2024年中考数学二次函数压轴题：二次函数与几何交点问题（学生版+解析）.pdf

二次函数与几何交点问题1.(2023黑龙江大庆中考真题)如图，二次函数y=o?+bx+c 的图象与x 轴交于A,8 两备用图求二次函数y=+扇+的表达式；若将线段A 5先向上平移3 个单位长度，再向右平移1 个单位长度，得到的线段与二次函数=1(依2+玄+C)的图象只有一个交点，其中f为常数，请直接写出f 的取值范围.t2.(2023四川德阳中考真题)已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点A(-4,0),3(2,0),与 y 轴交于点 C(0,-4).图I图2(1)求抛物线的解析式;5.（2022吉林长春中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=Y-灰（6 是常数）经过点（2,0）.点 A在抛物线上，且点A 的横坐标为机（zw0）.以点A 为中心，构造正方形尸QMN,PQ=2 n ,且 P Q L x轴.（1）求该抛物线对应的函数表达式：（2）若点8 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧.过点8 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点C,连接B C.当BC=4 时，求点8 的坐标；若机 0,当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随尤的增大而增大时，或者y 随x 的增大而减小时，求相的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2 个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出机的值.6.（2022.湖南永州.中考真题）已知关于x 的函数y=2+6x+c.（1）若a=l,函数的图象经过点（1,-4）和点（2,1）,求该函数的表达式和最小值；（2）若。

1,b=-2,c=?+l 时，函数的图象与x轴有交点，求?的取值范围.（3）阅读下面材料：设0,函数图象与x 轴有两个不同的交点A,B,若 A,8 两点均在原点左侧，探究系数匕，c应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以 =一 44c 0；因为A,3 两点在原点左侧，所以x=0对应图象上的点在x 轴上方，即c 0；上述两个条件还不能确保A,8 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需-9b0 =b2-4ac 0综上所述，系数b,c 应满足的条件可归纳为：c0-A 0、2a请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数y=ar2 一 2x+3的图象在直线x=l 的右侧与x 轴有且只有一个交点，求的取值范围.7.(2022湖南衡阳中考真题)如图，已知抛物线y=-x-2 交x 轴于A、8 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W，图象W交，轴于点C.(1)写出图象W 位于线段A 3上方部分对应的函数关系式；若直线=-芯+人与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值；P 为x 轴正半轴上一动点，过点作 加/、轴 交 直 线 于 点/，交图象W 于点N,是否存在这样的点尸，使一CWN与相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.二次函数与几何交点问题1.（2023黑龙江大庆中考真题）如图，二次函数=0 +法+，的图象与x 轴交于A,8 两备用图求二次函数y=加+人工+。

的表达式；若 将 线 段 先 向 上 平 移 3 个单位长度，再向右平移1 个单位长度，得到的线段与二次函数=1（公2+汝+的图象只有一个交点，其中f为常数，请直接写出f 的取值范围.t【详解】（1）解:由表格可知，二次函数丫=4+乐+的图象经过点（1,0）,（0,-3）,（1,-1）,代入 y=ax2+Zzx+c 得 至!Ja-b+c=O=(尤2-2尤-3)=:-1)一 一：，与线段AF只有一个交点，当然0时，抛物线y 二 ,1 (%22冗-3)=：1 (犬-1)9-4 开口向上，顶点(47、)在A下方，当尤=4时,一(尤2 2%3)ye,t即 不 3,t解得，彳，31_o当=0 时，一(炉2x 3)yA,即 -1,0 r -,3此时满足题意，当，0时，抛物线y =：1 (%22x-3)=:1 (%-1)9 彳4 开口向下，顶点/1,4-7、)在A上时，-=-(V -2x-3)得到3=三，解得=-1,将点9(4,3)代入y =；(尤2 2尤 一 3)得至IJ 3=；(1 6 8 3),解得f =g ,A -l r =履+6与新图象有三个公共点时，求的值;【详解】（1）设抛物线的解析式为 =依 2+云+,C(0,-4),y=ax2+b x-4,把 A(4,0),B(2,0)X y =ax2+bx+c,得:16a-4b-4 =04Q+2b 4=0解得：“一5,b=l 抛物线的解析式为y=x2+x-4（2）直线表达式 =履+6,直线经过定点（0,6）,将过点（0,6）的直线旋转观察和新图象的公共点情况把抛物线x 轴下方的部分沿无轴翻折180,抛物线的解析式为y=1 +x-4,新图象表达式为：尤 2时，y=-x2-x+4；尤 W T或尤2 2 时，y=x2+x-4,如下图当直线丫=狂+6与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，整理得：%2+2（1+左）龙+4=0 =0,4（1+4-1 6 =0,4（1+）2=16,1+左=2,左=2 1,勺=2-1=1时，即如上图所示,符合题意,左 2=-2-1=-3时，如下图所示，经过点6,不符合题意，故舍去，如下图，当直线y=+6 经过点A时，和新图象有三个公共点,才 巴 A(-4,0)代入丫=丘+6,得：-4k+6=0,3解得：k=,综上所述，当平面内的直线丁=履+6与新图象有三个公共点时，人的值为1或;323.(2023山东济南中考真题)在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A,笈在工轴上，C(2,3),。

1,3).抛物线 产 加-2依+0(0)与x 轴交于点矶-2,0)和点尸.如图2,在（1）的条件下，连接C F,作直线C E,平移线段C F,使点C的对应点月落在直线C E上，点尸的对应点落在抛物线上，求点的坐标；（3）若抛物线y=ax2-2ax+c（a 0）与正方形A 3 C D恰有两个交点，求的取值范围.【答案】丁=-?/+5%+3,4,0）；o 4（y-6）；1 3 3（3）-6 Z 0 或-Q =丘+将 点C（2,3）,矶-2,0）代入解析式，利用待定系数法求出直线C E的表达式为：y =x +g,设点Q产 根 据 平 移 的 性 质，得到点尸2 产+%+6，将点P代入y =x +j,求出f的值，即可得到点Q的坐标；=h+8，直线过点 C（2,3）,E（-2,0）,直线CE的表达式为：y=3 x+3,4 2.点在抛物线丁=-炉+=%+3上，8 4设点 j 产 +：/+31，C（2,3）,F（4,0）,且 PQ 由 CF 平移得到，点Q 向左平移2 个单位，向上平移3 个单位得到点P（t-2,-t2+f/+6I o 4.,.将 P 1 一 2,一 1 +1 +6）代入y=-|x+|-,3/、3 3 2 3:.-(t-2+-=一 一 t+-Z+6,4V 7 2 8 4整理得：=i6,解得：乙=-4,芍=4(舍去)，当尤=T 时，y=-|x(l)2+1x()+3=-6Q 点坐标为(T-6)；(3)解：四边形ABCD是正方形，C(2,3),：.BC=AB=3,OB=2,:.OA=AB-OB=1,点 A 和点。

的横坐标为-1,点 5 和点的横坐标为2,将石(一2,0)代入 y=or?-2QX+C,得：c=-8a,/.y=cue2-2ax-8a=tz(x-l)2-9a,顶点坐标为(L-9a),如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点,90解得：-a 3 3 3z .2/、，解得：,（2x（-1）-2 a x（-l）-8 3 5 81 3 3综上所述，的取值范围为一：0）交y 轴于点C,过点C 作 x 轴的平行线交该抛物线于点D 求 点 C,的坐标；（3）坐 标 平 面 内 有 两 点+1）尸（5,a+1）,以线段所为边向上作正方形E F G H .若1,求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；当正方形ER汨 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为时，求 a 的值.【分析】（1）先求出2）,再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D 关于抛物线对称轴对称，据此求出点的坐标即可；（3）分图3-1,图 3-2,图 3-3三种情况，利用到x 轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可.【详解】（1）解：在，=一依2+5办+2（a 0）中，当尤=0 时，y=2,/.C（0,2）,/抛物线解析式为y=-?+5依+2（。

0）,抛物线对称轴为直线x=-学=f ,-2a 2 过点C 作 x 轴的平行线交该抛物线于点D,；.C、关于抛物线对称轴对称，（5,2）；（3）解:当1时，抛物线解析式为=一/+5尤+2,E（l,2）,F（5,2）,：.EH=EF=FG=4,A H（1,6）,G（5,6）,当 x=l 时，y=-l2+5xl+2=6,抛物线y=r+5x+2恰好经过H（1,6）；.抛物线对称轴为直线x=g,由对称性可知抛物线经过（4,6）,点（4,6）时抛物线与正方形的一个交点，又：点 P 与点重合，抛物线也经过点尸（5,2）；综上所述，正方形跳的边与抛物线的所有交点坐标为6）,（4,6）,（5,2）；如图3-1所示，当抛物线与GH、G F分 别 交 于 八D,/当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到无轴的距离之差为5 _5，点 T 的纵坐标为2+25=4.5,5-FQ+1=4.5 ,a,a?+1.51 =0,解得=2 （舍去）或=0.5；如图3-2所示，当抛物线与G H、F分别交于T、S,当正方形E F G H的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为5 _2,解得。

0.4 （舍去，因为此时点歹在点下方）如图3-3所示，当抛物线与打入E F分别交于T、S,V当正方形E F G H的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到无轴的距离之差为5 _2,门 Y U 1 C,c U U,一 +Jd-F2=Q+1+2.3 ,a）a 7 =a +3.5 ,a,a?3.5Q+1 =0,解得二z2匡 或 =3 1 1 （舍去）；4 4当 =g 时，y-ax2+Sax+2 =6.25Q+2 ,当 q=7+庄时,6.252 7 一 L4a5.（2022吉林长春中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=f-桁（6 是常数）经过点（2,0）.点 4 在抛物线上，且点4 的横坐标为机（件0）.以点A 为中心，构造正方形P Q M N ,P Q =2n,且 PQ_Lx轴.（1）求该抛物线对应的函数表达式：（2）若点8 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧.过点8 作 x 轴的平行线交抛物线于另一 点 C,连接B C.当3 c =4 时，求点8 的坐标；（3）若加 0,当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时，或者y 随尤的增大而减小时，求相的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2 个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出相的值.【答案】y=/-2 x W-L 3)(3)0 Q.-.A(3,3)观察图形可知，当机2 3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当P。

经过抛物线的对称轴x =l 时，MQ=PQ=2|m|,m02m=1解得加=;，观察图形可知，当0 =区+人(32 k+b=0则 4b=-4k=-l解得L 3I 43 直线肱V解析式为y=-x+-4联立 y=x2-2 x解 得 玉=3卞 =-51(舍去)即A 的横坐标为大3，即加=31,2 2-3、1、3综上所述，根=-或加=5 或 加=5.【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键.6.(20 22湖南永州中考真题)已知关于x的函数尸狈2+法+，.(1)若a。