广州大学2016-2017(2)线性代数试题(B).pdf

第 1 页 共 12 页线性代数B卷院、系领导审批并签名B 卷广 州 大 学 2016-2017学 年 第 二 学 期 考 试 卷课 程：线性代数、考 试 形 式：闭卷考试学院:_ 专业班级 :_ 学号:_ 姓名:_ 题 次一二三四五六七八九十总 分评卷人分 数15 15 10 10 10 12 10 6 12 100 得 分一、填空题（每小题3 分，本大题满分 15 分）1设123,aaab 是 3 维列向量，记矩阵123(,)Aaaa，12(,)Baab . 已知|4A，|1B，则|AB . 2. 设矩阵1111A，则9A. 3设A为 4 阶矩阵，且|0A，则伴随矩阵*A的秩*()R A . 41042332121732085中第 2 行第 3 列元素的代数余子式的值为 . 5向量空间12341234(,)|1Vxxxxxxxx的维数是 . 二、选择题（每小题3 分，本大题满分 15 分）1设11122122aamaa，13112321aanaa，则131211232221110aaaaaa（）. （A）mn；（B）m n；（C ）nm；（D）m n. 2设 n阶方阵A是可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵是（）. （A）1A；（B）2A；（C）TA；（D ）A. 第 2 页 共 12 页线性代数B卷3设 n阶方阵A满足22AAEO，则1A（）. （A）AE；（B）2AE；（C）AE；（D）2AE. 4下列说法正确的是（）. （A）任意(1)n个 n 维向量线性相关；（B）任意(1)n个 n维向量线性无关；（C）任意 n个(1)n维向量线性相关；（D ）任意 n个(1)n维向量线性无关 . 5设A是 m n矩阵，若齐次方程组Ax0只有零解 , 则下列结论正确的是 （）. （A）mn；（B）mn ；（C）()RmA；（D）非齐次方程组Axb必有唯一解 . 三、 （本题满分 10分）计算行列式1120120120110112D. 第 3 页 共 12 页线性代数B卷四、 （本题满分 10分）已知 3 阶方阵A的特征值为1, 1, 2，且22BAAE. 求：（1） A 和11()4AA； （2）B的全部特征值 . 五、 （本题满分 10分）设矩阵101111053A，矩阵X满足AXAX，求X. 第 4 页 共 12 页线性代数B卷六、 （本题满分 12分）求非齐次线性方程组123412341234123423136332153510121xxxxxxxxxxxxxxxx的通解 . 第 5 页 共 12 页线性代数B卷七、 （本题满分 10分）已知向量组1234120347110,0112314aaaaa，问： a取何值时，向量组1234,aaaa 的秩为 2，并求此时向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示. 八、 （本题满分 6 分）设,AB均是 n阶方阵，且1()2ABE, 证明：2AA当且仅当2BE. 第 6 页 共 12 页线性代数B卷九、 （本题满分 12分）求矩阵211020413A的特征值和特征向量 . 第 7 页 共 12 页线性代数B卷院、系领导审批并签名B 卷广 州 大 学 2016-2017学 年 第 二 学 期 考 试 卷参 考 解 答 及 评 分 标 准课 程：线性代数、考 试 形 式：闭卷考试学院:_ 专业班级 :_ 学号:_ 姓名:_ 题 次一二三四五六七八九十总 分评卷人分 数15 15 10 10 10 12 10 6 12 100 得 分一、填空题（每小题3 分，本大题满分 15 分）1设123,aaab 是 3 维列向量，记矩阵123(,)Aaaa，12(,)Baab . 已知|4A，|1B，则|AB 12 . 2. 设矩阵1111A，则9A16161616. 3设A为 4 阶矩阵，且|0A，则伴随矩阵*A的秩*()R A 4 . 41042332121732085中第 2 行第 3 列元素的代数余子式的值为 1 . 5向量空间12341234(,)|1Vxxxxxxxx的维数是 3 . 二、选择题（每小题3 分，本大题满分 15 分）1设11122122aamaa，13112321aanaa，则131211232221110aaaaaa（ D ）. （A）mn；（B）m n；（C ）nm；（D）m n. 2设 n阶方阵A是可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵是（ C ）. （A）1A；（B）2A；（C）TA；（D ）A. 第 8 页 共 12 页线性代数B卷3设 n阶方阵A满足22AAEO，则1A（ D ）. （A）AE；（B）2AE；（C）AE；（D）2AE. 4下列说法正确的是（ A ）. （A）任意(1)n个 n 维向量线性相关；（B）任意(1)n个 n维向量线性无关；（C）任意 n个(1)n维向量线性相关；（D ）任意 n个(1)n维向量线性无关 . 5设A是 m n矩阵，若齐次方程组Ax0只有零解 , 则下列结论正确的是（ A ）. （A）mn；（B）mn ；（C）()RmA；（D）非齐次方程组Axb必有唯一解 . 三、 （本题满分 10分）计算行列式1120120120110112D. 解：1120012102310112D-3分1120012100730031-6分112001210073160007-8分16.-10分第 9 页 共 12 页线性代数B卷四、 （本题满分 10分）已知 3 阶方阵A的特征值为1, 1, 2，且22BAAE. 求：（1） A 和11()4AA； （2）B的全部特征值 . 解： （1）( 1) 1 22A，-2分24AA，-3分111()44AAAA2AA-5分A4A.-7分（2）设A的特征值为，则B的特征值为2( )21f，-8分将A的特征值代入，得( 1)2f，(1)2f，(2)7f，故B的全部特征值为2, 2, 7.-10分五、 （本题满分 10分）设矩阵101111053A，矩阵X满足AXAX，求X. 解：由已知得()AE XA，-1分201101(,)121111054053AEA121111201101054053r121111043123054053r121111011130054053r1013510111300015103r1002520104730015103r-8分1(, ()EAEA ，所以，1252()4735103XAEA.-10分第 10 页 共 12 页线性代数B卷六、 （本题满分 12分）求非齐次线性方程组123412341234123423136332153510121xxxxxxxxxxxxxxxx的通解 . 解：对增广矩阵(, )A b进行初等行变换：1123113613(,)3121531510121A b-2分1123102422048600612901004001211000240003610008012030001200000，-8分于是得同解方程组12348232xxxx.-10分令3xk ，求得通解为123408231002xxkxx，k为任意数 .-12分第 11 页 共 12 页线性代数B卷七、 （本题满分 10分）已知向量组1234120347110,0112314aaaaa，问： a取何值时，向量组1234,aaaa 的秩为 2，并求此时向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示. 解：1234120347110(,)0112314aaaaa120301120110112ra1021011200020000ra，-6分当20a即2a时，1234(,)2R aaaa，-7分向量组的一个极大无关组为12,aa ，-8分且有3122aaa ，4122aaa .-10分八、 （本题满分 6 分）设,AB均是 n阶方阵，且12()ABE, 证明：2AA当且仅当2BE. 证明：由1()2ABE，可得22211()(2)44ABEBBE. -2分（1）充分性 . 若2BE，代入式得211(22)()42ABEBEA2AA.-4分（2）必要性 . 若2AA，代入式得211(2)()42BBEABE2BE .-6分第 12 页 共 12 页线性代数B卷九、 （本题满分 12分）求矩阵211020413A的特征值和特征向量 . 解: 矩阵A的特征多项式为211|020413EA21(2)432(2)(2)2(1)(2) ，矩阵A的特征值为122,31.-6分当1时，解方程组()EA x0. 由111030414EA101010000r，得基础解系T1(1,0,1)p，因此，矩阵A对应于1的全部特征向量为11k p （10k）.-9分当2时，解方程组(2)EA x0. 由4112000411EA411000000r，得基础解系TT23(1,4, 0) ,(1,0, 4)pp，矩阵A对应于2的全部特征向量为2233kkpp （23,kk 不同时为零） .-12分。