分析与综合（百科）.ppt

第十六章 分析与综合,第一节 分析与综合概述,1、分析的意义及其作用分析是人们认识事物的一种基本方法，人们对客观事物的认识是从感觉开始的感觉是客观事物的各种个别属性通过一定的感觉器官在人脑中的反映，经过人的大脑的组合，人获得清晰的客观事物的形象这是感觉分析的过程，它奠定抽象分析的基础抽象分析则是将思维对象的整体分解为各个部分、各个方面、各个层次或各个环节、各种因素而分别加以考察的思维方法人们通过分析将思维对象的各个方面分解开来，然后一个一个地分别加以考察研究，才有可能深刻地认识事物，把握思维对象 【例】人们对自然数的研究，当把它分解为奇数和偶数、质数和合数等等，分别进行考察研究后，人们才获得了对自然数的更深刻的认识可见，分析的主要作用是把整体分解为部分，把复杂转化为简单，把一般分解到个别，从而把人脑对客观事物的思维引入事物的内部，通过对事物的主要矛盾和次要矛盾、事物的共性和个性以及事物的内部联系等等的分析研究，获得对事物的本质及其规律的深刻认识在科学研究(包括数学研究)中，分析还被看作是从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法例】解答应用题，可以从问题出发，根据数量关系，找出要解决这个问题所需的条件，如果这些条件中的某个在应用题中并非已知，就把它作为新问题，找出要解决它的条件，这样逐次逆推，直到所需的条件都是已知条件，从而可以解答为止。

这种分析方法广泛应用在数学问题的证明、解答、计算、作图中，是一种十分重要的解题方法2、综合的意义及其作用在认识事物的过程中，还有一种与分析完全相反的思维过程，它就是综合综合是把通过分析所得到的思维对象的各个部分、各个方面、各个层次、各种因素的认识联结起来，以形成一个统一的整体认识人们通过感觉分析所感知的事物的各种属性，经过大脑的整合而产生的知觉也是一种综合，它是人对作用于感官的客观事物的各种属性的整体反映，它所得到的对象的完整形象只是人对事物的感性认识然而只有通过思维过程的理性分析，和在分析基础上的抽象的综合，人们才能真正地把握思维对象，达到对事物整体的深刻的理性认识 【例】通过综合，把对自然数、零、分数、负数的认识提高到对有理数的认识；把对有理数、无理数的认识提高到对实数的认识等，使人们对数的本质的认识不断地深化可见，综合的主要作用就是把部分统一为整体，把片面概括为全面，把个别上升为一般，综合的目的就是要把通过分析所得到的思维对象的各种认识组成一个统一的有机的整体，以求在总体上把握事物，达到对事物本质及其规律性的更深刻认识在科学研究(包括数学研究)中，与分析相反，综合则被看成是从原因推导到它所产生的结果的另一种思维方法。

例】解答应用题，就要从已知条件出发，根据数量关系，推出由这些条件所能去求得的结果，再把这些结果作为已知条件，与原来的条件合在一起，推出新的结果，这样逐次推断，一直推到题目所要求的答案综合法同样广泛地应用在数学问题的证明、解答、计算、作图中，也是十分重要的解题方法3、分析与综合的辩证关系分析只有在其出发点是某种综合体(即未加分解的整体)的条件下才能进行；同样的，综合也只有当其出发点是某种被分解成各个部分或各个方面的整体时才 能进行可见，分析与综合是互为存在的条件，综合必须以分析为基础，没有分析就没有综合,只有分析才能提供研究对象的各个部分的知识，使探求对象各个部分的相互联系以形成一种新的更深层次的整体性认识的综合成为可能；同样地，分析必须依赖于综合，任何分析总要在综合知识的指导下，从某一整体性的原则出发，才能避免盲目性，对研究对象的各个部分或各个方面进行正确的分 析另一方面，分析与综合的辩证关系还在于它们在一定条件下的互相转化在认识的发展过程中，当思维经过分析得到整体的各方面和各部分的知识，需要在更高的层次上把握事物的整体时，思维活动就由分析转化为综合；而当思维经过综合，使对事物整体的认识进入一个新的境界，又为进一步的分析提供了新的要求和可能，思维活动又由综合转化为分析。

由分析转向综合，又由综合转向分析，这样循环往复，是人类认识发展，建立科学理论体系的辩证过程 【例】人们对数的本质的认识，以及整个数学理论体系建立的过程，就是这样一种由分析到综合、又由综合到分析的辩证发展过程需要注意的是，在具体研究中，分析总为一定的感性材料所制约，而人类在一定历史时期的经验材料总有它的局限性，由此所作的分析，必然有它一定的局限；,另外，分析着眼于局部的研究，把本来相互联系的东西暂时割裂开来，这就可能将人的眼光限制在狭隘的领域里，造成一种孤立、片面看问题的习惯因此，我们要把握分析与综合的辩证关系，注意用综合的思维克服分析的局限4、分析与综合的应用⑴运用分析综合的方法进行学习 【例】“多项式的竖式除法”的自学首先，找准知识连接点，揭示矛盾，建立有余的概念要从数的竖式除法入手，在动手操作中发现问题、分析问题、解决问题先列出有余数的两数相除，最好被除数为五位以上，除数三位为好，列竖式进行相除如下：,左边是熟悉的对45060÷103的竖式除法将它推广探索多项式的竖式除法之前，先分析其各步骤： ⑴被除数和除数均从左向右、高位到低位排列，被除数在除号内，除数在除号左边，0不可不写； ⑵ 从高位起，按除数的位数对被除数分段进行试商，不足除数一倍的被除数段往右多取一个数位； ⑶商数写在除式上方，与被除数段的末位对齐；,⑷试商与除数的积对齐写在被除数段的下方； ⑸被除数减去积的结果写在横线下方，与未除部分一起成为新的被除数； ⑹递次进行，直至余数不足除为止。

左边是探索的对(x3+7x-5)÷(2x+3)的竖式除法探索之前，先迁移分析数的竖式除法各步骤：⑴被除式和除式均从左向右、高次到低次排列，被除式在除号内，除式在除号左边，缺项不可不写；⑵ 从高次项起，按除式的位数对被除式分段进行试商，不足除式一倍次数的被除式段往右多取一个次位；⑶商式写在除式上方，与被除式段的末位对齐；,⑷试商与除式的积式对齐写在被除式段的下方； ⑸被除式减去积式的结果写在横线下方，与未除部分一起成为新的被除式； ⑹递次进行，直至余式不足除为止基本方法掌握之后，还可以进一步用竖式除法练习： (x5-x3+7x-5)÷(x2+3)， (x5-x3+7x-5)÷(2x2+3)，等等上述自学过程各个环节的实施，体现了分析与综合统一于相互转化上教学过程中从现象到本质是以分析为主的，一旦达到了对事物本质的认识，就要用这个本质说明原来的现象，揭示规律的过程就以综合为主随着认识的发展，还可以设置一个障碍进行思考，使认识在新的层次上再转入分析，数学知识就是在这种“分析-综合-再分析-再综合”循环往复的运动过程中不断积累的⑵分析综合在解题中的应用近年来，运用数学思维方法指导数学解题，已经引起了普遍重视。

在解题训练中适当渗透一些解题策略思想，总结一些思维方法，使分析与综合的运用更加完善，有利于培养分析问题和解决问题的能力以下介绍几种常用的解题策略①分类分析逻辑划分在数学中表现为分类思想，培养合理分类、有序思考的习惯，是贯串于数学教学始终的一项整体工程对培养和发展数学思维的条理性、严密性，提高思维能力具有重要意义例】下图中共有多少个正方形?,【分析】这个图形中按边长为3作基准，采用分类计算，观察图中的5类正方形:①边长为l的正置正方形有9个；②边长为2的正置正方形有4个；③边长为3的正置正方形有1个；④边长为 的斜置正方形有5个；⑤边长为 的正方形有12个所以共有正方形9+4+1+5+12=31(个)②试验式分析有些问题对解题者来说是生疏的，难以很快找到解题的方向解题者只能摸索着寻找解题的方法，这种方法不行就试试别的方法每一次试验，尽管有的不能直接有助于解题，但它可以从反面启发人们思考，进而猜测到解题的正确途径这要求解题者具有猜测能力，然而猜测有赖于分析通过分析才能克服在问题的条件中所遇到的种种障碍例】要求种4棵树使互相之间有相同的距离 【分析】一开始，解题者按思维惯性会在平面上作各种解题试验，但总得不到所求的答案。

善于分析者会突然猜想到，问题解答的出路可能不在平面而在三维空间在空间作4个点，互相之间的距离相等，这就是正四面体的四个顶点因此，在解题中作“试验性分析”，有助于克服思维惯性，培养猜想能力和发散思维能力③枚举与筛选根据问题的要求，按一定的顺序，一一列举问题的解答；或者把问题分为不重复不遗漏的有限种情况，一一列举各种情况加以解决，最终解决整个问题这种分析问题、解决问题的方法，即为枚举法在枚举过程中，逐个试验，逐个淘汰不符合条件的解答，直到获得问题的解决，这就是筛选的思路例】已知一个六位数38a75b是11的倍数，求a与b 【分析】能被11整除的数的特征是：把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除——奇偶位差法根据奇偶位差法，(8+7+b)与(3+a+5)的差应是11的倍数，即(8+7+b)－(3+a+5)=7+b－a应该是11的倍数由于b的取值范围是0～9，所以7+b的取值范围是7～16，又因a的取值范围是0～9，所以只须考虑7+b－a的结果是0或1l的情况，按顺序一一枚举如下表下面的列表方法及运算程序为： ⑴从0～9列出b的值； ⑵计算各b值对应的7+b的值； ⑶由a=7+b-11或a=7+b的规律对应求在0～9内a的解； ⑷写出7+b-a的值。

共有九组解如下表（b=3时a不存在）：,④退中求进有些数学问题，由于涉及的已知数很大，或者情况复杂、数量关系曲折，涉及的基础知识并不难，却难以发现解题思路这时不妨从简单的情况或从部分已知条件入手，从中获得某些启示后，再来考虑原题的解有的从正面顺推解题困难，可以尝试从反面倒推总之，我们把这些特殊的分析方法叫做“退中求进”，把复杂的问题转化到基本形态的问题，“退”是为了更好地“进”，即从复杂退到简单，从一般退到特殊，从抽象退到具体，从正面退到反面例】用1到9九个数组成等于1/2的分数，要求每个分数中，九个数字每个只能出现一次 【分析】这是一道属于分数基本性质的逆向思维训练题，不便于从正面去拼凑答案，可以把问题分几步思考，注意保持不重不漏的条件先用九个数分别组成等于1/2的，分子为一位数的分数，然后再合成为一个等于1/2的多位数分数或重复出现5，若5在分母的个位上，则分子出现小数,若5非个位数且前一位数在6以下，则产生的分母必然出现0这都与条件不符下面分类进行分析1、先考虑分子是一位数的情况，用穷举法，得： 1/2=2/4=3/6=4/8=6/12=7/14=8/16=9/18， 注意到：若5出现在分子，产生的分母必然出现0，不符合要求。

2、再考虑分子是两位数的情况，分类进行并用穷举法，分别得：⑴分子含1的有：13/26，14/28，16/32，17/34，18/36，19/38，31/62，41/82；⑵分子含2且不含1的有：23/46，26/52，27/54，28/56，29/58，32/64，82/164，92/184；归纳上述方法为：将两个分子各为一位数的，符合条件的a/b和c/d合成分子为两位数的方法为：ac/(b×10+d)，应排除不符合条件者按照上面总结的规律，继续合成得：⑶分子含3且不含1、2的有：34/68，38/76，39/78，43/86，73/146，93/186；⑷分子含4且不含1、2、3的有：46/92，48/96，49/98，64/128;⑸分子含5且不含1～4的不存在因为5在个位时，分母个位会出现0，而5在十位时，当个位是1～4时分母会在十位出现0，当个位是6～9时分母会在百十两位出现11，均不符合要求;⑹分子含6且不含1～5的有：67/134，69/138，76/152，86/172，96/158;⑺分子含7且不含1～6的有：78/156，79/158;,。