3_3向量组的秩和极大线性无关组.ppt

线性代数下页结束返回第三节 向量组的秩和极大线性无关组一、向量组的等价二、向量组的极大线性无关组三、向量组的秩1) 向量组的秩的计算方法2) 极大无关组的确定方法3) 用极大无关组表示其它向量的方法下页线性代数下页结束返回一、等价向量组定义1 设有两个向量组（）（） 如果（）中每一个向量都可由向量组（）线性表示，则称（）可由（）线性表示；如果向量（）与向量组（）可以相互线性表示，则称向量组（）与向量组（）等价.例1. （）a=(1, 0) , a 2=(0, 1)（） b=(1, ) , b 2=(, -1), b 3=(, 5)两组等价.显然,b=aa 即（）和（）可以相互线性表示，, b 2=aa, b 3=aa 所以，向量组（）与向量组（）等价.下页线性代数下页结束返回等价向量组的性质（1）自反性：向量组与其自身等价；（2）对称性：若向量组(I)等价于(II)，则向量组(II)等价于(I)；（3）传递性：若向量组(I)等价于(II) ，向量组(II)等价于(III)，则向量组(I)等价于(III). 例2. 向量组 等价于其部分向量组a，a. 事实上，a，a，a3中的每一个向量可由a，a线性表示：而 a，a中的每一个向量可由a，a，a3线性表示：下页线性代数下页结束返回 例3在向量组a1=(0, 1)，a2=(1, 0)，a3=(1, 1)，a4=(0, 2)中，向量组a1=(0, 1)， a2=(1, 0)线性无关，且有 同样a2，a4也是一个极大无关组.所以a1，a2是向量组a1，a2，a3，a4的一个极大无关组. a4=(0, 2)=2(0, 1)=2a1+0a2，a3=(1, 1)=(0, 1)+(1, 0)=a1+a2，二、向量组的极大无关组 定义 如果向量组a1，a2 , ,am的一个部分向量向量组 aj1，aj2 , ,ajr(rm)满足： (1) aj1，aj2 , ,ajr线性无关； (2) 向量组a1，a2 , ,am中的任一向量可由aj1，aj2 , ,ajr线性表示， 则称aj1，aj2 , ,ajr为向量组a1，a2， ,am的一个极大线性无关组.注：) 一个向量组的极大无关组不一定唯一；(见例3) 一个向量组与它的极大无关组等价.（显然）下页线性代数下页结束返回线性表示，则rs.二、向量组的极大无关组定理5设向量组线性无关，并且可由向量组 推论2 一个向量组的极大线性无关组之间彼此等价并与向量组本身等价，而且一个向量组的所有极大线性无关组所含向量的个数相等. 推论1 任意n+1个n维向量一定线性相关.下页线性代数下页结束返回 定义3 向量组a1，a2， ，am的极大无关组所含向量的个 数称为向量组的秩. 规定，只含零向量的向量组的秩为0 . 向量组a1=(0, 1)，a2=(1, 0)，a3=(1, 1)，a4=(0, 2)的一个极大无关组为a1，a2，所以向量组a1，a2， a3 ，a4,的秩为2 .单位向量组e1，e2， ，en 是Rn的一个极大无关组，所以r(Rn)=n .三、向量组的秩 由于向量组的极大线性无关组与向量组本身等价，由等价的传递性，等价向量组的极大线性无关组等价，所以，等价的向量组有相同的秩.下页线性代数下页结束返回1.矩阵的行秩与列秩 若把Amn矩阵按列分块，得到一个由n个m维列向量组成的向量组,称为A的列向量组; 若把A按行分块，得到一个由m个 n维列向量组成的向量组,称为A的列向量组. 定义4 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩.定理6 矩阵的行秩等于列秩，且等于矩阵的秩.2.求向量组的秩的方法(下页)下页线性代数下页结束返回例4. 求下列向量组的秩=(1, 2, 3, 4)，=( 2, 3, 4, 5)，=(3, 4, 5, 6)解：以a,a,a为行向量作成矩阵，用初等变换将化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的秩为，所以向量组的秩为2.求向量组的秩的方法1)把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵；2)对矩阵进行初等行变换化为阶梯形矩阵；3)阶梯形中非零行的个数即为所求向量组的秩问题：基本单位向量组的秩是多少？它们相关/无关？下页线性代数下页结束返回 定理7 矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性组合关系.证明从略,下面通过例子验证结论成立.线性关系:矩阵A矩阵A1矩阵A23.求向量组的极大线性无关组的方法下页线性代数下页结束返回1)把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵；2)对矩阵进行初等行变换化为阶梯形矩阵；3)阶梯形中非零行的个数即为所求向量组的秩；4)中的与的每阶梯首列对应的向量组，即为极大无关组3.求向量组的极大线性无关组的方法下页矩阵A2矩阵A3矩阵B线性代数下页结束返回例5. 求下列向量组的一个极大无关组，其中：解：以给定向量为列向量作成矩阵，用初等行变换将化为阶梯形矩阵 矩阵已是阶梯形矩阵，的每一行非零元所在的列是，列，所以的第，列就是的列向量组的极大无关组，即， ， 是向量组的一个极大无关组。

下页线性代数下页结束返回 行最简形矩阵 一个矩阵是行最简形矩阵（或称行最简式）是指它为阶梯形矩阵，且它的每一行的第一个非零元素均为，第一个非零元素所在的列其余元素均为例如, 利用初等行变换将A先化为阶梯形矩阵B，再化成行最简形矩阵C4.用极大线性无关组表示其它向量的方法下页线性代数下页结束返回4.用极大线性无关组表示其它向量的方法1)把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵；2)对矩阵进行初等行变换化为阶梯形矩阵；3)把阶梯形进行初等行变换化为行最简形矩阵C；4)中的与C的每阶梯首列对应的向量组，即为极大无关组；5)根据行最简式矩阵的系数，用极大无关组表示其它向量下页线性代数下页结束返回例6. 求下列向量组的一个极大无关组，并用极大无关表示其它向量解：以给定向量为列向量作成矩阵，用初等行变换将化为行最简形: 根据行最简形矩阵可知， ， 是向量的一个极大无关组，且下页线性代数下页结束返回一、填空题1若向量组， ，m，线性相关，则它的秩（ ）m2一个向量组若含有两个以上的极大无关组，则各极大无关组所含向量个数必（ ）3设， ，r线性无关，且可由， ，s线性表示，则r ( ) s设是n阶方阵且|A|，则（ ） 1).A中必有两行（列）元素对应成比例 2).中至少有一行（列）的元素全为0 3).中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 4).中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合二、单选题下页线性代数下页结束返回2设n阶矩阵的秩为r，则结论（ ）成立. |A| |A| rn rn3向量组， ，s，线性无关的充要条件是（ ） r1 它有一个部分向量组线性无关 r 它所有的部分向量组线性无关4若矩阵有一个r阶子式，且中有一个含有的r阶子式等于零，则一定有（ ） . （）r （）r （）r （）r+15设向量组，线性无关，则下列向量组中， 线性无关的是（ ） . ， ，2 2，23，3 ，2322，355下页线性代数下页结束返回 作业：119页 13 15:(1)(2) 结束。