黄昆习题解答.pdf

第一章、 晶体结构 1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设 x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明 结构 x 简单立方 / 6 0.52π ≈ 体心立方 3 / 8 0.68π ≈ 面心立方 2/6 0.74π ≈ 六方密排 2/6 0.74π ≈ 金刚石 3 /16 0.34π ≈ 解：设钢球半径为 r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数 a与 r 的关系不同，分别为： 简单立方： 2ar= 体积为：338ar= ，每个晶胞包含一个钢球，体积为：34/3rπ 所以 / 6 0.52x π=≈ 体心立方： 34ar= 体积为：33(4 / 3)ar= ，每个晶胞包含两个钢球，体积为：38/3rπ 所以 3/8 0.68x π=≈ 面心立方： 24ar= 体积为：33(4 / 2)ar= ，每个晶胞包含四个钢球，体积为：316 / 3rπ 所以 2/6 0.74x π=≈ 六方密排： 2, 8/3arc a== 体积为：382r ，一个元胞内包含两个钢球，体积为38/3rπ 所以 2/6 0.74x π=≈ 金刚石： 根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1(3) 24ar⋅=，所以晶胞体积为33383ar⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，每个晶胞包含 8 个原子，体积为3483rπ⋅ ，则30.3416xπ=≈ 1.2 试证六方密排堆积结构中1281.6333ca⎛⎞=≈⎜⎟⎝⎠ 证明：如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为 a和 c。

右边为底面的俯视图而三个正三角形构成的立体结构，其高度为 222()33aha a=− = 所以 82 1.6333ch a a== ≈ 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 证明：体心立方格子的基矢可以写为 ()2()2()2aaa= −++=−+=+−123aij kaij kaij k面心立方格子的基矢可以写为 ()2()2()2aaa= += += +123a j kakiaij根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 32()2[( ) ( )](2)2 2()2()aaaaaπυπππ=×=−+×+−=++++−=+123baai j kij kkjkijijk同理 a/2/3a2()2()aaππ= += +23bkibij与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为 4/aπ 的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子 根据定义，面心立方的倒格子基矢为 32()2[( ) ( )](4)2 22()aaaaπυππ=×= +× +=−++123baaki ijijk同理 2()2()aaππ= −+= +−23bij kbij k而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为 4 aπ 的体心立方晶格的基矢。

1.4 证明：倒格子原胞的体积为()32/cπ υ ，其中cυ 为正格子原胞的体积 证明：如果晶体原胞基矢为213aaanullnullnull、、 ，则原胞体积为 123()caaaυ = ⋅×null nullnull根据定义，倒格子基矢为 23 31 121232()2()2( ),,cccaa aa aabbbπππυυυ×××===nullnull nullnull null nullnullnullnull则倒格子原胞的体积为 [][]{}[]123323 31 12323 31 21 3112323 31213()2()( )[( )( )]2()( )( )) ( )2()( )( ))(2 )cccccbbbaa aa aaaa aaaa aaaaaa aaaaυπυπυπυπυ∗=⋅ ×=×⋅×××=×⋅×⋅−×⋅=×⋅×⋅=nullnullnullnullnull nullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnullnull nullnullnullnull1.5 证明：倒格子矢量11 2 2 33Ghbhbhb=++nullnullnullnull垂直于密勒指数为123()hhh 的晶面系。

证明：根据定义，密勒指数为123()hhh 的晶面系中距离原点最近的平面 ABC 交于基矢的截距分别为 123123,,aaahhhnull nullnull则 11 33//CA a h a h=−nullnullnullnullnullnull22 33//CB a h a h=−nullnullnullnullnull null如果11 2 2 33Ghbhbhb=++nullnullnullnull分别垂直于 CAnullnullnullnull和 CBnullnullnullnull，则该矢量就垂直于平面上所有的直线，即为平面的法线 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为 (,,)hkl 的晶面系，面间距 d 满足 22222/( )dahkl= ++ 其中 a为立方边长 解：根据倒格子的特点，倒格子 123Ghbkb lb=++null nullnullnull与晶面族 (,,)hkl 的面间距有如下关系 2hklhkldGπ= 因此只要先求出倒格点hklGnull，求出其大小即可 由正格子基矢1aai=nullnull，2aaj=nullnull，3aak=nullnull，可以马上求出： 12biaπ=nullnull，22bjaπ=nullnull，32bkaπ=null null因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 2 2 2 222 2221232()()() 2()()()hklhklGhbkblb hklaaaaππ=++= ++=++null则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。

1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数若立方边长为a，写出最近邻和次近邻的原子间距 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为 8，最近邻原子间距等于32a ，次近邻原子数为 6，次近邻原子间距为 a； 面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为 12，最近邻原子间距等于22a ，次近邻原子数为 6，次近邻原子间距为 a 1.8 画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在 (100) ， (110) ， (111) 面上的原子排列 解：对于体心立方晶格， (100) 面上原子排列方式为 (110) 面上的排列方式为 (111) 面上的排列方式如上图 对于面心立方晶格， (100) 面上原子排列方式为 (110) 面上的排列方式为 (111) 面上的排列方式如上图 1.9 指出体心立方晶格 (111) 面与 (100) 面， (111) 面与 (110) 的交线的晶向 解：如图 (111) 面与 (110) 的交线的晶向为 ABnullnullnullnull如果坐标原点在 A点， B点的位置矢量为 ai aj− +null null所以该晶向为 [110] 对 (111) 面与 (100) 面的交线作同样考虑 晶向为 [011]。

也可以这样求解，因为 (111) 面与 (100) 面的法线方向分别为 [111]和 [100]，所以与这两个方向都垂直的方向是： 111100ijkj k= −nullnull nullnullnull所以晶向为 [011]或 [011] 1.10 找出立方体中保持 x 轴不变的所有对称操作，并指出它们中任意两个操作乘积的结果 解： 1.11 证明六方晶体的介电常数张量为 113000000εεε⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦证明：采用主动变换观点，对于一个二阶张量，在一个转动变换下的形式为（P28 之 39 式） TA Aε ε′= 六方晶体的两个重要对称变换为绕 x轴旋转 180null及绕 z 轴旋转 120null，相应的变换矩阵为 10 001000 1xAπ−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥−⎣⎦和2/31/2 3/2 03/2 1/2 0001zAπ−⎡ ⎤−−⎢ ⎥=−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦如果介电常数张量为 11 12 1321 22 2331 32 33ε εεε εεεε εε⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦将xAπ−代入变换关系，而且该变换为对称变换，得 11 12 13 11 12 1321 22 23 21 22 2331 32 33 31 32 33ε εε ε ε εεεε εε εεεε εε ε−−⎡⎤⎡ ⎤⎢⎥⎢ ⎥=−−⎣⎦⎣ ⎦所以 12 21 13 310ε εεε= === 再将2/3zAπ−代入变换关系，得23 320ε ε= = 及 11 22ε ε= 所以介电常数张量为 113000000εεε⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1.12 比较面心立方晶格、金刚石晶格、闪锌矿晶格和 NaCl 晶格的晶系、布拉伐格子。

答：以上几种晶格的布拉伐格子都属于立方晶系，为面心立方格子 第二章、 固体的结合 2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为 2ln2α = 证明：设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考离子，用 r表示相邻离子间的距离，于是有 (1) 1 1 1 1 21 1 1 12[ ] [ ]234 1234jijr r rrrr rα ±′= = −+−+= −+−+∑nullnull 根据假设，马德隆常数求和中的正负号这样选取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号 因子 2 是因为存在着两个相等距离ir 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面 则马德隆常数为 1112[1 ]234α =−+−+null 因为 234ln(1 )12 3 4xx x xx+=−+−+∵null 当 1x = 时，有 23411 1 1ln(1 1)12 3 4+ =− + − +∵null 所以 2ln2α = 2.2 讨论使离子电荷加倍引起的对 NaCl 晶格常数及结合能的影响排斥势看作不变） 解：按照与书中同样的思路，系统内能为 []nA BUNrr′=−+ 但是现在 204qAαπε′′= ，而 2′= 。

同样在平衡位置满足 0Ur∂=∂则求得晶格常数为 101nBrAn−′=′所以 110()nBrnA−′=′与原来的晶体相比，为 1111011101()() 4()nnnnBnr AArABnA−− −−′′===′结合能为 2001(1 )4NqWrnαπε′′= −′两者比较为 21200 0 112 20001(1 )444 41(1 )4nnnNqrn rWqNqrnαπεαπε− −′−′′′===⋅=′−2.3 若晶体中平均每对原子的相互作用能表示为 ()mnurrrα β=−+ 试求（1 ）平衡间距 （2 ）结合能 W （单个原子） （3 ）体弹性模量 （4 ）若取02, 10, 3 , 4mn r WeV== =Α= 求 ,α β 的值 解：所有的计算都涉及晶体的总内能 ()Ur，题设所给的为任意两个原子间的相互所用，忽略表面原子的效应，总的内能为 () () [ ]22mnNNUr urrrα β==−+ （1 ）平衡时，有 0Ur∂=∂所以 11000mnmnrrα β++− = 得 10()nmnrmβα−= （2 ）结合能为 0000 0() [ ] ( )22()(1)22(1 )( )2mmn nmmmmnmNNWUr rrr rNNmrrnnmNmnnmα ββαβααβααβα−−−−−−=− = − = −=−=−=−则平均单个原子的结合能为 1(1 )。