画法几何制图平面的投影及相对位置.ppt

1 1三峡大学三峡大学小结一、各种位置直线的投影特性一、各种位置直线的投影特性(三大类七种位置直线三大类七种位置直线)⒉ ⒉ 投影面平行线投影面平行线（（一斜两平行一斜两平行））水平线、正平线、侧平线水平线、正平线、侧平线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角另两个投影平行于相应的投影轴另两个投影平行于相应的投影轴⒊ ⒊ 投影面垂直线投影面垂直线（（一点两垂直一点两垂直））铅垂线、正垂线、侧垂线铅垂线、正垂线、侧垂线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点另两个投影反映在其垂直的投影面上的投影积聚为一点另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴实长且垂直于相应的投影轴●a b a(b)a b ba aa b b βγb a ab ba  ⒈ ⒈ 一般位置直线一般位置直线（（三斜无实长三斜无实长））三个投影与各投影轴都倾斜三个投影与各投影轴都倾斜2 2三峡大学三峡大学二、直线上的点二、直线上的点⒈ ⒈ 从属性从属性：点的投影在直线的同名投影上：点的投影在直线的同名投影上。

⒉ ⒉ 定比性定比性：点分线段之比在投影中不变点分线段之比在投影中不变 AB:CB=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”AB:CB=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”baabccaccbabca b c 3 3三峡大学三峡大学三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置⒈⒈ 平行平行⒉⒉ 相交相交⒊⒊ 交叉交叉 同面投影互相平行同面投影互相平行( (注意投影面平行线注意投影面平行线) ) 同面投影相交，交点是两直线的同面投影相交，交点是两直线的共有点共有点，且符合点的投影特性且符合点的投影特性 同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但“交点交点”不符合点的投影特性所谓不符合点的投影特性所谓“交点交点”是两直线上一对是两直线上一对重影点重影点的投影b abcdc a d abcdb a c d kk b bc d dcXa a3 (4 )341 2 1(2)4 4三峡大学三峡大学四、相互垂直的两直线的投影特性四、相互垂直的两直线的投影特性⒈ ⒈ 两直线同时平行于某一投影面时两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投，在该投影面上的投影反映直角。

影反映直角⒉ ⒉ 两直线中有一条平行两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角的投影反映直角⒊ ⒊ 两直线均为一般位置直线时两直线均为一般位置直线时，在三个投，在三个投影面上的投影都不反映直角影面上的投影都不反映直角直角投影直角投影定理定理a c b abc.即要在投影图中画垂直或判断即要在投影图中画垂直或判断垂直，必须有投影面平行线垂直，必须有投影面平行线5 5三峡大学三峡大学1.4 1.4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法●●●●●●a ab bc ca a b b c c 不在同一直线不在同一直线上的三个点上的三个点●●●●●●a ab bc ca a b b c c a ab bc ca a b b c c ●●●●●●d d●d d ●两平行直线两平行直线a ab bc ca a b b c c ●●●●●●两相交直线两相交直线*●●●●●●a ab bc ca a b b c c 平面图形平面图形1 1、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面直线及线外一点直线及线外一点6 6三峡大学三峡大学2.2.迹线表示法迹线表示法 空间平面与投影面的交线空间平面与投影面的交线叫平面的迹线。

叫平面的迹线 平面平面P P与与H H面的交线为面的交线为水平迹线水平迹线P PH H，，与与V V面的交线为面的交线为正面迹正面迹线线P PV V，，与与W W面的交线为面的交线为侧面迹线侧面迹线P PW W7 7三峡大学三峡大学a.a.一般位置平面的迹线表示法一般位置平面的迹线表示法VHPPVPHPVPHb.b.特殊位置平面的迹线表示法特殊位置平面的迹线表示法QVPVP PHHVHP PHHQV8 8三峡大学三峡大学平行平行垂直垂直倾斜倾斜实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性⒈ ⒈ 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性二、平面的投影二、平面的投影平面平面////投影面投影面投影反映实形面投影反映实形面平面平面⊥⊥投影面投影面投影积聚成直线投影积聚成直线平面平面∠∠投影面投影面投影类似原平面投影类似原平面9 9三峡大学三峡大学⒉ ⒉ 各种位置平面的投影各种位置平面的投影( (三类七种情况三类七种情况) )投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 铅垂面铅垂面(⊥⊥H) 正垂面正垂面(⊥⊥V)侧垂面侧垂面(⊥⊥W) 水平面水平面(//H) 正平面正平面(//V) 侧平面侧平面(//W)1010三峡大学三峡大学VWHPPH 铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：1. abc积聚为一条线，积聚为一条线， 与与OX、、 OYH的夹角的夹角反映反映 、、 角；角； 2 .a b c 、、 a b c 为为 ABC的类似形；的类似形；ABCacbababbaccc1 1）） 投影面垂直面的投影投影面垂直面的投影1111三峡大学三峡大学VWHV 正垂面正垂面 投影特性：投影特性：1. a b c  积聚为一条线，与积聚为一条线，与OX、、 OZ的夹角的夹角反映反映α、、  角；角； 2.abc、、a b c 为为  ABC的类似形。

的类似形αababbacccAcCabB1212三峡大学三峡大学VWHSWS 侧垂面侧垂面投影特性：投影特性：1、、 a b c 积聚为一条线，积聚为一条线， 与与OYW 、、 OZ 的夹角的夹角反映反映α、、β角角；2 、、 abc、、 a b c 为为  ABC的类似形的类似形CabABcabbbaaαβccc1313三峡大学三峡大学abca c b c b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线该直线与投影在它垂直的投影面上的投影积聚成直线该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小2.另两个投影面上的投影有类似性另两个投影面上的投影有类似性γβ是什么位置是什么位置的平面？的平面？投影特征投影特征：一斜两类似：一斜两类似1414三峡大学三峡大学VWH水平面水平面投影特性：投影特性： 1.a b c //OX、、 a b c //OYW，，分别分别积聚为直线积聚为直线; 2 .水平投影水平投影abc反映反映  ABC实形实形。

CABabcbacabccabbbaacc2 2）） 投影面平行面的投影投影面平行面的投影1515三峡大学三峡大学正平面正平面VWH投影特性：投影特性： 1.abc//OX 、、 a b c  //OZ，，分别分别积聚为直线；积聚为直线； 2 .正面投影正面投影a b c 反映反映  ABC实形 cabbacbcabacabcbcaCBA1616三峡大学三峡大学投影特性：投影特性： 1.abc//OYY、、 a b c  //OZ，，分别分别积聚为直线；积聚为直线； 2.侧平面投影侧平面投影a b c  反映反映  ABC实形 侧平面侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa1717三峡大学三峡大学a b c a b c abc积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：1.在它所平行的投影面上的投影反映实形。

在它所平行的投影面上的投影反映实形2.另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线平行的直线投影特征投影特征：两线一实形：两线一实形1818三峡大学三峡大学一般位置平面一般位置平面投影特性投影特性 1. abc 、、 a b c  、、 a b c  均为均为  ABC的类似形；的类似形； 2.不反映不反映 、、 、、  的真实角度的真实角度 abcbacababbaccbacCAB3 3）） 一般位置平面的投影（一般位置平面的投影（三类似三类似））1919三峡大学三峡大学QHRV例：用例：用有有积聚性的迹线表示下列平面：过直线积聚性的迹线表示下列平面：过直线AB的的正垂面正垂面P；；过点过点C的正平面的正平面Q；；过直线过直线DE的水平面的水平面Ra’b’abPVPH2020三峡大学三峡大学bac水平水平正垂正垂侧垂侧垂投影面平行面投影面平行面: :两线一实形两线一实形投影面垂直面投影面垂直面: :一斜两类似一斜两类似2121三峡大学三峡大学在平面内取在平面内取直线的方法直线的方法 定理一定理一若一直线过平面上的若一直线过平面上的两点，则此直线必在两点，则此直线必在该平面内。

该平面内定理二定理二若一直线过平面上的一点，若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面直线，则此直线在该平面内⒈⒈平面上取任意直线平面上取任意直线三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点2222三峡大学三峡大学abcb c a abcb c a d mnn m d例例1 1：已知平面由直线：已知平面由直线ABAB、、ACAC所确定，试在平所确定，试在平面内任作一条直线面内任作一条直线解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有无数解有无数解2323三峡大学三峡大学例例2 2：在：在平面平面ABCABC内内作一条水平线，使其到作一条水平线，使其到H H面的面的距离为距离为1010mmmmn m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！2424三峡大学三峡大学⒉ ⒉ 平面上取点平面上取点若点若点在在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上即：点上，则点在面上即：点上，则点在面上2525三峡大学三峡大学 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。

线，然后再在该直线上确定点的位置例例1 1：已知：已知K K点在平面点在平面ABCABC上，求上，求K K点的水平投影点的水平投影b①①acc a k b ●k● 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线②②●abca’b k c d k●d利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线通过在面内作辅助线(细实线细实线)求解求解2626三峡大学三峡大学例例2 2 已知已知 ABCABC给定一平面给定一平面, ,试判断点试判断点D D是否属于该平面是否属于该平面d dabcabcee点点D不属于平面不属于平面ABCd dabcabcee点点D属于平面属于平面ABC2727三峡大学三峡大学例例3 3：作出三角形：作出三角形ABCABC平面内三角形平面内三角形DEFDEF的水平投影的水平投影de求线先找两求线先找两已知点，已知点，求点先找已知线求点先找已知线a’ab’c’cbfe’f’d’1’2’122828三峡大学三峡大学bckada d b c ada d b c k bc例例4 4：：ACAC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形ABCDABCD的水平投影。

的水平投影解法一解法一解法二解法二找点找点B B先求线先求线DBDB，，求线求线DBDB先找点先找点K K利用平行四边形利用平行四边形对边平行对边平行2929三峡大学三峡大学例例5 5：判断点：判断点K K是否在平面上是否在平面上（另判断四点是否在同一平面（另判断四点是否在同一平面* *））点在面上点在面上点点不在面上不在面上(*)点点不在面上不在面上3030三峡大学三峡大学例例6 6：已知平面：已知平面ABCDABCD的边的边BC//HBC//H面，完成其正面投影面，完成其正面投影b b’’c c’1 11 1’a a’d d’a ab bc cd dBCBC为水平线为水平线b’c’//OX分析：根据分析：根据a’d’想办法求想办法求b’c’3131三峡大学三峡大学ab b c c bac c例例7 7 已知已知 ABC ABC 给定一平面，试过点给定一平面，试过点C C作属于该平面的正平线，作属于该平面的正平线，过点过点A A作属于该平面作属于该平面 的水平线的水平线mnnm正平线上的点正平线上的点Y Y坐坐标相同标相同，水平线上，水平线上的点的点Z Z坐标相同，坐标相同，交点交点K K是既满足是既满足Y Y坐坐标又满足标又满足Z Z坐标的坐标的点。

点kk3232三峡大学三峡大学k’1 12 21 1’k例例8 8：在：在△△ABCABC内确定内确定K K点，使点，使K K点距点距H H面为面为1818mmmm，，距距V V面为面为1515mm.mm. 分别画出：分别画出：1.1.距距H H面面1818mmmm的的水平线水平线（（Z Z相同相同=18=18）2.2.距距V V面面1515mmmm的的正平线正平线（（Y Y相同相同=15=15）3.3.两条线的两条线的交点交点满足满足K K点的点的条件2 2’18153333三峡大学三峡大学例例9 9：在平面：在平面ABCABC上取一点上取一点K K，，使点使点K K在点在点A A之下之下1515mmmm（（△Z△Z）、）、在点在点A A之前之前2020mmmm处（处（△△Y Y）思考题）思考题）K K在点在点A A之下之下1515mmmm的水平线上的水平线上K K在点在点A A之前之前2020mmmm的正平线上的正平线上3434三峡大学三峡大学四、四、 圆的投影圆的投影圆的圆的投影特性：投影特性：1 1、圆平面在所、圆平面在所平行平行投影面上的投影投影面上的投影反映实形反映实形；；( (实形性实形性) )2 2、圆平面在所、圆平面在所垂直垂直的投影面上的投影是的投影面上的投影是直线直线，其长度等于圆，其长度等于圆的直径的直径φφ；；( (积聚性积聚性) )3 3、圆平面在所、圆平面在所倾斜倾斜的投影面上的投影是的投影面上的投影是椭圆椭圆。

其长轴是圆的其长轴是圆的平行于这个投影面的直径平行于这个投影面的直径ABAB的投影（的投影（abab）；）；短轴是与上述直径短轴是与上述直径垂直的直径垂直的直径DEDE的投影的投影( (de)de) (类似性类似性) )本节到此本节到此3535三峡大学三峡大学椭圆的近似画法椭圆的近似画法( (四心法四心法) )：：ABCDEF1234椭圆的画法椭圆的画法一节到此1.1.CF=CE=OA-OCCF=CE=OA-OCO O2.2.作作AFAF的中垂线的中垂线, ,与两轴交得与两轴交得1.21.2两点，取对称点两点，取对称点3.43.43.3.分别以分别以1.2.3.41.2.3.4点为圆心，点为圆心，1 1A.3B.2C.4DA.3B.2C.4D为半径作弧，拼成近似为半径作弧，拼成近似椭圆3636三峡大学三峡大学四、相互垂直的两直线的投影特性四、相互垂直的两直线的投影特性⒈ ⒈ 两直线同时平行于某一投影面时两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投，在该投影面上的投影反映直角影反映直角⒉ ⒉ 两直线中有一条平行两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角的投影反映直角。

⒊ ⒊ 两直线均为一般位置直线时两直线均为一般位置直线时，在三个投，在三个投影面上的投影不一定反映直角影面上的投影不一定反映直角直角投影直角投影定理定理a c b abc.即要在投影图中画垂直或判断即要在投影图中画垂直或判断垂直，必须有投影面平行线垂直，必须有投影面平行线小结3737三峡大学三峡大学一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性⒈ ⒈ 一般位置平面（三类似）一般位置平面（三类似）⒉ ⒉ 投影面垂直面（一斜两类似）投影面垂直面（一斜两类似）⒊ ⒊ 投影面平行面（两线一实形）投影面平行面（两线一实形）三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 另外两个投影为类似多边形另外两个投影为类似多边形 在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形。

另外两个投影积聚为直线另外两个投影积聚为直线ababbacccabbbaacccbbaaccbac3838三峡大学三峡大学二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线( (P27-30)P27-30)⒈ ⒈ 平面上的点平面上的点 一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上. .⒉ ⒉ 平面上的直线（平面上的直线（求线先找已知点求线先找已知点）） ⑴ ⑴ 过平面上的两个点过平面上的两个点 ⑵ ⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线ddabcabcee3939三峡大学三峡大学1.5 1.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括相对位置包括平行、相交（垂直）平行、相交（垂直）一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行⒈ ⒈ 直线与平面平行直线与平面平行定理定理: 若一直线平行于平面上的某一直线，若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必平行则该直线与此平面必平行即：将线面即：将线面// // ，转化为线线，转化为线线////4040三峡大学三峡大学⒈⒈ 直线与平面平行直线与平面平行 1.1.1.1. 当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影平行平行于于平面的具有平面的具有积聚性积聚性的同面投影，如图。

的同面投影，如图g’g//2.2.当直线与平面都为特殊情况且平行时，直线与平面当直线与平面都为特殊情况且平行时，直线与平面的的积聚性投影积聚性投影在同面投影上在同面投影上特殊情况：特殊情况：4141三峡大学三峡大学例例1 1：过：过A A点作平面平行于线段点作平面平行于线段BCBCb’bc c’’ca’aXOdd’ 作图：作图：ad//ad//bcbc，，a′d′//b′c′a′d′//b′c′故，故，BC//BC//平面平面DAFDAF分析：分析：线线线线////，，则线面则线面////；过；过A A点点做直线做直线AD//BCAD//BCf’f可过可过A A点任意点任意作直线作直线AFAF4242三峡大学三峡大学n ●●a c b m abcmn有无数解有无数解分析分析: :过过M M点作点作一条一条////平面内平面内的任意直线的的任意直线的直线直线, ,即得即得. .例例2 2：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平面平行于平面ABCABC4343三峡大学三峡大学正平线正平线c c ●●b b a a m m a abc cm mn n唯一解唯一解n n 分析分析: :在平面在平面ABCABC内作一条正平线内作一条正平线, ,MN//MN//此正平线此正平线, ,即得即得. .例例3 3：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。

4444三峡大学三峡大学① ① 若一平面上的若一平面上的两相交直线两相交直线对应平行于另一平面上的对应平行于另一平面上的两相两相交直线交直线，则这两平面相互平行则这两平面相互平行② ② 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，相互平行，则它们则它们具有积聚性具有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行必相互平行f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef2. 2. 两平面平行两平面平行//4545三峡大学三峡大学 平行平行举例例例 判断下列两平面是否平行判断下列两平面是否平行不平行不平行4646三峡大学三峡大学直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交⒈ ⒈ 直线与平面相交直线与平面相交( (实物实物) ) 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点交点是直线与平面的是直线与平面的共有点，且交共有点，且交点点是直线与平面可见与不可见的是直线与平面可见与不可见的分界点要讨论的问题：要讨论的问题：● ● 求求直线与平面的直线与平面的交点 ● ● 判别两者之间的相互遮挡的判别两者之间的相互遮挡的可见性。

可见性 我们只讨论直线与平面中至少我们只讨论直线与平面中至少有一个元素处于特殊位有一个元素处于特殊位置的情况置的情况（直线特殊或者平面特殊）直线特殊或者平面特殊）二、相交问题二、相交问题( (重点与难点重点与难点) )4747三峡大学三峡大学（（1 1））. .直线与平面相交（直线与平面相交（平面为特殊位置）平面为特殊位置）VHPHPABCacbkNKM4848三峡大学三峡大学abcmnc n b a m 1.1.空间空间及投影分析及投影分析 平面平面ABCABC是一铅垂面，其水平投是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与影积聚成一条直线，该直线与mnmn的交的交点即为点即为K K点的水平投影点的水平投影 ① ① 求交点求交点 ② ② 判别可见性（判别可见性（V V面）面） 由水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段在平面段在平面ABCABC前，故正面投影上前，故正面投影上k k n n 为可见再再根据根据: :交点是可见与不可见的分界点交点是可见与不可见的分界点，，求得求得k k   m m   上一段不可见。

上一段不可见还可通过重影点判别可见性还可通过重影点判别可见性k ●1 (2 )2.2.作图作图k●●2●1●抓住交点是共抓住交点是共有点的特点有点的特点例：求直线例：求直线MNMN与平面与平面ABCABC的交点的交点K K并判别可见性并判别可见性4949三峡大学三峡大学（（2 2）） 直线为特殊位置直线为特殊位置5050三峡大学三峡大学km(n)b●m n c b a ac⑵ ⑵ 直线为特殊位置直线为特殊位置1.1.空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MNMN为铅垂线，其水平为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点投影积聚成一个点，故交点K K的水平投影也积聚在该点上的水平投影也积聚在该点上① ① 求交点求交点② ② 判别可见性（判别可见性（V V面）面）用重影点判断用重影点判断 点点ⅠⅠ位于平面上，在前；点位于平面上，在前；点ⅡⅡ位位于于MNMN上，在后故上，在后故k k  2 2 为不可见为不可见1 (2 )k ●2●1●●2.2.作图作图用面上取点法用面上取点法5151三峡大学三峡大学⒉⒉两平面相交两平面相交( (实物实物) ) 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是交线是两平面的两平面的共有线，共有线，同时同时交线上的点交线上的点都是两平面的都是两平面的共有点，交线共有点，交线是两平面可见与是两平面可见与不可见的不可见的分界线。

分界线要讨论的问题：要讨论的问题：①① 求两平面的交线求两平面的交线方法：方法： ⑴ ⑴ 确定两平面的确定两平面的两个共有点两个共有点 ⑵ ⑵ 确定确定一个共有点及交线的方向一个共有点及交线的方向 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况（即只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况（即两种情况：一个平面处于特殊，两个平面都处于特殊）两种情况：一个平面处于特殊，两个平面都处于特殊）② ② 判别两平面之间的相互遮挡的判别两平面之间的相互遮挡的可见性5252三峡大学三峡大学（（1 1）两平面都为特殊平面）两平面都为特殊平面( (书书) )5353三峡大学三峡大学可通过正面投影直可通过正面投影直观地进行判别观地进行判别abcdefc f d b e a m (n )1.1.空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正垂面正垂面，，它们的正面投影都积聚成直线它们的正面投影都积聚成直线交线必为一条正垂线交线必为一条正垂线① ① 求交线求交线② ② 判别可见性（判别可见性（H H面）面）2.2.作图作图 从正面投影上可看出，在从正面投影上可看出，在交线左侧，平面交线左侧，平面ABCABC在上，其在上，其水平投影可见。

水平投影可见n●m●●例例1 1：求两平面的交线：求两平面的交线MNMN，，并判别可见性并判别可见性⑴⑴5454三峡大学三峡大学VH（（2 2））. . 其中一平面为特殊平面其中一平面为特殊平面FBACEHabcMNmnP5555三峡大学三峡大学b c f h a e abcefh1.1.空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFHEFH是一水平面，它的正是一水平面，它的正面投影有积聚性面投影有积聚性a a b b 与与e e f f h’h’的交点的交点m m  、、 b b  c c 与与e’e’f f h h 的交点的交点n n , ,即为两平即为两平面的两个共有点的正面投影，故面的两个共有点的正面投影，故m m n n 是是MNMN的正面投影的正面投影① ① 求交线求交线② ② 判别可见性判别可见性( (H H面面) ) m m n n b’b’在在e’f’h’e’f’h’上上面，面，故水平投影故水平投影mnbmnb可见，其他可见，其他可见性可根据投影特点得出。

可见性可根据投影特点得出2.2.作图作图m●n ●n●m ●（（2 2））. . 其中一平面为特殊平面（求交线其中一平面为特殊平面（求交线MNMN））5656三峡大学三峡大学c d e f a b abcdef⑶⑶投影分析投影分析 N N点的水平投影点的水平投影n n位于位于ΔdefΔdef的外面，说明点的外面，说明点N N位于位于ΔDEFΔDEF所确定的平面内，但不所确定的平面内，但不位于位于ΔDEFΔDEF这个图形内这个图形内 所以所以ΔABCΔABC和和ΔDEFΔDEF的交线的交线应为应为MKMKn●n ●m ●k●m●k ●互交互交KNKN后面的蓝色后面的蓝色平面的投影平面的投影5757三峡大学三峡大学三、垂直问题三、垂直问题 1. 1.直线与平面直线与平面 与铅垂面垂直的直线为水平线与铅垂面垂直的直线为水平线,H面面;与正垂面垂直的直线是正平线与正垂面垂直的直线是正平线,V面面.与铅垂线垂直的平面是水平面与铅垂线垂直的平面是水平面, V;与正垂线垂直的平面是正平面与正垂线垂直的平面是正平面, H.1 1）平面特殊）平面特殊　　　　⊥⊥投影面投影面垂直面垂直面的直线是投影面的直线是投影面平行线平行线，并在平面积聚性投影上反映，并在平面积聚性投影上反映直角；直角；即即2 2）直线特殊）直线特殊　　　　⊥⊥投影面投影面垂直线垂直线的平面是投影面的平面是投影面平行面平行面，并在平面积聚性投影上反映，并在平面积聚性投影上反映直角；直角；即即作点作点A A到平面到平面CDEFCDEF的距离？的距离？（（EFDEFD呢？）呢？）5858三峡大学三峡大学2.2.平面与平面垂直平面与平面垂直只只介绍介绍两个投影面垂直面相垂直：两个投影面垂直面相垂直：它们的交线为投影面的垂直线，且在积聚性的投影反映直角它们的交线为投影面的垂直线，且在积聚性的投影反映直角; ;p’P’下面举例下面举例5959三峡大学三峡大学垂直垂直 垂直垂直不垂直不垂直 ed(e’)6060三峡大学三峡大学1″k″1举例举例此点是此点是ABAB和和MNMN的重影点的重影点k′例例 求直线与平面的交点求直线与平面的交点, ,并判别可见性并判别可见性. .VW6161三峡大学三峡大学1′(2′)123′(4′)34本节到此本节到此6262三峡大学三峡大学小结：小结：直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置⒈ ⒈ 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。

当直线与特殊位置平面相平行直线平行于平面内的一条直线当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影时，直线的投影平行于平行于平面的具有平面的具有积聚性积聚性的同面投影的同面投影⒉ ⒉ 两平面平行两平面平行 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，相互平行，则它们则它们具有积聚性具有积聚性的那组投影必的那组投影必相互平行相互平行f h abcdefha b c d e 一、平行问题一、平行问题（（P38P38））6363三峡大学三峡大学二、相交问题二、相交问题⒈ ⒈ 求直线与平面求直线与平面⑴ ⑴ 平面特殊平面特殊，利用，利用交点的一个投影为直线与平面积聚性投交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可投在直线的另一个投影上；影的交点，另一个投影可投在直线的另一个投影上；可见性可见性直接判断直接判断 (P47)P47)⑵ ⑵ 直线特殊直线特殊，利用，利用交点的一个投影与直线的积聚性投影重交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用合，另一个投影可利用平面上取点的方法求解；平面上取点的方法求解；可见性可见性用重用重影点判断影点判断 (P49)P49)km(n)b●n c b a ac1 (2 )k ●2●1●●abcmnc n b a m k ●k●6464三峡大学三峡大学⒉ ⒉ 两平面相交两平面相交⑵ ⑵ 一平面特殊一平面特殊，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线；的两个共有点，求出交线；可见性可见性可直接判断。

可直接判断 (P54)P54)⑴ ⑴ 两平面特殊两平面特殊，交线为投影面的垂直线，，交线为投影面的垂直线，可见性可见性可直接判可直接判断断( (P52)P52)acdefc f d b e a m (n )n●m●●bbacnlmcmalnfkfk6565三峡大学三峡大学三、垂直问题三、垂直问题1 1））. .直线与投影面垂直面：直线与投影面垂直面：与铅垂面相垂直的直线是水平线，与与铅垂面相垂直的直线是水平线，与正垂面相垂直的是正平线，正垂面相垂直的是正平线，并在平面积聚的投影面上反映直角并在平面积聚的投影面上反映直角1. 1. 直线与平面垂直直线与平面垂直2 2））. .投影面垂直线与平面：投影面垂直线与平面：与铅垂线垂直的是水平面，与正垂与铅垂线垂直的是水平面，与正垂线垂直的是正平面，线垂直的是正平面，并在平面积聚的投影面上反映直角并在平面积聚的投影面上反映直角垂直垂直 不垂直不垂直6666三峡大学三峡大学2.2.两平面垂直两平面垂直1）两个投影面垂直面相垂直：）两个投影面垂直面相垂直：它们的交线为投影面它们的交线为投影面的垂直线，且的垂直线，且在两积聚性的投影反映直角在两积聚性的投影反映直角。

完完6767三峡大学三峡大学1′a1k′kk′k1″k″1举例举例此点是此点是CDCD和和MNMN的重影点的重影点k′6868三峡大学三峡大学1′(2′)123′(4′)341′(2′)123′(4′)34举例举例6969三峡大学三峡大学一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性⒈ ⒈ 一般位置平面（三类似）一般位置平面（三类似）⒉ ⒉ 投影面垂直面（一斜两类似）投影面垂直面（一斜两类似）⒊ ⒊ 投影面平行面（两线一实形）投影面平行面（两线一实形）三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 另外两个投影类似另外两个投影类似 在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 另外两个投影积聚为直线另外两个投影积聚为直线ababbacccabbbaacccbbaaccbac小小 结结7070三峡大学三峡大学二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线( (P27-30)P27-30)⒈ ⒈ 平面上的点平面上的点 一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上. .⒉ ⒉ 平面上的直线（平面上的直线（求线先找已知点求线先找已知点）） ⑴ ⑴ 过平面上的两个点。

过平面上的两个点 ⑵ ⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线ddabcabcee7171三峡大学三峡大学bbaaccmmnn•直线与直线与特殊位置特殊位置平面相交平面相交由于由于特殊位置特殊位置平面的某些投影有积聚性平面的某些投影有积聚性，，交点可直接求出交点可直接求出VHPHPABCacbkNKMkk7272三峡大学三峡大学•判断直线的可见性判断直线的可见性VHPHPABCacbkNKMbbaaccmmnkkn 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性的可见性 7373三峡大学三峡大学一般位置平面与一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点两个共有点的问题的问题, ,由由于于特殊位置特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出nlmmlnbaccabfkfkVHMmnlPBCacbPHkfFKNL7474三峡大学三峡大学判断平面的可见性判断平面的可见性bbacnlmcmalnfkfkVHMmnlBCackfFKNL。