在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标 在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标 在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度2.2 中国的大地坐标系统,1.中国的大地坐标系 1980年以前： 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球：,ICA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f = 1/298.257,2.中国的大地控制网,平面控制网 : 按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。

2.2 中国的大地坐标系统,由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成依精度不同，分为四等中国高程起算面是 黄海平均海水面 1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》 取代《黄海平均海水面》 其比《黄海平均海水面》 上升 29毫米青岛观象山水准原点,2.2 中国的大地坐标系统,,绝对高程 相对高程,,,国家水准原点,,国家测绘局,平面控制网,国家测绘局,高程控制网,国家测绘局,水准面示意图,国家测绘局,GPS控制网,国家测绘局,2.3 全球定位系统 - GPS 授时与测距导航系统/全球定位系统 (Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System--GPS)：是以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导航服务1. GPS系统由三个独立的部分组成,空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。

它们在高度20 200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上，轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨道面上布放四颗卫星卫星在空间的这种配置，保障了在地球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息通常会显示出用户的位置、速度和时间还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示2. GPS系统定位原理,数据，组成3个方程式，就可以解出观测点的位置（X,Y,Z）考虑到卫星的时钟与接收机时钟之间的误差，实际上有4个未知数，X、Y、Z和钟差，因而需要引入第4颗卫星，形成4个方程式以求解，从而得到观测点经纬度和高程通过测量卫星信号到达接收机的时间延迟，即可算出用户到卫星的距离再根据三维坐标中的距离公式，利用3颗卫星的,3.常用GPS测量模式,常规静态测量：采用两台(或两台以上)GPS接收机，分别安置在一条或数条基线的两端，同步观测4颗以上卫星，每时段根据基线长度和测量等级观测45分钟以上的时间。

常用于建立全球性或国家级大地控制网、地壳运动监测网 快速静态测量：这种模式是在一个已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星移动站接收机依次到各待测测站，每测站观测数分钟这种模式常用于控制网的建立及其加密、工程测量、地籍测量等 这种方法要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km静态测量模式,准动态测量 在一已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星移动站接收机在进行初始化后依次到各待测测站，每测站观测几个历元数据这种方法不同于快速静态，除观测时间不一样外，它要求移动站在搬站过程中不能失锁，并且需要先在已知点或用其它方式进行初始化（采用有OTF功能的软件处理时例外） 这种模式可用于开阔地区的加密控制测量、工程定位及碎部测量、剖面测量及线路测量等 要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km动态测量模式,实时动态测量：DGPS和RTK 在一个已知测站上架设GPS基准站接收机和数据链，连续跟踪所有可见卫星，并通过数据链向移动站发送数据移动站接收机通过移动站数据链接收基准站发射来的数据，并在机进行处理，从而实时得到移动站的高精度位置。

DGPS通常叫做实时差分测量，精度为亚米级到米级，这种 方式是基准站将基准站上测量得到的RTCM数据通过数据链传输到移动站，移动站接收到RTCM数据后，自动进行解算，得到经差分改正以后的坐标 RTK 则是以载波相位观测量为根据的实时差分GPS测量，它是GPS测量技术发展中的一个新突破它的工作思路与DGPS相似，只不过是基准站将观测数据发送到移动站（而不是发射RTCM数据），移动站接收机再采用更先进的在机处理方法进行处理，从而得到精度比DGPS高得多的实时测量结果这种方法的精度一般为2cm左右§3 地 图 投 影,3.1 地图投影的意义 地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换 地图投影： 在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影 地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上x = f1(j , l ) y = f2(j , l ),,直接建立在球体上的地理坐标，用经度和纬度表达地理对象位置,,,建立在平面上的直角坐标系统，用（x，y）表达地理对象位置,投影,地图投影：投影实质,大地/地理坐标系统,投影/平面坐标系统,经纬网,方里网,3.2 地图的比例尺 1. 地图比例尺的含义,地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。

可表达为（d为图上距离，D为实地距离） 根据地图投影变形情况，地图比例尺分为： 主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺2. 地图比例尺的表示 ① 数字式比例尺 如 1:10 000 ② 文字式比例尺 如 百万分之一 ③ 图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 ④ 特殊比例尺 变比例尺 无级别比例尺,斜分比例尺 也称微分比例尺，是依据相似三角形原理制成的图解比例尺使量测精度达到三位数（10-3）3.3 地图投影变形,1. 投影变形的概念 把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发,现变形表现在长度、面积和角度三个方面2.变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况这种图解方法就叫变形椭圆为经线长度比；,为纬线长度比,微小圆→变形椭圆,该方程证明: 地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即： 以O'为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式代入： X2 + Y2 = 1，得,特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向,长轴方向（极大值）a 短轴方向（极小值）b 经线方向 m ；纬线方向 。