2022-2023学年广东省东莞市第四高级中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】.doc

2022-2023学年广东省东莞市第四高二上学期期中数学试题一、单选题1．二元方程表示圆C,圆心的坐标和半径分别为（    ）A． B． C． D．B【分析】根据方程化简为圆的标准形式,选出答案即可.【详解】解:由题知方程,即,因为该二元方程表示圆,所以圆心,半径.故选:B2．在空间四边形ABCD中， M，G分别是BC， CD的中点，则 （    ）A． B．2 C．3 D．3D【分析】利用中位线的性质可以得出：，然后利用向量的线性运算即可求解.【详解】因为M，G分别是BC， CD的中点，由三角形中位线的性质可得：，又因为，所以，故选.3．将直线l上一点 向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的点B仍在直线l上，则直线l的方程是 （    ）A． B． C． D． A【分析】由平移求得点的坐标，再根据都在直线上，求出直线的斜率，从而可得出答案.【详解】解：将 向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得，因为都在直线上，则，所以直线的方程为，即.故选：A.4．如图，在正方形网格中，已知，，三点不共线，为平面内一定点，点为平面外任意一点，则下列向量能表示向量的为（    ）A． B．C． D．C【分析】根据，，，四点共面，可知存在唯一的实数对，使，结合图形可得的值，即可得到答案；【详解】根据，，，四点共面，可知存在唯一的实数对，使．由图知，，故，故选：C.5．在长方体中，若向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在单位正交基底下的坐标为（    ）A． B． C． D． B【分析】根据向量的线性与空间向量的基本定理即可求解【详解】因为，所以向量在单位正交基底下的坐标为，故选：B6．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形C【分析】求出三点间任意两点的距离，最后运用勾股定理或者余弦定理判断出三角形的形状.【详解】由两点间的距离公式得，，，满足，故选C.本题考查了空间两点间的距离公式，以及判断空间三点组成三角形的形状问题，考查了数学运算能力.7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 直线BB1与面ACD1所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．D【分析】建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，利用向量法求出和平面的法向量，结合空间向量的数量积的定义即可求解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，所以，设平面的一个法向量为，有，令，则，所以，故，设直线与平面所成的平面角为，则.故选：D.二、多选题8．如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于的是（　　）A． B．C． D．AC【分析】利用向量数量积的定义，分别计算出四个选项对应的数量积，即可得到答案.【详解】在空间四边形中，夹角为60°，所以.故A正确；夹角为120°，所以.故B错误；因为点F，G分别是AD，DC的中点，所以且,所以夹角为0°，所以.故C正确；因为点E，F分别是AB，AD的中点，所以,所以夹角为120°，所以.故D错误.故选：AC9．若向量，，则（    ）A． B． C． D．AD【分析】根据空间向量夹角公式判断A，根据空间向量垂直的坐标表示判断B，根据空间向量平行的坐标关系判断C，根据空间向量的模的公式判断D．【详解】由已知，，D正确；，与不垂直．B错误；，A正确；设，则，，，满足条件的不存在，因此与不共线，C错误；故选：AD．10．两平行直线和间的距离为， 若直线的方程为， 则直线的方程为（    ）A． B． C． D．BC【分析】设出直线的方程，由两平行线间距离公式列出方程，求出，得到直线方程.【详解】设直线的方程为，由两平行线间距离公式可知：，解得：或，当时，直线的方程为，即，当时，直线的方程为，即，故直线的方程为或.故选：BC11．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（   ）A．始终过定点B．若，则或-3C．若，则或2D．当时，始终不过第三象限ACD【分析】将直线化为可判断A；将或-3代入直线方程可判断B；根据可判断C；将直线化为，即可求解.【详解】：过点，A正确；当时，，重合，故B错误；由，得或2，故C正确；：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.故选：ACD本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.12．若直线l：m x+(2m-1) y- 6= 0与两坐标轴所围成的三角形的面积为3， 则m的值是（    ）A．2 B． C．3 D．- AD【分析】根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：∵ 直线l与两坐标轴围成三角形，∴ ，，且，令，解得，令，解得，，，或，当时，，方程无解；当，解得或．故选：AD．三、填空题13．直线的倾斜角为_________． 【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角【详解】，则，斜率为则，解得故答案为本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题14．在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)， B(0，4)， O为坐标原点，则△ABO的外接圆的方程是__________.(x-1)2+(y-2)2=5【分析】由题意可知：，所以为直角三角形，其外接圆圆心为斜边的中点，半径为斜边长度的一半，进而求解.【详解】由题意可知: ,故为直角三角形, 的外接圆的圆心为的中点，半径为,所以外接圆的标准方程为,故答案为: .15．在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)， 点B是直线l： x-2y - 2= 0的动点，则|AB|的最小值为__________．【分析】根据时最小求解即可．【详解】解：当时最小，．故．16．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到直线的距离．【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则点到直线的距离：．点到直线的距离为．故．四、解答题17．已知关于x，y的二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+3=0.(1)若方程表示的曲线是圆，求证：点在圆x2+y2=12外；(2)若方程表示的圆C的圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限， 半径为， 求圆C的方程.(1)证明见解析(2)【分析】（1）由二元二次方程能表示圆的一般方程的条件易证得所求；（2）利用圆的一般式得到圆心与半径关于的表达式，进而由题设条件得到关于的方程组，解之即可得到圆C的方程.【详解】（1）因为方程x2+y2+Dx+Ey+3=0表示的曲线是圆，所以D2+E2-12>0，即D2+E2>12，因而点在圆x2+y2=12外.（2）由题意知，圆心，因为圆心在直线x+y-1=0上，所以，即①，又因为半径，即②，联立①②，解得或，又因为圆心在第二象限，所以，，即D>0，E<0.所以，故圆的一般方程为，即.18．在△ABC中， 顶点B的坐标为(1，2)，顶点A在x轴上，边BC上的高AH所在直线的方程为x-2y+1= 0， 边AB，AC所在直线的倾斜角之和为180º.(1)求顶点A的坐标和直线BC的方程；(2)求△ABC的面积.(1)(-1，0)，2x+y-4=0(2)12【分析】(1) A点的坐标可以由AH与两条直线联立得到.由AH与BC垂直，可得BC斜率，点斜式就可得到BC的方程.(2) 由AB，AC所在直线的倾斜角之和为180º与A点坐标可求得AC的方程，联立方程组得C点的坐标，求BC长度，用面积公示即可求出.【详解】（1）由方程组求得点A的坐标为(-1，0).因为BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0， 斜率为所以边BC所在直线的斜率为-2，因而边BC所在直线的方程为y-2=-2(x-1)，即2x+y-4=0.（2）因为边AB所在直线的斜率为kAB=1，边AB，AC所在直线的倾斜角之和为180º所以边AC所在直线的斜率为-1，其方程为y=-(x+1)，即x+y+1=0.联立方程解得，即顶点C的坐标为(5，-6)， 所以|BC|=4点A到直线BC的距离， 因而△ABC的面积为.19．如图， 已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，CC1=3，CD=2，且∠C1CB=∠C1CD=60°.(1)求证：BD⊥CA1；(2)求CA1的长.(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用空间向量的线性运算得到，，再利用已知的模与夹角求得与的数量积为0，从而证得BD⊥CA1；（2）利用数量积的性质，由已知的模与夹角求得，从而求得CA1的长.【详解】（1）设，，，由已知条件，得，，，，而，，所以，所以，即BD⊥CA1. .（2）由（1）得，则，所以，即A1C的长为.20．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=，D是棱AC的中点，且AB=BC=BB1=2．(1)求异面直线AB1与BC1所成角的大小；(2)求直线AB1与平面BC1D的距离．(1)(2)【分析】（1）利用与的数量积求异面直线所成的角即可；（2）先证明AB1平面BC1D，再根据在平面BC1D法向量上的投影求解即可．【详解】（1）解： 以为基底建立空间直角坐标系，连接于点O，则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)．所以=(0，-2，2)，=(2，0，2)，===，设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则=，因为θ∈，所以θ=．（2）解：由（1）知D(1，1，0)， 直线AB1的方向向量为=(0，-2，2)，设平面BC1D的法向量为=(x，y，z)，因为=(2，0，2)，=(1，1，0)，由0， 0得，化简得，取，得，，∴ 平面BC1D的法向量为=(-1，1，1)，(0，-2，2)·(-1，1，1)=0-2+2=0，∴ ⊥ ，即AB1平面BC1D，∴ 直线AB1与平面BC1D的距离为点A到平面BC1D的距离，，∴ 直线AB1与平面BC1D的距离为．21．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M分别是BC，AE的中点，AD=AA1=1，AB=2.(1)试问段CD1上是否存在一点N， 使MN∥平面ADD1A1? 若存在，确定N的位置； 若不存在，请说明理由；(2)在（1）中，当MN∥平面ADD1A1时，试确定直线BB1与平面DMN的交点F的位置，并求BF的长.(1)存在，N为CD1的中点(2)点F是线段BB1上靠近点B的一个三等分点，BF=【分析】(1)建立如图空间直角坐标系，假设CD1上存在点N使MN∥平面ADD1A1并设=λ利用空间向量法求出平面ADD1A1的法向量，根据⊥求出即可；(2)根据题意可知点F在平面DMN内，设F（1，2，t)。