相交线与平行线复习及练习习题.doc

相交线与平行线复习及练习题二、 知识点梳理一、知识定义邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角命题：判断一件事情的语句叫命题平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点三、定理与性质对顶角的性质：对顶角相等垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行判定2：内错角相等，两直线平行判定3：同旁内角相等，两直线平行三、经典例题题型一　互余与互补例1 一个角的余角比它的补角的少20°.则这个角为（　　　）° 　　　　° 　　　　° 　　　　 °分析　若设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x，于是构造出方程即可求解.解　设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x.则根据题意，得(180°－x)－(90°－x)＝20°.解得：x＝40°.故应选B.说明　处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数，构造方程求解.题型二　平行线的性质与判定例2 判断题：1)不相交的两条直线叫做平行线　　　　　　　　　　　(　　　)2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行　　　　　　(　　　)3)两直线平行，同旁内角相等　　　　　　　　　　　　(　　　)4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等　　　　　　(　　　)答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。

(2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行” (3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ” (4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”例3 已知：如图1，l1∥l2，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　　）° ° ° °分析　要求∠2的度数，由l1∥l2可知∠1+∠2＝180°，于是由∠1＝50°，即可求解.解　因为l1∥l2，所以∠1+∠2＝180°，又因为∠1＝50°，所以∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°.故应选B.说明　本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解.例4 如图2，已知直线l1∥l2，∠1＝40°，那么∠2＝ 度.分析　如图2，要求∠2的大小，只要能求出∠3，此时由直线l1∥l2，得∠3＝∠1即可求解.解　因为l1∥l2，∠1＝40°，所以∠1＝∠3＝40°.又因为∠2＝∠3，所以∠2＝40°.故应填上40°.说明　本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解.图2图1F图3E 图3例5 如图3，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于（　　）° 　°　　　　　°　　　　　°分析　要求∠3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过∠2的顶点作EF∥AB，由有∠1＝∠AEF，∠3＝∠CEF，再由∠1＝30°，∠2＝90°求解.解　如图3，过∠2的顶点作EF∥AB.所以∠1＝∠AEF，又因为AB∥CD，所以EF∥CD，所以∠3＝∠CEF，而∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠3＝90°－30°＝60°.故应选A.　　说明　本题在求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求解.例6 如图4，AB∥CD ，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG＝72°，则∠EGF等于（　　）° °　　 °　 °分析　要求∠EGF的大小，由于AB∥CD ，则有∠BEF+∠EFG＝180°，∠EGF＝∠BEG，而EG平分∠BEF，∠EFG＝72°，所以可以求得∠EGF＝54°.解　因为AB∥CD ，所以∠BEF+∠EFG＝180°，∠EGF＝∠BEG，又因为EG平分∠BEF，∠EFG＝72°，所以∠BEG＝∠FEG＝54°.故应选B.图4BDGFCAE说明　求解有关平行线中的角度问题，只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵活运用对顶角、角平分线等知识就能简洁获解.课堂作业：如图，已知，于D，为上一点，于F，交CA于G.求证.例7 已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED。

分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和如图5，过E点引 一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到证明：过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等） 又∵∠BED=∠1+∠2， ∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）变式1已知：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D）分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质） 又∵∠BED=∠1+∠2， ∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换） ∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）变式2已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠BED=∠FED-∠FEB， ∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）变式3已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠1+∠2+∠D=180° ∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质） ∴∠2=∠B-∠D（等式的性质） 即∠BED=∠B-∠D例8 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE求证：∠BFE=∠FEC证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等） 过E点作EH∥CD ，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等） ∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知）， ∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行） 又∵EH∥CD （已知）， ∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等） ∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质） 即∠BFE=∠FEC证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点 ∵AB∥CD（已知）， ∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等） 又∵∠ABF=∠DCE（已知）， ∴∠1=∠DCE（等量代换）。

∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行） ∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）证法三：（如图12）连结BC ∵AB∥CD（已知）， ∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等） 又∵∠ABF=∠DCE（已知）， ∴∠ABC-∠ABF =∠BCD-∠DCE（等式的性质） 即∠FBC=∠BCE ∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行） ∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）题型三　尺规作图例9 已知角α和线段c如图5所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B＝α，腰长AB ＝c，要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹.图5cαA图6cαcBCP分析　要作等腰三角形ABC，使其底角∠B＝α，腰长AB＝c，可以先作出底角∠B＝α，再在底角的一边截取BA＝c，然后以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C，即得.作法（1）作射线BP，再作∠PBQ＝∠α；（2）在射线BQ上截取BA＝c；（3）以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C；（4）连接AC.则△ABC为所求.如图6.AOBB′O′图7A′D′C′DC例10 如图7，已知∠AOB和射线O′B′，用尺规作图法作∠A′O′B′＝∠AOB（要求保留作图痕迹）.分析　只要再过点O′作一条射线O′A′，使得∠A′O′B′＝∠AOB即可.作法（1）以O为圆心，任意长为半径，画弧，交OA、OB于点C、D；（2）以O′为圆心，同样长为半径画弧，交O′B′于点D′；（3）以D′为圆心，CD长为半径画弧与前弧交于点C′；（4）过点O′C′作一条射线O′A′.如图7中的∠A′O′B′即为所求作.说明　在实际答题时。