基于MCFT理论的割线刚度法介绍.doc

基于 MCFT 理论的割线刚度法介绍F. J. Vecchio 于 1990 年在 ACI 发表的论文中采用了基于 MCFT 理论的割线刚度法来进行钢筋混凝土的有限元分析通过比较割线刚度法与基于切线刚度的 Newton-Raphson 法，可以得出以下几点结论：1. 在结构的应力-应变曲线进入到下降段后，对于切线刚度法，刚度会出现负值，从而给计算处理带来难度而割线刚度法则没有这种负刚度问题，但是割线刚度法会在卸载曲线穿越坐标轴时出现数值问题，这是由于此时割线刚度极小造成的2. 以往采用切线刚度法的程序，在更新应变时，对于一个单元采用了 4 个高斯积分点，每次迭代得到了一个新的结构位移，就需要在 4 个积分点上分别求出它们的应变，再以此计算出 4 个新的割线刚度，用以判断收敛与否而 F. J. Vecchio 采用的割线刚度法只涉及了 1 个积分点，即中心积分点根据附表 1 可知，单元应变和位移的关系为： j pi mxNNuuuxxj piy mvvvyyj pj pi mi mxy NNNNuvuuvxx 其中： 1()4i yabjxN(1)my4pxab令 ， ，则可以得到割线刚度法中心积分点的应变计算式为：2axby2jmipxua2mpijyvvbpijjmipxyuua每次循环迭代出的新位移，仅需要换算成中心积分点上的应变，通过一次计算便可以得出割线刚度用于收敛判断。

相比于切线刚度法，割线刚度法简化了计算过程3. 切线刚度法的过程，需要通过外荷载节点力和结构恢复力求解出一个残余力，再以此计算出增量位移来判断是否满足收敛条件，若不收敛，便更新结构位移并重新计算结构的切线刚度矩阵对于割线刚度法，并不需要求解残余力，而是直接利用外荷载节点力和结构割线刚度来求解出一个全量位移，之后通过计算出的应变来重新计算结构的割线刚度矩阵二者相比起来，割线刚度法不需要启用一个新的数组来储存残余力值，降低了对程序的存储空间要求并提高了程序的运算速度从上面三点可以看出，切线刚度法和割线刚度法各有特点和不足，在某些方面，割线刚度法还体现出了一定的优势：1. 割线刚度法相比于切线刚度法的收敛准则更为简单2. 割线刚度法相比于切线刚度法的有限元模型更为简单3. 割线刚度法的稳定性较好所以对割线刚度法进行研究佐证是十分有必要的F. J. Vecchio 在其论文中所述的割线刚度法的具体过程如下：第 1 步：输入结构和材料的属性数据第 2 步：计算外荷载节点力 F第 3 步：计算材料的刚度矩阵：1) 确定初始应变： ， ， ； xyx2) 计算主方向应变 ， ， ， ，以及主拉应变角 ；1c2sy c3) 根据混凝土的本构关系，确定混凝土主拉和主压应力 ，1f24) 根据钢筋的本构关系，确定钢筋的主拉和主压应力 ， ；sxfy5) 计算混凝土和钢筋的割线刚度元素值： (3-1)第 4 步：计算混凝土和钢筋的材料割线刚度矩阵1) 计算混凝土主方向上的材料割线刚度矩阵 ：'cD(3-2)2' 10ccEDG2) 计算转换矩阵 cT2222ossincosininccoii   3) 计算整体坐标系（X-Y 坐标）下的混凝土割线刚度矩阵(3-3)'TccDA4) 计算整体坐标系(X-Y 坐标系) 下的钢筋割线刚度矩阵：(3-4)0xssysE第 5 步：计算组合材料刚度 ：D(3-5)csD第 6 步：计算单元刚度矩阵 ：k(3-6)第 7 步：计算单元预应变产生的位移，0,csr1cfE22ccf12cEGAsxfsyfTkBdxytA第 8 步：计算单元预应变产生的节点力， *F第 9 步：计算单元节点力：' *F第 10 步：计算结构总刚矩阵 ：K(3-7) 图 3.5 单元尺寸Kk第 11 步：计算结构总刚矩阵的逆矩阵 ：1第 12 步：计算节点位移 Fig3.5 Element dimension(3-8) 1'rKF第 13 步：计算单元应变（取单元形心处的应变为平均应变）：(3-9)2314xuua(3-10)3412yvvb(3-11)3412314xyuuva注： ， 为相应节点的水平位移和竖向位移。

iiv第 14 步：检查单元应力：00ccssfDD第 15 步：重新计算单元割线刚度值：1) 根据求解出的位移，重新确定主方向上的应变值 ， ， ， ；'1c'2'cx'y3) 根据混凝土本构模型，计算新的混凝土应力 ， ；'f'4) 根据钢筋本构模型，计算新的钢筋应力 ， ；'sx'y5) 重新计算钢筋和混凝土的割线刚度元素： ， , , , '1cE'2'G'sx'yE第 16 步 收敛判断详细的算法流程图如下所示：2.1 修正斜压场理论（MCFT）介绍修正斜压场理论（The Modified Compression-Field Theory）是一种用于预测钢筋混凝土膜构件在剪力和正应力作用下的变形性能的分析模型，它可以确定混凝土和钢筋的平均应力应变和局部的应力应变，以及裂缝的宽度和方向，从而确定构件的破坏模式MCFT 是由研究钢筋混凝土受扭和受剪的斜压场理论（Compression-Field Theory）发展而来斜压场理论忽略了开裂混凝土的拉力，而修正斜压场理论则把裂缝间的拉应力考虑了进来MCFT 把开裂混凝土模拟为一种正交各向异性的材料，是一种完全的转角裂缝模型（Smeared Rotating Crack Model） 。

与固体的不连续性相悖，开裂混凝土被视作一种裂缝均匀分布的固体连续体裂缝可以自由转动，并保持和混凝土的主压应力场方向同向修正斜压场理论包含了三种关系：用平均应变表示的混凝土和钢筋的变形协调关系；用平均应力表示的混凝土和钢筋的应力平衡关系；用平均应力和平均应变表示的混凝土和钢筋的本构关系开裂混凝土的本构关系是根据多伦多大学所做的钢筋混凝土剪切板实验的结果得到的，所以 MCFT 采用的是实验观测到的真实的本构模型同时，由于裂缝均匀分布以及上述三种关系用平均应力和平均应变的概念表述，所以 MCFT 的一个重点是要考虑裂缝处的局部应力应变条件图 2.1 开裂钢筋混凝土的修正压场理论 [23]Fig. 2.1 Modified Compression Field Theory for cracked reinforced concrete[23]修正斜压场理论作了以下一些假设：1. 钢筋弥散分布于单元之中；2. 裂缝均匀分布并能自由旋转；3. 单元中，剪应力和正应力均匀分布；4. 应力状态和应变状态一一对应，不考虑加载历史的影响；5. 跨越多条裂缝间距，应力应变可视作是平均的；6. 主应力角和主应变角的方向一致；7. 钢筋和混凝土之间无粘结滑移；8. 混凝土和钢筋有独立的本构关系；9. 忽略钢筋中的剪应力。

2.1.1 变形协调条件在混凝土和钢筋构件中，与平均应变相关的变形协调关系如图 所示：图 2.2 混凝土平均应变 [28]Fig.2.2 Average concrete strains[28]因为假设钢筋和混凝土之间没有粘结滑移，所以对于非预应力钢筋而言，钢筋和混凝土中的平均应变是相等的变形协调条件可以用一下公式表达： xcxsxysy若剪应变值为 ，则根据莫尔应变圆确定的混凝土平均主拉应变 和平均主xy 1c压应变 为：2c22121,cxyxyxy通过莫尔应变圆也可以确定平均主拉应变和应力与 轴的夹角：1tan2xy2.1.2 应力平衡关系从构件中取出一个自由体作为研究对象，如图 所示：和 方向的力平衡条件要求混凝土平均应力 和 以及钢筋平均应力 和xy cxfy sxf的合力要与施加的正应力 和 的合力相平衡弯矩平衡条件则要求混凝sf xy土中的平均剪应力 要能完全抵抗所施加的剪应力 （假设钢筋没有销栓作cxyxy用） 平均应力的平衡关系可以表述如下： xcsxffysyxcx和 分别是 和 方向的配筋率。

sxsyxy因为开裂混凝土是主应力方向上的正交各向异性材料，莫尔应力圆可以用于建立混凝土平均应力 和 与混凝土平均主拉应力 之间的关系式：cxfy 1cf1cot90cxyfany2.1.3 本构关系本构模型需要把变形协调条件中的应变和平衡条件中的应力联系起来1986 年，多伦多大学的 Vecchio 和 Collins 做了 30 个板实验，这些板的尺寸都是 ，并承受平面内的应力通过对实验结果的分析，他们得出8907m了开裂混凝土受拉和受压的本构模型对于受压混凝土，本构关系是主压应力 和主压应变 的函数上述板2cf2c的实验结果表明，在主拉应变 同时存在的情况下，抗压强度和刚度会随着1c的增大而减小这一现象被称为受压软化，具体表现在混凝土单轴受压时的1c应力- 应变反应的弱化建议的考虑受压软化的公式如下： 222max00cccf其中， 2max' 10.0.834c cf是单轴受压混凝土的 Hognestad 抛物线函数，常用于一般2'200ccf强度的混凝土 是对应于峰值抗压应力 的混凝土圆柱体应变（取负值） ，'cf由混凝土圆柱体单轴受压实验确定。

反映的是主拉应变的软化效应2max对于受拉混凝土，本构关系是主拉应力 和主拉应变 的函数首先，1cf1c必须要确定开裂强度 以及相应的开裂应变 如果信息不足，可以作如下crf r估计：'0.3crcffinMParcrcE其中 是混凝土的初始刚度，计算式为：cE'50ccEfinPa在开裂以前，混凝土在受拉状态下是线弹性的：11ccf1crfor开裂以后，由于混凝土和钢筋的粘结作用，拉应力将继续存在于钢筋混凝土裂缝间的混凝土中为了模拟这种受拉硬化现象，混凝土的拉应力要随着混凝土主拉应变的增大从抗拉强度逐步减小MCFT 建议的关系公式如下：1120crcff对于处在受拉和受压状态的钢筋而言，MCFT 采用了平均应力 和平均应sf变 的两折线模型：一个线弹性的上升段和一个屈服平台公式如下：s sxsxsyfEfsysys其中， 是钢筋的弹性模量， 和 分别是钢筋在 和 方向的屈服应力sExf xy2.1.4 考虑局部平衡条件有了相容的应变条件，根据本构关系可以确定混凝土和钢筋中的平均应力，以及它们所平衡的施加剪应力和正应力然而，如果忽略了构件性能由裂缝处的局部钢筋屈服或沿裂缝的剪切滑移破坏所控制的可能性，那么分析结果将会是不保守的。

为了把这些可能性考虑进来，MCFT 限制了裂缝处的局部应力以及混凝土的平均拉应力水平钢筋混凝土的应力场从裂缝间的平均概念到裂缝处的局部概念是不断变化的图 a 所示的是裂缝间垂直于主拉应力方向的截面上的平均应力情况，而图 b 所示的是裂缝处截面上的局部应力情况在裂缝处的截面上，混凝土平均拉应力减小到 0为了跨过裂缝传递平均拉应力，裂缝处的钢筋应力和应变就必须局部提高在裂缝表面的法线方向根据力平衡条件，用平均应力和局部应力建立的数值等价关系式可以表述为： 2 21coscoscxscrxnxyscrynyff f其中。