双曲线经典例题.doc
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习题精选精讲 本文来自整理、【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 【解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.【例2】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为【分析】待求式中的是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F（6，0），离心率右准线为.作于N，交双曲线右支于P，连FP，则.此时为最小.在中，令，得取.所求P点的坐标为. （2）渐近线——双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例3】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为点（1，3）代入：.代入（1）：即为所求.【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.（3）共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例4】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.【证明】双曲线的离心率；双曲线的离心率.∴. （4）等轴双曲线——和谐对称 与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.【证明】如图设等轴双曲线方程为，直线CD：y=m.代入（1）：.故有：.取双曲线右顶点.那么：.即∠CBD=90°.同理可证：∠CAD=90°.● 通法 特法 妙法（1）方程法——为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.【例6】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）【解析1】设AB交x轴于M，并设双曲线半焦距为c，∵△是等边三角形，∴点代入双曲线方程：.化简得：.（∵e＞1，∴及舍去）故选D.【解析2】连AF1，则△AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c.令由直角三角形性质知：.∵.∵e﹥1，∴取.选D.【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.（2）转换法——为解题化归立意【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ） A.e> B.1
当β＞α时直线与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由. ∵双曲线中，故取e>.选D.（3）几何法——使数形结合带上灵性【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A． B． C. D．【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；于是，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1P F2=90°.∴.选B.【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.（4）设而不求——与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：【例9】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. B. C. D. 【解析】设弦的两端分别为.则有：.∵弦中点为（2，1），∴.故直线的斜率.则所求直线方程为：，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：【例10】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.∵M（1，1）为弦AB的中点，∴故存在符合条件的直线AB，其方程为：.这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：其一：将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-＜1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.（5）设参消参——换元自如 地阔天宽一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量.要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参.【例11】如图，点为双曲线的左焦点，左准线交轴于点，点P是上的一点，已知，且线段PF的中点在双曲线的左支上.（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）若过点的直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，设，当时，求直线的斜率的取值范围. 【分析】第（Ⅰ）问中，线段PF的中点M的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到点M是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向 第（Ⅱ）中，直线的斜率是主要变量，其它包括λ都是辅助变量. 斜率的几何意义是有关直线倾斜角θ的正切，所以设置直线的参数方程，而后将参数λ用θ的三角式表示，是一个不错的选择.【解析】（Ⅰ）设所求双曲线为：.其左焦点为F（-c。
0）；左准线：.由，得P（，1）；由FP的中点为.代入双曲线方程： 根据（1）与（2）.所求双曲线方程为. （Ⅱ）设直线的参数方程为：.代入得：当，方程（3）总有相异二实根，设为. 已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，∴，.于是：.注意到在上是增函数，（4）代入（5）： ∵双曲线的渐近线斜率为，故直线与双曲线的左右两支分别交必须.综合得直线的斜率的取值范围是.双曲线1已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论 解 (1)如图，设双曲线方程为=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求双曲线方程为=1 (2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐标为(2，2）假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有，∴kl=∴l的方程为y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在 l 2．已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
l 错解 设符合题意的直线存在，并设、l 则 （1）得 因为A（1，1）为线段PQ的中点， 所以 将(4)、(5)代入（3）得 l 若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在 其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的 应在上述解题的基础上，再由 得 根据,说明所求直线不存在3已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？解：（1）设直线AB：代入得 （＊） 令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根 ∴ 且 ∵ ∴ N是AB的中点 ∴ ∴ k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1 （2）将k = 1代入方程（＊）得 或 由得， ∴ ，∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为 即代入双曲线方程整理得 令，及CD中点则，， ∴， |CD| =， ，即A、B、C、D到M距离相等 ∴ A、B、C、D四点共圆 - 2 -- 2 -。
