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习题课习题课参参 数数 估估 计计三、三、补充练习补充练习一、一、内容小结内容小结二、二、典例分析典例分析一、内容小结一、内容小结一、内容小结一、内容小结 1. 1. 基本概念基本概念基本概念基本概念总体总体X，样本，样本(X1,X2,…,Xn)，，样本容量，简单随机样本，样本容量，简单随机样本， 2. 2. 常用统计量的分布常用统计量的分布常用统计量的分布常用统计量的分布样本值样本值(x1,x2,…,xn) ，，统计量统计量g(X1,X2,…,Xn)样本的数字特征：样本均值，样本方差，样本样本的数字特征：样本均值，样本方差，样本k阶矩阶矩,样本样本k阶中心矩阶中心矩①①三大统计分布三大统计分布设总体设总体 X X～～N(0,1), (XN(0,1), (X1 1,X,X2 2，，…X…Xn n) )为样本为样本, ,则则3> 设设U~  2(n1), V~ 2(n2),且且U与与V相互独立相互独立,则称随机变则称随机变量量②②单个正态总体单个正态总体设总体设总体 X～～N( ，， 2), (X1,X2，，…Xn)为样本为样本, 则则③③两个正态总体两个正态总体设总体设总体X X～～N(N( 1 1, , 1 12 2),Y ),Y ～～ 2 2, , 2 22 2),), 且且X X与与Y Y相互独立相互独立, , (X(X1 1 ,X,X2 2，，…X…Xn1n1), (Y), (Y1 1 ,…Y,…Yn2n2) )分别为取自总体分别为取自总体X,YX,Y的样本的样本, ,则则1> 1> 一般情况时有一般情况时有3>3> 3. 3. 主要估计方法主要估计方法主要估计方法主要估计方法 矩估计：矩估计：将要估计的总体参数将要估计的总体参数 表示成表示成总体总体X X的矩的函数，然的矩的函数，然 后用样本的后用样本的相应的矩的函数相应的矩的函数作为其估计量进行估计。

作为其估计量进行估计 区间估计：区间估计：极大似然估计：极大似然估计：当我们用当我们用样本值样本值估计总体的参数时，应使得当参数估计总体的参数时，应使得当参数取这些值时，取这些值时，所观测到的样本所观测到的样本值值出现的概率为最大出现的概率为最大从已知条件出发，求得一个含有待估参数从已知条件出发，求得一个含有待估参数θθ的、分布为已知的、分布为已知（（分布与分布与θθ无关）无关）的样本函数的样本函数Z=ZZ=Z(X(X1 1,X,X2 2,…,X,…,Xn n, , ) )，，然后然后根据根据Z Z分布的（双侧）分布的（双侧）αα分位点，分位点，即可求得即可求得 的的( 1-( 1- ) )的置信区间的置信区间2> 2> 当当 1 12 2= =  2 22 2时时 4. 4. 上上上上   分位点及双侧分位点及双侧分位点及双侧分位点及双侧   分位点分位点分位点分位点当当n > 45时，有近似公式：时，有近似公式：如若如若如若如若Y Y Y Y服从服从服从服从如图，则如图，则如图，则如图，则？？？？？？？？查表练习：查表练习：查表练习：查表练习：t-分布、分布、F-分布与此类似！分布与此类似！ 一旦一旦r.vX的分布为已知，那么的分布为已知，那么X的取值就必定以一定的概率落在一的取值就必定以一定的概率落在一些特定区间内些特定区间内。

二、典例分析二、典例分析例例例例1 1 1 1 设总体设总体X X的概率密度为的概率密度为解解: 1)  的矩估计量的矩估计量. 其中其中 >-1>-1是未知参数是未知参数,X,X1 1,X,X2 2,…X,…Xn n是来自是来自X X的一个容量为的一个容量为n n的简单随的简单随机样本机样本, ,分别用矩估计法和极大似然估计法求分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量的估计量. .1）建立待估参数）建立待估参数   与总体的矩之间的关系式；与总体的矩之间的关系式；2）用相应的样本矩做总体矩的估计量，代入关系式得到）用相应的样本矩做总体矩的估计量，代入关系式得到 的的 估计量3）代入样本值得到）代入样本值得到 的估计值的估计值由于总体由于总体X的数学期望为的数学期望为令其等于样本均值令其等于样本均值即即解得未知参数解得未知参数 的矩估计量为的矩估计量为 2)  的极大似然估计量的极大似然估计量.设设(x1,…xn)是来自样本是来自样本(X1,…Xn)的一个观测值的一个观测值,则参数则参数 的似然的似然函数为函数为时时,恒有恒有L( )>0,故故因此因此,似然方程为似然方程为解之解之,得得 的极大似然估计值的极大似然估计值,从而得从而得 的极大似然估计量为的极大似然估计量为, (4) 在最大值点的表达式中在最大值点的表达式中, 用样本代入就得参数的极大似然估计量用样本代入就得参数的极大似然估计量.(2) 由总体分布导出似然函数由总体分布导出似然函数L(θ);（（其中其中θ为自变量，为自变量， x1 , x2 ,…,xn 是已知常数）是已知常数）,似然函数为分布律似然函数为分布律 (或概率密度或概率密度)乘积乘积;(3) 求似然函数求似然函数L(θ)的最大值点的最大值点(常转化为求常转化为求ln L(θ)的最大值点的最大值点);(1)设设（（x1 , x2 ,…，，xn)为样本为样本(X1,X2,… ,Xn)的一个观察的一个观察值；值；练习练习：：设总体设总体X X的概率密度为的概率密度为 P133T9P133T9（（3 3））其中其中 >0>0是未知参数是未知参数, , >0>0是已知常数是已知常数, ,试根据来自试根据来自总体总体X X的的简单随机样本简单随机样本X X1 1,X,X2 2,…X,…Xn,n,求求 的极大似然估计量的极大似然估计量. .解解: :对数似然函数对数似然函数令令解得解得 的极大似然估计值的极大似然估计值设设(x1,…xn)是来自样本是来自样本(X1,…Xn)的一个观测值的一个观测值,则则似然函数似然函数故故  的极大似然估计量的极大似然估计量例例2：：投资的回收利润率常常用来衡量投资风险，随机地调查投资的回收利润率常常用来衡量投资风险，随机地调查26个个年回收利润率年回收利润率(%),得样本标准差得样本标准差S=15(%),设回收利润率为正态分布设回收利润率为正态分布,求它的求它的方差方差的区间估计的区间估计(置信度为置信度为0.95））解：解：查自由度为查自由度为26-1=25的的 2分布表得分布表得：于是得于是得 2将将S2=152, n=25代入得方差代入得方差 2的置信度为的置信度为0.95的区间估计为的区间估计为 (138.39,428.73),若要求标准差若要求标准差 由由① ① 从已知条件出发，寻求一个含有从已知条件出发，寻求一个含有 （而不含有其（而不含有其 它未知参数）的样本函数它未知参数）的样本函数, ,使得随机变量使得随机变量Z Z的分布的分布 为已知的（最好是常用的）分布为已知的（最好是常用的）分布；；②② 根据根据Z Z的分布的的分布的 分位点，解出分位点，解出 的置信区间的置信区间由于总体的均值未知，故选用由于总体的均值未知，故选用r.v 例例3 3 在一批货物的容量为在一批货物的容量为100100的样本中的样本中, ,经检验发现经检验发现1616个次品个次品, , 试求这批货物次品率的试求这批货物次品率的95%95%的置信区间的置信区间. .则则 μ=E(X)=p , μ=E(X)=p ,由独立同分布中心极限定理由独立同分布中心极限定理分析分析: :设设X X1 1 ,X,X2 2 ,…,X,…,X100100为容量为容量100100的样本的样本研究货物的次品率，故设总体研究货物的次品率，故设总体设设p p为货物次品率为货物次品率, , p{X=1}=p,p{X=1}=p,①①这是一个什么样的总体？服从什么分布？这是一个什么样的总体？服从什么分布？②②要估计的是总体的什么参数？要估计的是总体的什么参数？ 求总体参数求总体参数 p 的的 95%的置信区间的置信区间.代入得代入得解得次品率解得次品率p p的置信区间为的置信区间为(0.101,0.244)(0.101,0.244)关于关于p的一元的一元二次不等式二次不等式非正态总体参数区间估计的大样本法非正态总体参数区间估计的大样本法例例4 4：设总体：设总体X X的密度函数的密度函数(X1,X2,…Xn)来自来自总体总体X的样本，的样本，Yn=max（（X1,X2,…Xn））(1)(1)证明：证明： 和和 都是都是 的无偏估计量；的无偏估计量；(2) (2) 两个估计量哪个更有效？两个估计量哪个更有效？证证: :(1)(1)又总体又总体X的分布函数为的分布函数为 >0是未知参数是未知参数,因此因此Yn的分布函数为的分布函数为都是都是 的无偏估计量的无偏估计量(2)(2)由于方差越小，估计量越有效，因而只需要算出这由于方差越小，估计量越有效，因而只需要算出这 两个估计量的方差即可。

又，两个估计量的方差即可又，故故Yn的密度函数的密度函数同样求得同样求得更有效P132T3 P132T3 利用定理利用定理2 2的结论计算的结论计算 2 2分布的期望与方差分布的期望与方差. .由期望的性质得由期望的性质得 E(Y)=nE(X E(Y)=nE(X2 2) ) 解：解：由定理由定理2 2知：知：X X N(0,1),(XN(0,1),(X1 1,…X,…Xn n) )为其样本为其样本, ,记记由方差的性质得由方差的性质得 D(Y)= nD(X D(Y)= nD(X2 2)= nE(X)= nE(X4 4) – n[E(X) – n[E(X2 2)])]2 2 = nD(X)+nE= nD(X)+nE2 2(X)=n(X)=n 1. 1. 设总体设总体X X方差为方差为1,1,根据来自根据来自X X的容量为的容量为100100的简单随机的简单随机 样本样本, ,测得样本均值为测得样本均值为5,5,则则X X的数学期望的置信度近似等的数学期望的置信度近似等 于于0.950.95的置信区间为的置信区间为? ?(4.802,5.196)(4.802,5.196) 2. 2. 设来自正态总体设来自正态总体X X2 2) )容量为容量为9 9的简单随机样本均值的简单随机样本均值 为为5,5,则未知参数则未知参数 的的置信度为置信度为0.950.95的置信区间是的置信区间是? ?(4.412,5.588)(4.412,5.588) 3. 3. 设随机变量设随机变量X X与与Y Y相互独立且都服从正态分布相互独立且都服从正态分布N(0,3N(0,32 2) ) 而而X X1 1,…X,…X9 9和和Y Y1 1…Y…Y9 9分别是来自总体分别是来自总体X X和和Y Y的简单随机样本的简单随机样本 则统计量则统计量服从服从 分布分布, ,参数为参数为 . . t 9t 9三、补充练习三、补充练习。