同步练习3有理数的大小》同步练习.doc

1.3 有理数的大小精题讲解1. 利用数轴进行有理数的大小比较(1) 数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大.(2) 正数大于零，零大于负数，正数大于负数.(3) 因为正数都大于 0，反过来，大于0的数都是正数，所以可以用a> 0表示a是正数； 反之，a是正数也可以表示为 a> 0.同理，a v 0表示a是负数；反之，a是负数也可以表示为 av 0.另外可以用a > 0表示a是非负数，用aw 0表示a是非正数.谈重点利用数轴判断正数的大小(1) 利用数轴比较两个正数的大小，离原点越远，表示的数就越大，离原点越近，表示 的数就越小.(2) 利用数轴比较两个负数的大小，离原点越近，表示的数就越大，离原点越远，表示 的数就越小.【例1- 1】 有理数a, b在数轴上的位置如图所示，试 用“ = 或“V”填空：a . 0, b 0, a b.—』 1 1 a 0 b解析：a在原点的左边，是负数，负数小于 0; b在原点的右边，是正数，正数大于 0;数b的对应点在数a的对应点的右边，数轴上右边的数总是大于左边的数.答案，：v > v【例1 - 2］比较下列各数的大小：(1) - I- 1| -(- 1)；⑵-(—3) 0 ；(n 1⑶十6. -7(4) - (- I-3.4|) - (+ |3.4|).解析：(1)化简一|- 1|=- 1, - (- 1)= 1,因为负数小于正数，所以一 |- 1|v- (- 1)； ⑵化简—(-3) = 3,因为正数都大于 0,所以—(-3) >0；⑶分别化简两数，得— —6 =1--7 =-1,因为正数大于负数，所以一［-6］>_ -1 ；⑷同时化简两数，得一(一| -3.4|)= 3.4,- ( + |3.4|)=- 3.4，所以一(一|- 3.4|)>- (+ |3.4|).在比较大小时，有时可能出现含有负数的绝对值或负数的相反数的形式给出的数， 这种形式给出的数不容易直接观察出大小， 我们要先化简，然后再选择适当的方法进行大小比较.答案：(1)< (2)> (3) > (4) >2. 两个负数的大小比较(1) 利用绝对值比较两个负数的大小的法则两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即在数轴上绝对值较大的负数一定在绝对值较 小的负数的左边.例如：I- 3|= 3, |-5|= 5，而 3V5，所以一3>- 5.⑵利用绝对值比较两个负数大 小的步骤① 分别求出两个负数的绝对值；② 比较两个绝对值的大小；③ 根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断.解技巧 正确比较两个分数的大小在比较两个分数大小时， 一般不要改变两数原来的顺序， 以免最后判断时失误. 例如比较一1与一3的大小时，先求得一2的绝对值是2，-1的绝对值是3,然后比较*与3的大小得2 >1从而—1 <-1，在整个解答过程中，— 1与—1的顺序不变.3 2 3 2 32 3【例2】比较一2与一3的大小.3 4分析：两个负数比较大小， 要先求出它们的绝对值， 再根据绝对值的大小和两个负数大小比较的法则，确定出原数的大小.两个负分数化成同分母分数之后，分子越大，分数值越小.2_ 2 _旦3一 3=3 =一 4解：因为3=—，.而—< —，所以一-> —34 12' 12 12' 3 4.3. 有理数的大小 比较几个有理数的大小比较主要有以下几条法则： （1）正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；（2）绝对值越大的正数就越大，绝对值越大的负数反而越小； （3）在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大.“数无形时少直观， 形无数时难入微”， 利用数形结合思想解题， 可以化难为易，化繁为简.利用数轴能揭示点的位置关系与数的大小关系的联系， 所以较好地体现了数形结合的思想，利用它能方便地解决多个有理数 （或其绝对值、相反数等）大小比较的问题.【例3】在数轴上表示出下列各数， 并把它们按从小到大的顺序用“<”号连接起来：1 1一 4,3,0,— 0.5,+ 42，— 2?.分析：在数轴上表示上述数时，关键是：+ 4*应在4的右边，—弓应在—2的左边；—0.5应在原点的左边、—1的右边.本题解题时的一般步骤： ①画数轴；②描点；③有序排列；④不等号连接.利用数轴比较有理数的大小时，关键是每个数的位置必须正确确定.解：如图所示，—4<— 21<— °5< 0< 3<+ 414. 利用数轴比较含有字母的有理数的大小“数”可准确澄清“形”的模糊，“形”能直观启迪“数”的计 算，利用数轴这一工具，加强数形结合的训练可沟通知识间的联系， 它使数和直线上的点建立了对应关系， 它揭示了数和形之间的内在联系，为我们 研究问题提供了新的方法.含有字母的有理数的大小本来是不确定的， 例如字母a可以表示任意有理数，但是只要把字母的位置确定在数轴上，它们的大小关系就能确定.【例4】 有理数a, b, c在数轴上的位置如图所示，试比较 a,— a, b, — b, c,— c,0 的大小，并用“<”连接. Il I II J 丁a b 0 c分析：观察数轴知a< 0, b< 0, c> 0;根据绝对值的意义，得|a|> |b|> |c|;根据相反数 的几何意义，可以把 a, — a, b, — b, c,— c,0都表示在数轴 上，从而利用数轴比较大小.解：把a, — a, b, — b, c, — c,0表示在数轴上，如图所示：以 a< b< — c< 0< c< — b< — a.5. 有理数大小比较的拓展有理数的大小比较是初中数学的一个重要内容.有理数的大小比较常规的方法有很多， 这里再介绍两种常用的方法.（1）差值比较法：设 a, b是任意 两数，则a — b> 0? a> b； a — b< 0? a< b ； a — b= 0? a =b.⑵商值比较法：设 a, b是任意两个正数，则1= a> b； ： = 1二a = b； *< 1二av b.【例5- 1】比较52与彎的大小.51 2 71则被除数大于除数；若小于1分析：计算52与26的商，再用商与1进行比较•若大于51 27则被除数小于除数.52 26 52 27 54 52 26解: 因为一—=一X一=一> 1 , 所以一>一51 27 51 26 51 51 27.【例5-2］比较-与 0.3的大小.31于零，则被减数小于减分析：计算-与0.3的差•若大于零，则被减数大于减数；若小 3数；若等于零，则两数相等.1 10 9 1 1解:因为 3-° 0 -5 ； -1-3| -5 ；⑷|+ ( -2.6)| -1+ 5|.能力提升&比较大小： 一0.1 — 0.01 ；- 3.14 - n.9. 比较下列各组数的大小： = 30- 30= 30> °，所以 3> °3基础巩固A.-2B. 0C. 1D . 32.在数轴上，-2,1 10这四个数所对应的点从左到右排列的顺序是2 31111A.0, ,-2B . - 2 ,032231111C.0,-2D . - 2 ,032323.大于一3的负整数的个数是().A.2B.3C. 4D .无数个4.有理数a,b在数轴上的位置如图所示,那么下列各式正确的是( ).b (} aA.b>— aB. — a>— bC.a >— bD. — b> a1.在一2,0,1,3这四个数中比0小的数是( ).5.实数a在数轴上对应的点如图所示，则 a, - a,1的大小关系正确的是( » « « ►a 0 1).).A . — a v a v 1 B. a v — a v 1C. 1 v — a v a D. a v 1 v — a(1 ■ ■ 16. 在数—0.34, — ―― I, 0.3, - 35%, -0.334 ,—一 中，最大的数是I 2丿 4最小的数是 .7. 比较下列各组数的大小：(1)一 丄 和—4 ；(2) — 2.8 和一3.7.10 5110. 将下列各式用“V”号 连接起来：—4, -3- , 3,— 2.7,— — 3.5|,0.511. 如图所示，数轴上的点 A, B, C, D表示的数分别为：一1.5,— 3,2,3.5.B A C D—|4■— 1 1_*~L-^J~--4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4(1)将A, B, C, D表示的数按从小到大的顺序用 “V”号连接起来；⑵若将原点改在C点，其余各点所对应的数分别为多少？将这些数按从小到大的顺序 用“V”连接起来；⑶改变原点位置后，点 什么性质？A, B, C, D所表示的数大小顺序改变了吗？这说明了数轴的参考答案1答案：A点拨：负数小于0.2答案：B点拨：绝对值越大的数距原点的距离越远.3答案：A点拨:利用数轴可知，大于一 3的负整数是一2,— 1这两个数，故选 A.4答案:D点拨：观察数轴上表示数 a, b的位置，可知a> 0, b v 0，且表示b的数到原点的距离大，所以可取特殊值解决此题.令 a = 1, b = — 2，则一a=— 1, — b= 2.因为 2> 1，所以一b>a.所以选 D.5答案：D 点拨：本题一是考查数与数轴的对应关系，二是考查在数轴上如何表示一 个数的相反数及如何比较几个数的大小，在数轴上标出 a的相反数一a的点如图所示,• 1 1 •・a 0 1 -a从而可得aV 1 v— a,故选D.2—1 _—4 =6答案：-12,27答案:—35% 点拨：这六个数中4,这时再应用法则或数轴就容易了.-1这两个数需进4步化简,(1) V (2) > (3) > (4) > 点拨：(1)(2)可直接判断， ⑶(4)先化简，然后比较，——3|=— 3, |+ (— 2.6)| = 2.6,—汁 5|= — 5.8答案：V > 点拨：两个负数比较，绝对值大的反而小.注意n是介于3.141 592 6 3.141 592 7之间的无限不循环小数.9 解: (1) •/11441414—V—,•- > -1010，55，105105③比较负数(2) •/ |— 2.8| = 2.8, — 3.7|= 3.7,2.8V 3.7 , /•— 2.8 >— 3.7. 点拨：比较负数大小要遵循以下步骤： ①求绝对值；②比较绝对值的大小;的大小.10分析■:先化简一 —3.5|=— 3.5,可在数轴上表示.1解：—4V— | — 3.5|V— 3 V— 2.7V 0V 3.511 解：(1) — 3V— 1.5 V 2 V 3.5(2) — 。