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Linear programming model and application第第1章章 线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型第第2章章 单纯形方法单纯形方法第第3章章 对偶线性规划问题对偶线性规划问题第第4章章 运输问题运输问题第第5章章 整数规划整数规划2/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法§2-1 基本概念基本概念§§2-2 单纯形方法单纯形方法 的基本思路的基本思路§2-3 单纯形方法单纯形方法一、线性规划问题一、线性规划问题 的标准形的标准形二、基本概念二、基本概念一、单纯形表及其结构一、单纯形表及其结构二、单纯形方法的步骤二、单纯形方法的步骤3/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法从两个变量线性规划问题的图解法可以看出：从两个变量线性规划问题的图解法可以看出：一、线性规划问题的标准形一、线性规划问题的标准形1.1.线性规划问题的可行解集是凸集线性规划问题的可行解集是凸集(连接任意两点的连接任意两点的直线仍在可行解集中直线仍在可行解集中)；；2.2.线性规划问题若有最优解，则其最优解必可在其可线性规划问题若有最优解，则其最优解必可在其可行解集的顶点上达到。

行解集的顶点上达到因此就为我们求其最优解带来了方便，产生了求解线因此就为我们求其最优解带来了方便，产生了求解线性规划问题的有效方法性规划问题的有效方法——单纯形方法单纯形方法 本节对本节对单纯形方法单纯形方法进行介绍进行介绍 4/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法★★线性规划问题的标准形线性规划问题的标准形(特征特征)(1)求目标函数的最大值；求目标函数的最大值；(2)所有约束条件都是等式约束，且右端常数项非负；所有约束条件都是等式约束，且右端常数项非负；(3)所有变量都有非负限制所有变量都有非负限制5/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法对于不符合标准形要求的对于不符合标准形要求的LP问题，一定可化成标准形具体步骤问题，一定可化成标准形具体步骤如下如下: 1.1.目标函数的改写目标函数的改写: : 化求最小值为求最大值化求最小值为求最大值2.2.化不等式约束为等式约束化不等式约束为等式约束 增加的变量增加的变量称为称为松弛变量松弛变量或或剩余变量剩余变量，以后，以后将松弛变量和剩将松弛变量和剩余变量统称为余变量统称为松弛变量松弛变量。

6/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法3.3.对于没有非负限制的化为有非负限制对于没有非负限制的化为有非负限制若若xk无非负限制，则引进无非负限制，则引进 4.4.如果约束条件右端的常数项小于零，则用如果约束条件右端的常数项小于零，则用-1-1乘以乘以该式两端该式两端7/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法例例1 将下面线性规划问题化为标准形将下面线性规划问题化为标准形则原则原LP的标准形为：的标准形为：解解:引入松弛变量引入松弛变量x4≥0,x5≥0,x'3≥0, x"3≥0并令并令x3=x'3-x"38/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法若记：若记： 线性规划问题表示成线性规划问题表示成矩阵形式矩阵形式：：或记或记 …, 分别为分别为 的系数列向量的系数列向量 则线性规划问题可表示则线性规划问题可表示成成向量组合形式向量组合形式：： 9/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法设线性规划问题设线性规划问题(LP)：： 二、基本概念二、基本概念可行解可行解: 我们称满足所有约束条件的我们称满足所有约束条件的 为线性规划问题的可行解。

为线性规划问题的可行解 最优解最优解: 使目标函数取到最大值的可行解使目标函数取到最大值的可行解, 称为称为(LP)的最优解的最优解基基：若系数矩阵：若系数矩阵 的秩为的秩为m，称，称A的任一的任一 非奇异子矩阵非奇异子矩阵 为线性规划问题为线性规划问题(LP)的一个基的一个基 若若 为为(LP)的的一个基一个基，， 与基向量对应变量与基向量对应变量 其余的称为其余的称为非基变量非基变量 称为称为基变量基变量，，称为称为基向量基向量，，N是是非基向量组成的矩阵非基向量组成的矩阵，对应变量，对应变量 组成的列向量记为组成的列向量记为 ；； 分别是分别是 基变量的系数基变量的系数和和非基变量的系数非基变量的系数组成的行向量组成的行向量 10/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法记记： 则则 则线性规划问题的则线性规划问题的目标函数目标函数和和约束方程组约束方程组可以表示成：可以表示成：（（2.1）） 即即 (2.2)因因B可逆可逆, 用用B-1左乘左乘(2.2)式两端得式两端得 (2.3) (2.3)是基变量用非基变量表示的表达式是基变量用非基变量表示的表达式。

称为对应于基称为对应于基B的的基本解基本解基可行解基可行解：：满足非负条件的基本解，称为满足非负条件的基本解，称为(LP)的的基可行解基可行解11/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法可行基：可行基： B是是(LP)的一个基，若满足的一个基，若满足 ，这时，这时 就是对应于基就是对应于基 B的一个可行解，的一个可行解， 称为称为(LP)的一个可行基的一个可行基 基最优解：基最优解： 使目标函数达到最大值的使目标函数达到最大值的基可行解基可行解就是就是基最优解基最优解理论上可以证明，只要上可以证明，只要(LP)最优解存在，则一定有基最优解最优解存在，则一定有基最优解 例例2 对于线性规划问题：对于线性规划问题：引进松弛变量引进松弛变量化成标准形化成标准形 可以表示成矩阵形式：可以表示成矩阵形式： 12/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法其中其中 很显然很显然 A中任意中任意3×3的非奇异子矩阵都是的非奇异子矩阵都是(LP)的一个基的一个基 13/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法是对应的基本解，是对应的基本解， 它不是基可行解，它不是基可行解， B也不是可行基。

也不是可行基 是是(LP)的一个基，的一个基， 对应的对应的 是基变量，是基变量， 是非基变量是非基变量 如取如取 是是(LP)的一个基，的一个基， 对应的对应的 是基变量，是基变量， 是非基变量是非基变量 14/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法如取：如取： 是是(LP)的一个基，的一个基， 对应的对应的x3,x4,x5是基变量，是基变量，x1,x2是非基变量是非基变量若令若令x4=x5=0,得得X=(4,3,-2,0,0)T是对应的基本解是对应的基本解,它也不是基可行解它也不是基可行解.B1也不是可行基也不是可行基 若令若令x1=x2=0,得得X=(0,0,8,16,12)T是对应的基本解是对应的基本解,它是基可行解它是基可行解.B2是可行基是可行基 15/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法它的最优解一定在这些基可行解中求得它的最优解一定在这些基可行解中求得 线性规划问题的可行解、基本解线性规划问题的可行解、基本解和基可行解的关系如图和基可行解的关系如图1-51-5所示 通过以上介绍通过以上介绍, ,大家可以熟悉线性规划问题的基本概念。

大家可以熟悉线性规划问题的基本概念 至多有至多有 个可行基个可行基, ,至多有至多有 对于该例中标准形的线性规划问题对于该例中标准形的线性规划问题, ,它至多有它至多有 个基个基, ,个基可行解，个基可行解，基基本本解解可可行行解解基基可可行行解解图图1-516/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法对例对例2,2,实际上是求线性方程组实际上是求线性方程组(2.4) 的非负解，且使的非负解，且使 取到最大值将目标函数改为取到最大值将目标函数改为为求为求(2.4) 非负解非负解,要求右端常数项非负要求右端常数项非负,当自由未知量当自由未知量(非基变量非基变量)取取0值时值时, 基变量取值就是表达式右端常数项的值基变量取值就是表达式右端常数项的值, 得到基可行得到基可行解解.由由(2.4)解得解得 基可行解基可行解 17/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法从目标函数式从目标函数式S=2x1+3x2可以看出可以看出: :若若x1,x2不取不取0值值, ,可使可使目标函数值增大目标函数值增大. . 增大增大x2的值的值, ,由由(2.4)式施行初等变换式施行初等变换 (2.5) 即即 得对应基得对应基 的基可行解的基可行解 18/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法由由(2.5)式施行初等变换：式施行初等变换： 从目标函数式从目标函数式可以看出可以看出, ,若若x1不取不取0值值, 则可使目标函数值增大。

则可使目标函数值增大即即 (2.6) 的基可行解的基可行解. . 19/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法从目标函数式从目标函数式 可以看出可以看出, ,若若x5不取不取0值值, 则可使目标函数值增大则可使目标函数值增大 由由(2.6)式施行初等变换：式施行初等变换： 即即 (2.7) 的基可行解的基可行解. . 即为即为最优解最优解. . 20/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法以上四个步骤，就是单纯形方法的基本思想每一步以上四个步骤，就是单纯形方法的基本思想每一步都是把基变量与目标函数表示成非基变量的表达式都是把基变量与目标函数表示成非基变量的表达式 如果把上述步骤用一些表表示出来，其实就是单纯形如果把上述步骤用一些表表示出来，其实就是单纯形表与单纯形方法每一步都是把基变量与目标函数表表与单纯形方法每一步都是把基变量与目标函数表示成非基变量的表达式：示成非基变量的表达式：⑴⑴对于对于(2.4)式式表表2-1 基基B=(P3,P4,P5)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 对应的基可行解对应的基可行解 21/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法⑵⑵对于对于(2.5)式式表表2-2 基基B=(P3,P4,P2)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 对应的基可行解对应的基可行解 ⑶⑶对于对于(2.6)式式表表2-3 基基B=(P1,P4,P2)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 对应的基可行解对应的基可行解 22/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法去掉松弛变量得到原问题的去掉松弛变量得到原问题的最优解：最优解： 表表2-4 基基B=(P1,P5,P2)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 基基B =(P1,P5,P2)为最优基，对应的最优解为：为最优基，对应的最优解为：⑷⑷对于对于(2.7)式式这种以表格这种以表格(就是单纯形表就是单纯形表)计算的方法就是单纯形方法。

计算的方法就是单纯形方法23/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法运行结果如下：运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 14.00000Total solver iterations: 1Variable Value Reduced CostX1 4.000000 0.000000X2 2.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 14.00000 1.0000002 0.000000 1.5000003 0.000000 0.12500004 4.000000 0.000000max=2*x1+3*x2;x1+2*x2<=8;4*x1<=16;4*x2<=12;用用LINGO10.0求解求解,程序：程序：24/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法设线性规划问题设线性规划问题(LP) 若若B是线性规划问题是线性规划问题(LP)一个基，一个基， 因因B可逆可逆,则用则用B-1左乘上式两端，得左乘上式两端，得 一、单纯形表及其结构一、单纯形表及其结构(2.8) 称为称为(LP)对应于基对应于基B的的基本解基本解. 25/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法对应的基可行解对应的基可行解 则有目标函数则有目标函数 则对应于则对应于(LP)的基础解的基础解 的目标函数值为的目标函数值为 则基则基B为为(LP)的一个可行基，的一个可行基，26/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法故目标函数可改写成：故目标函数可改写成： 将其与约束条件写在一起，就可以得到单纯形表将其与约束条件写在一起，就可以得到单纯形表27/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法若记：若记： 则单纯形表的结构为：则单纯形表的结构为：表表2-5 基基B=(Pj1,Pj2, …,Pjm)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 28/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法若用解析式子表示，就是：若用解析式子表示，就是：特别是所给的线性规划问题中，其约束条件方程组的系特别是所给的线性规划问题中，其约束条件方程组的系数矩阵中含有一个单位矩阵，且右端的常数项非负时，数矩阵中含有一个单位矩阵，且右端的常数项非负时，这时以这个单位矩阵为基就是这时以这个单位矩阵为基就是 (LP) 的一个明显的可行的一个明显的可行基，可以立即得到这个可行基所对应的单纯形表。

基，可以立即得到这个可行基所对应的单纯形表29/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法例如例如，对线性规划问题：，对线性规划问题：可立即得到单纯形表如表可立即得到单纯形表如表2-6所示所示表表2-6 基基B=(P3,P4,P5)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 30/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法单纯形表单纯形表T(B)的结构及其特点：的结构及其特点：⑴⑴单纯形表的实质就是单纯形表的实质就是(LP)的约束条件的约束条件(线性方程组线性方程组)与目标函数的等价形式；与目标函数的等价形式；⑵⑵基变量所在的列只有一个元素等于基变量所在的列只有一个元素等于1，其余元素皆，其余元素皆为为0，而这个，而这个1恰好在该基变量所在的行上恰好在该基变量所在的行上⑶⑶目标函数的行上，基目标函数的行上，基变量对应的系数变量对应的系数(检验数检验数)等于等于031/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法1.最优解的判定最优解的判定如果所有如果所有 这时对应于基这时对应于基B的基本解的基本解基基B为为可行基可行基 为为基可行解基可行解，，称为称为检验数检验数。

⑴⑴可行基可行基B所对应的单纯形表所对应的单纯形表(表表2-5)中，中， 如果所有如果所有 这时称对应于基这时称对应于基B的基础解为的基础解为基础最优解基础最优解,基基B为为最优基最优基对应的基可行解就是对应的基可行解就是最优解最优解：：其余非基变量皆为其余非基变量皆为0，， 为最优值为最优值 3.2 单纯形方法的步骤单纯形方法的步骤32/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法判别定理判别定理:对于线性规划问题对于线性规划问题(LP)的基的基B, 若满足若满足B-1b≥O,则称基则称基B为可行基；若满足为可行基；若满足B-1b≥O且且C- -CBB-1b≤O, 则则对应的基对应的基B为最优基，对应的基可行解为最优基，对应的基可行解XB=B-1b , XB = O为最优解为最优解, maxS=CBB-1b.⑵⑵对于可行基对于可行基B所对应的单纯形表所对应的单纯形表(表表2-5)中中,若有某非若有某非基变量的检验数基变量的检验数l lj ＞＞0, 则不能判定基则不能判定基B为最优基，分为为最优基，分为以下两种情况：以下两种情况： 中无正分量，则该线性规划问题无有界的最优解，中无正分量，则该线性规划问题无有界的最优解，即即 ①①若某若某l lj ＞＞0, 且非基变量且非基变量xj所对应的列向量所对应的列向量 33/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法例例3求求 解：解：将将(LP)化成标准形化成标准形:引进松弛变量引进松弛变量x3, x4 , 由于有明显的可由于有明显的可行基行基 它所对应的单纯它所对应的单纯形表如形表如2-7所示所示 表表2-7 基基B=(P3,P4)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 34/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法 由检验数由检验数l l1＞＞0,且所在的列无正分量。

故该线性且所在的列无正分量故该线性规划问题无有界的最优解规划问题无有界的最优解事实上事实上, 由由2-7可得可得 故该故该( (LP)问题无问题无有界的最优解有界的最优解 ②②若若l lj ＞＞0,且所且所有检验数大于零的非基变量所对应列有检验数大于零的非基变量所对应列向量都有正分量，那么不能判定可行基向量都有正分量，那么不能判定可行基B为最优基为最优基,也不能判定也不能判定(LP)无有界最优解这时需要对可行基无有界最优解这时需要对可行基B进进行改进，以便求出最优解即：单纯形方法的主要步行改进，以便求出最优解即：单纯形方法的主要步骤骤——换基迭代换基迭代 35/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法⑵⑵将进基变量所在列的正分量将进基变量所在列的正分量bij被其所对应的常数项被其所对应的常数项bi0去除，选择其比值最小者去除，选择其比值最小者 所对应的行的基变量所对应的行的基变量xs为出基变量，进行换基迭代为出基变量，进行换基迭代:得新的可行基得新的可行基B1 , 并由下步得到新基并由下步得到新基B1所对应所对应的单纯形表的单纯形表 2)换基迭代换基迭代⑴⑴选择检验数选择检验数l lj ＞＞0,对应下标最小的非基变量对应下标最小的非基变量xj为进为进基变量基变量 (也有的选择检验数最大者所对应的变量为进也有的选择检验数最大者所对应的变量为进基变量基变量)；例；例2的换基迭代就是选择检验数最大者所对的换基迭代就是选择检验数最大者所对应的变量为进基变量。

应的变量为进基变量 36/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法⑶⑶同时位于进基变量所在列以及出基变量所在行的一同时位于进基变量所在列以及出基变量所在行的一个元素称为主元素个元素称为主元素, 并以方框框之只要对基并以方框框之只要对基B所对应所对应的单纯形表进行初等行变换的单纯形表进行初等行变换(将主元素变为将主元素变为1,该列其他该列其他元素变为元素变为0)方法是:主元素所在行的各个元素同乘以主元素所在行的各个元素同乘以主元素的倒数，然后将主元素所在行的适当倍数主元素的倒数，然后将主元素所在行的适当倍数(以使以使该列其他元素变为该列其他元素变为0为原则为原则)加到其他各行上去加到其他各行上去, 就可以就可以得到新基得到新基 B1所对应的单纯形表所对应的单纯形表对于新基对于新基 具有以下两条性质：具有以下两条性质： 性质性质1 1：基：基 仍为一个可行基；仍为一个可行基； 性质性质2：换基后：换基后,目标函数值不降目标函数值不降(上升上升),只有当只有当bs0=0时，目标函数值不变时，目标函数值不变 37/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法如例如例2 2中对基中对基 进行换基迭代进行换基迭代, ,过程如下三表：过程如下三表： 表表2-8 基基B=(P3,P4,P5)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 进基变量进基变量x1 出基变量出基变量x4表表2-9 基基B=(P3,P1,P5)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 进基变量进基变量x2 出基变量出基变量x338/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法所有检验数均非正，所有检验数均非正， 是最优基，是最优基， 最优解为最优解为 表表2-10 基基B=(P2,P1,P5)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 去掉松弛变量，得原线性规划问题的最优解：去掉松弛变量，得原线性规划问题的最优解： 39/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法例例4 求解求解LP问题：问题： 显然显然B=(P4,P5)是一个可行基是一个可行基 ，则建立初始单纯形表。

则建立初始单纯形表解解将目标函数改写为将目标函数改写为注意目标函数中含有基变量，可将注意目标函数中含有基变量，可将x4,x5代入消去或用初等行变代入消去或用初等行变换消去：换消去： 40/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法就可以得到单纯形表就可以得到单纯形表表表2-11 基基B=(P4,P5)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 进基变量进基变量x1 出基变量出基变量x5表表2-12 基基B=(P4,P1)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 进基变量进基变量x3 出基变量出基变量x441/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法所有检验数全非正，所有检验数全非正， 基基 为最优基为最优基 最优解为：最优解为： 表表2-13 基基B=(P3,P1)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 42/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法表表2-14 资源配置问题数据资源配置问题数据例例5 某工厂要安排一种产品的生产，该产品有甲、乙、丙三种型号，某工厂要安排一种产品的生产，该产品有甲、乙、丙三种型号，生产这种产品均需要两种主要资源：原材料和劳动力。

每件产品所生产这种产品均需要两种主要资源：原材料和劳动力每件产品所需资源数、现有资源数量和每件产品出售价格如表需资源数、现有资源数量和每件产品出售价格如表2-14假定该产假定该产品即产即销，试确定这三种产品的日产量使总产值最大品即产即销，试确定这三种产品的日产量使总产值最大 解解设该厂计划生产产品甲、乙、丙的数量分别为设该厂计划生产产品甲、乙、丙的数量分别为x1、、x2 、、 x3件，则可建立线性规划数学模型：件，则可建立线性规划数学模型：43/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法由于有明显可行基由于有明显可行基B=(P4,P5)，，作出所对应的单纯形表并作出所对应的单纯形表并用单纯形法求解求解过程如下三个表所示用单纯形法求解求解过程如下三个表所示引进松弛引进松弛变量变量x4、、x5化标准形化标准形 表表2-15 基基B=(P4,P5)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 进基变量进基变量x1出基变量出基变量x444/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法表表2-16 基基B=(P1,P5)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 进基变量进基变量x2出基变量出基变量x5基基B=(P1,P2)是最优基，对应的最优解为是最优基，对应的最优解为表表2-17 基基B=(P1,P2)所对应的单纯形表所对应的单纯形表 45/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法关于单纯形方法的几点说明：关于单纯形方法的几点说明： ⑴⑴关于单纯形方法关于单纯形方法进基变量的选择进基变量的选择时，选择下标最小者的目的是时，选择下标最小者的目的是为了避免循环，这种方法又称为为了避免循环，这种方法又称为Bland方法；方法； ⑵⑵若线性规划问题有不止一个最优解的情况，读者可参阅相关若线性规划问题有不止一个最优解的情况，读者可参阅相关书籍书籍 ; ⑶⑶灵活运用单纯形方法，若是求目标函数的最小值，不必化成求灵活运用单纯形方法，若是求目标函数的最小值，不必化成求最大值，直接用单纯形方法，要灵活运用，读者可参阅相关书籍最大值，直接用单纯形方法，要灵活运用，读者可参阅相关书籍 ;⑷⑷以上介绍的单纯形方法的前提是线性规划问题有明显的可行基。

以上介绍的单纯形方法的前提是线性规划问题有明显的可行基若没有明显的可行基，或者说根本没有可行基，这时需要用人工变若没有明显的可行基，或者说根本没有可行基，这时需要用人工变量法求初始可行基，其主要方法有大量法求初始可行基，其主要方法有大M法和两阶段法读者可参阅法和两阶段法读者可参阅相关书籍相关书籍 在求解线性规划问题时，有现成的计算机软件，如在求解线性规划问题时，有现成的计算机软件，如LINGO、、Matlab等，用计算机求解是很方便的，但我们要学会分析和解决等，用计算机求解是很方便的，但我们要学会分析和解决问题，对计算机输出结果进行分析问题，对计算机输出结果进行分析 46/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法如例如例5用用LINGO10.0进行求解的程序为：进行求解的程序为：max=4*x1+5*x2+3*x3;4*x1+3*x2+6*x3<=120;2*x1+4*x2+5*x3<=100;求解，输出结求解，输出结果如下：果如下：Global optimal solution found.Objective value: 152.0000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 18.00000 0.000000X2 16.00000 0.000000X3 0.000000 4.600000Row Slack or Surplus Dual Price1 152.0000 1.0000002 0.000000 0.60000003 0.000000 0.800000047/47数学建模方法数学建模方法数学建模方法数学建模方法Global optimal solution found.Objective value: 19.20000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 1.800000 0.000000X2 0.000000 9.600000X3 2.400000 0.000000X4 0.000000 3.200000X5 0.000000 0.4000000Row Slack or Surplus Dual Price1 19.20000 1.0000002 0.000000 1.2000003 0.000000 1.400000同样，对例同样，对例4用用LINGO10.0求解：求解： max= 4*x1+x2+5*x3-2*x4+x5x1+3*x2+3*x3+x4=9;2*x1+5*x2+x3+x5=6; 输出结果输出结果:。