(NEW)南开大学高等代数历年考研真题汇编.pdf

目录 2004年南开大学高等代数考研真题 2005年南开大学高等代数考研真题 2006年南开大学高等代数考研真题 2007年南开大学高等代数考研真题 2008年南开大学802高等代数考研真题 2009年南开大学802高等代数考研真题 2010年南开大学802高等代数考研真题 2011年南开大学802高等代数考研真题 2012年南开大学804高等代数考研真题 2014年南开大学高等代数考研真题（回忆版） 2004年南开大学高等代数考研真 题 2005年南开大学高等代数考研真 题 2006年南开大学高等代数考研真 题 2007年南开大学高等代数考研真 题 2008年南开大学802高等代数考研 真题 一、计算题（每题12分，共60分，请写出必要的计算步骤） 1设n阶实矩阵A（aij）nn满足条件 （1）aij0，i1，2，，n； （2）aij0，ij； （3），k1，2，，n 试求A的秩r（A） 2设A（aij）nn为数域P上的n阶方阵，定义Pnn上的线性变换T 使T（X）AX，XPnn，试求T的迹和行列式 3设P为数域，c0，c1，，cn1P，令 试求A的最小多项式。

4设V为数域P上的3维线性空间，已知V上线性变换T在基1， 2，3下的矩阵为 试求V的一组基使得T在该基下的矩阵为 5设n阶实矩阵P满足P1P2，试求出P的所有可能的特征值 二、（20分）设A1，A2，，Am为n阶方阵，且r（A1A2Am） r（Am）证明：对任何1j，km，齐次线性方程组AjAj1AmX0 与AkAk1AmX0同解 三、（20分）设S，T都是半正定实对称n阶方阵，证明：det（S T）（detSdetT）/2 四、（15分）设A，AIn都是n阶实对称正定矩阵，证明：InA 1也是正定矩阵 五、（15分）设f（x，y）为线性空间V上的非退化双线性函数，证 明：对于任何gV*，存在唯一的V，使得g（）f（，）， V 六、（10分）设T为欧几里得空间V上的线性变换，满足条件 x，yV，（Tx，y）（x，Ty）或（Tx，y）（x，Ty）至 少有一个成立 证明：T或为对称变换或为反对称变换 七、（10分）设A，B为n阶复方阵，CABBA，证明：如果C与 A可交换，则C为幂零矩阵 2009年南开大学802高等代数考研 真题 2010年南开大学802高等代数考研 真题 2011年南开大学802高等代数考研 真题 一、（20分）设A为秩为1的n阶复方阵，A的迹tr（A）a0，试 求出A的所有特征值（写出重数）。

二、（20分）设V为4维实线性空间，1，2，3，4为一组基，已 知V上线性变换T在基1，2，3，4下的矩阵为 （1）试求出T的特征值与特征向量； （2）试分别求出T的核kerT与象imT的一组基与维数 三、（20分）设实矩阵 A 试将A写成一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵T的乘积 四、（20分）设A为实反对称矩阵，证明：EA10一定是正定矩 阵 五、（15分）设V为一个欧氏空间，T为V到V的一个映射，满足条 件：|T|||，V，试问T是否一定是V上的正交变换？说明理由 六、（15分）设A，B为数域P上的n阶方阵，满足方程aA2bAB cB0，其中a，b，c为非零常数，证明：（cEbA）为可逆矩阵 七、（15分）设A，B为数域P上的n阶方阵，且r（A） r（BA），证明：对任何自然数l，有r（Al）r（BAl） 八、（15分）设V为复数域上的4n维线性空间，证明：存在V上的 线性变换T使得T4id，其中id为恒等变换证明满足上述条件的线性 变换必然在某组基下的矩阵为对角矩阵 九、（10分）数域P上一个n阶方阵A称为幂零的，如果存在自然数 m使得Am0设A（aij）nn为一个幂零方阵，且a120，a130，a22 0，a230，证明：不存在矩阵B使得Bn1A。

2012年南开大学804高等代数考研 真题 2014年南开大学高等代数考研真 题（回忆版） 一、设n阶行列式，且满足aijaji，i，j1， 2，，n对任意x，求n阶行列式 二、已知向量1，2，1，2，3V1是由1，2组成，V2是由 1，2，3组成求V1V2和V1V2的维数和一组基 三、 （1）证明A2014A2012A2E； （2）求A2014 四、已知矩阵与矩阵相似 （1）求x，y； （2）求可逆矩阵P使P1APB 五、设A为sn矩阵证明：s秩（EsAA）n秩（EnA A） 六、设A为对称矩阵，存性无关的向量X1，X2使X1AX10， X2AX20，证明：存性无关的向量X3，X4使X1，X2，X3，X4线 性相关，且X3AX3X4AX40 七、设，为线性变换且有n个不同的特征值证明：若， 则可由I，，2，，n1线性表出其中I为恒等变换 八、f（x）是A的特征多项式存在互素且次数分别为p，q的多项 式g（x），h（x）且f（x）g（x）h（x）求证：秩g（A）q，秩 h（A）p 九、A，B都是反对称矩阵，且A可逆求证|A2B|0。