空间向量与立体几何题型与方法.pdf

周仲文空间向量与立体几何【课前作业】已知四棱锥PABC D的底面为直角梯形，/ABD C，PADAB,90底面ABC D，且12PAADD C，1AB，M是PB的中点证明：面PAD面PC D；（）求AC与PB所成的角；（）求面AM C与面BM C所成二面角的大小考点 1.三视图与体积【例题】 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位 cm ），则该几何体的表面积及体积为：A. 224cm，212cmB. 215cm，212cmC. 224cm，236cmD. 以上都不正确6 5 周仲文考点 2 证明空间线面平行与垂直【例题】设,m n是两条不同的直线，,是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n / /，则nm若/ /，/ /，m，则m若m / /，n / /，则mn/ /若，则/其中正确命题的序号是( ) A和B和C和D和【例题】三棱柱ABCCBA111中，侧棱1AA底面ABC.CBAC，D为AB中点，1CB，3AC，13A A =. （I）求证：/1BC平面CDA1；（II ）求三棱锥11CA D C的体积 . 平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理考点 3 空间向量及其运算1C1B1AABDC周仲文【例题】已知向量),2,4(),3, 1,2(xba，若ab，则 x_；若/ab则x_。

例题】若19(0, 2,)8A，5(1,1,)8B，5(2,1,)8C是平面内的三点，设平面的法向量),(zyxa，则zyx:_考点三求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一 .解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0 90，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0 90，其解法是作垂线、找射影；二面角 0 180，其方法是：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法另外也可借助空间向量求这三种角的大小. 【例题】 如图，在四棱锥PABC D中，底面ABC D为矩形，PD底面ABC D，E是AB上一点，PFEC. 已知,21,2,2AECDPD求（）异面直线PD与EC的距离；（）二面角EPCD的大小 . 周仲文点评：立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容, 本题实质上求角度和距离, 在求此类问题中, 尽量要将这些量归结于三角形中 , 最好是直角三角形, 这样计算起来 , 比较简单 , 此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当, 这样坐标才比较容易写出来. 考点四探索性问题【例题】如图，在长方体1111ABC DA B C D，中，11,2ADAAAB，点E在棱AD上移动 .（ 1）证明：11D EA D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面1AC D的距离；（3）AE等于何值时，二面角1DECD的大小为4. 周仲文EDCBA侧视图俯视图正视图1444【例题】已知几何体ABCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4 的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（1）求此几何体的体积V 的大小 ;（2）求异面直线DE 与 AB 所成角的余弦值；（3）试探究在DE 上是否存在点Q，使得AQBQ 并说明理由 .周仲文考点五折叠、展开问题【 例 题】 如 图（ 甲 ）， 在直 角 梯形ABED中 ， AB/DE ， ABBE ， ABCD, 且BC=CD,AB=2,F 、 H、 G 分别为 AC ,AD ,DE的中点，现将 ACD 沿 CD 折起，使平面 ACD平面 CBED,如图（乙）（1）求证：平面FHG/平面 ABE；（2）记,BCx()Vx表示三棱锥B ACE 的体积，求()Vx的最大值；（3）当()Vx取得最大值时，求二面角DABC 的余弦值【当堂作业】已知正六棱柱111111ABC D EFA B C D E F的所有棱长均为2，G为AF的中点 .( ) 求证：1F G平面11BB E E；( ) 求证：平面1F AE平面11D EE D；( ) 求异面直线EG与1F A所成角的余弦值.DEBCH(甲)GFAHFDGEBCA(乙)。