第一章-信号及其描述资料.ppt

第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱第四节第四节 随机信号随机信号第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 信号是传递信息的载体，存在于测试系统信号是传递信息的载体，存在于测试系统的各个环节的各个环节 测试过程始于信号，变换信号，处理信号，测试过程始于信号，变换信号，处理信号，分析信号信号大多以分析信号信号大多以时间时间为自变量（例如：加为自变量（例如：加速度、压力、流量），有的则是二维的以空间为速度、压力、流量），有的则是二维的以空间为自变量（例如：图像）自变量（例如：图像）第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述3 3第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类 可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号不能用数学关系式描述的信号称为随机信号（非确定性信不能用数学关系式描述的信号称为随机信号（非确定性信号）4 41.1.确定性信号与随机信号确定性信号与随机信号第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类周期信号：是按一定时间间隔周而复周期信号：是按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号。

始重复出现，无始无终的信号1 1）周期信号）周期信号例如，几种参量的单自由度振动例如，几种参量的单自由度振动系统（见图系统（见图1-11-1））图图1-11-1确定性信号分为周期信号和非周期信号确定性信号分为周期信号和非周期信号5 5第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类（（1 1）周期信号）周期信号周期周期集中参量的单自由度振动系统作无阻尼集中参量的单自由度振动系统作无阻尼自由振动，位移由下式确定：自由振动，位移由下式确定：周周 期：期：圆频率：圆频率：简单周期信号简单周期信号6 6第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述确定信号中那些不具有周期重复性的信号称为非周期信号确定信号中那些不具有周期重复性的信号称为非周期信号其图形如图其图形如图1-21-2所示2 2）非周期信号）非周期信号图图1-21-2瞬变非周期信号：瞬变非周期信号：一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类7 7第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述随机信号随机信号：是一种不能准确预测其未来瞬时值，也无法用：是一种不能准确预测其未来瞬时值，也无法用数学关系式来描述的信号，但是数学关系式来描述的信号，但是具有某些统计特征具有某些统计特征，可以，可以用概率统计的方法来估计。

用概率统计的方法来估计一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类8 82.2.连续信号和离散信号连续信号和离散信号若信号数学表示式中的独立变量取值是连续的，则称为连续若信号数学表示式中的独立变量取值是连续的，则称为连续信号如图信号如图1-3a1-3a所示 若独立变量取离散值，则称为离散若独立变量取离散值，则称为离散信号如图信号如图1-3b1-3b所示图图1-31-3第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类9 93.3.能量信号和功率信号能量信号和功率信号在所分析的区间（在所分析的区间（- ∞ - ∞ ，， ∞ ∞ ）能量为有限值的信号）能量为有限值的信号称为称为能量信号，能量信号，满足条件：满足条件：第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类10103.3.能量信号和功率信号能量信号和功率信号功率信号功率信号 在在所所分分析析的的区区间间（（-∞-∞，，∞∞）），，能能量量不不是是有有限限值值．．此此时，研究信号的平均功率更为合适。

时，研究信号的平均功率更为合适 一般持续时间无限的信号都属于功率信号一般持续时间无限的信号都属于功率信号: :第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类一、信号的分类能量信号能量信号 1111 二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述直接测试或记录到的信号，一般是以时间为独立变量直接测试或记录到的信号，一般是以时间为独立变量的，称其为信号的时域描述如图的，称其为信号的时域描述如图1-41-4所示时域信号不时域信号不能明显揭示能明显揭示信号的频率信号的频率组成关系，组成关系，因此需要将因此需要将信号的时域信号的时域描述变为频描述变为频域描述第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述1212 周期方波的时域描述：周期方波的时域描述：注意：注意：如何读懂频谱图？如何读懂频谱图？（教材（教材P21P21中的表中的表1-11-1））二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述1313图图1-51-5表示的周期表示的周期信号的时域分析和信号的时域分析和频域分析间的关系。

频域分析间的关系图图1-51-5书中书中P21P21的表的表1-11-1比较了方波平移后的幅频和相频谱比较了方波平移后的幅频和相频谱二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述1414第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式在有限区间内，凡满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开在有限区间内，凡满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开称傅里叶级数称傅里叶级数傅里叶级数将信号的时域表示转换为频域傅里叶级数将信号的时域表示转换为频域表示表示）常值分量：常值分量：余弦分量的幅值：余弦分量的幅值：正弦分量的幅值：正弦分量的幅值：周周 期：期：圆频率：圆频率：1515第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱同频项合并：简单的三角函数和的计算同频项合并：简单的三角函数和的计算第第n n次谐波的幅值：次谐波的幅值：第第n n次谐波的初相角：次谐波的初相角：结论：周期信号是由一个或者几个、乃至无穷多个不同频结论：周期信号是由一个或者几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成。

率的谐波叠加而成一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式1616第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱例题例题1 1：周期性三角函数的傅里叶级数展开：周期性三角函数的傅里叶级数展开( (时域到频域的转换时域到频域的转换) )图图1-61-6周期信号表达式：周期信号表达式：一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式1717第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱周期性三角函数的傅里叶级数展开周期性三角函数的傅里叶级数展开( (时域到频域的转换时域到频域的转换) )常值分量：常值分量：余弦分量余弦分量的幅值：的幅值：正弦分量正弦分量的幅值：的幅值：一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式周期性三角函数的幅值谱和相频特性周期性三角函数的幅值谱和相频特性一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱1919第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱二、二、二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复数表达形式（傅里叶级数的复数表达形式（推导推导））：：欧拉公式：欧拉公式：傅里叶级数三角式傅里叶级数三角式Ø Cn：代表：代表n次谐波分量的幅度和相位，是个复数，具有实次谐波分量的幅度和相位，是个复数，具有实部和虚部部和虚部Ø 其中的其中的n取值：取值： -∞到到+ ∞上的整数，代表有复数取值代表上的整数，代表有复数取值代表负频。

复指数函数的傅里叶级数展开，是双边谱特性复指数函数的傅里叶级数展开，是双边谱特性Ø 幅频特性：幅频特性：Ø相频特性：相频特性：Ø 实部频率特性：实部频率特性：Ø 虚部频率特性：虚部频率特性：第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱二、二、二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱二、二、二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数三角展开式和复指数函数展开之间的关系傅里叶级数的复指数表达形式：傅里叶级数的复指数表达形式：第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱二、二、二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式单边频率特性与双边频率特性：单边频率特性与双边频率特性：Ø 复指数展开系数具有共轭对称性：复指数展开系数具有共轭对称性：Ø 双边幅值谱是单边幅值谱的一半。

双边幅值谱是单边幅值谱的一半2323第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱余、正弦函数的频谱图如图余、正弦函数的频谱图如图1-91-9所示图图1-91-9二、二、二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式2424第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱周期信号的频谱具有三个特点：周期信号的频谱具有三个特点：1 1））离散性离散性：周期信号的频谱是离散的周期信号的频谱是离散的2 2））谐波性谐波性：每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，：每条谱线只出现在基波频率的整数倍上， 基波频率是诸分量频率的公约数基波频率是诸分量频率的公约数3 3））收敛性收敛性：谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高：谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高 而减小而减小二、二、二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式频谱图的概念频谱图的概念( (重要重要) ) 第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以 f fn n (ω(ω0 0) )为横坐标，为横坐标，b bn n 、、a an n为纵坐标画图，称为实频－虚频为纵坐标画图，称为实频－虚频谱图。

谱图图例图例二、二、二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式二、二、二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式以频率为横坐标，以频率为横坐标，An、、 为纵坐标画图，则称为为纵坐标画图，则称为幅值－相位谱幅值－相位谱第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱二、二、二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式以以fn为横坐标，为横坐标， 为纵坐标画图，则称为功率谱为纵坐标画图，则称为功率谱 第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱例例2 2 分分析析周周期期方方波波的的频频谱谱，，该该方方波波信信号号的的时时域域描描述述如图所示如图所示第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱解解：：由由三三角角傅傅里里叶叶级级数数求求周周期期方方波波的的频频域域描描述述如如图图可可知知此此信信号号为为奇奇函函数数，，由由偶偶函函数数和和奇奇函函数数的的傅傅里里叶级数定理可得：叶级数定理可得： 二、二、二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱根据上述两点可知，即此周期方波信号完全由正弦根据上述两点可知，即此周期方波信号完全由正弦分量所组成，其各次正弦波的幅值：分量所组成，其各次正弦波的幅值：二、二、二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱此方波展开的傅里叶级数如下：此方波展开的傅里叶级数如下： 它不含它不含常值常值分量且仅含奇次谐波。

它的两个序列为：分量且仅含奇次谐波它的两个序列为：二、二、二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱周期方波的频谱图周期方波的频谱图二、二、二、二、 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式3232周期信号的强度以峰值、绝对均值、有效值和平均功率周期信号的强度以峰值、绝对均值、有效值和平均功率来表述第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述峰峰 值：值：峰峰- -峰峰 值：值：绝对均值：绝对均值：有有 效效 值：值：平均功率：平均功率：3333周期信号强度计算方法周期信号强度计算方法第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述峰峰 值：值：峰峰- -峰值：在一个周期中最大瞬时值与最小瞬时值之差。

峰值：在一个周期中最大瞬时值与最小瞬时值之差绝对均值：绝对均值：有有 效效 值：值：平均功率：平均功率：第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述实验：方波信号的合成与分解实验：方波信号的合成与分解　　实验：和弦铃声的合成第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述3636第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号图图1-11a1-11a为矩形脉冲信号，为矩形脉冲信号，图图1-11b1-11b为指数衰减信号，为指数衰减信号，图图1-11c1-11c为衰减振荡，为衰减振荡，图图1-11d1-11d为单一脉冲为单一脉冲图图1-111-11一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFTFTFT））））考虑到：考虑到：T0→∞，，ω0→无穷小，记无穷小，记为为dω；； k ω0 → ω（由（由离散量变为连续离散量变为连续量），而量），而同时，同时，∑ →∫第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFTFTFT））））第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFTFTFT））））已知已知傅里叶反变换式傅里叶反变换式于是，于是，傅里叶变换式傅里叶变换式“- -”一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFTFTFT））））第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱4040第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱信号的傅里叶变换（信号的傅里叶变换（FTFT））信号的傅里叶逆变换信号的傅里叶逆变换(IFT)(IFT)　　傅里叶变换是用来建立信号的时域描述和频域　　傅里叶变换是用来建立信号的时域描述和频域描述一一对应关系的工具。

描述一一对应关系的工具　　　　X(ω)称为称为x(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，，简称简称频谱频谱　　　　x(t)称为称为X(ω)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFTFTFT））））也可简记为也可简记为或或 x(t) ←→X(ω)üX(ω)是一个是一个密度函数密度函数的概念的概念üX(ω) 是一个是一个连续谱连续谱üX(ω) 包含了包含了从零到无限高从零到无限高频的所有频率分量频的所有频率分量ü各频率分量的频率各频率分量的频率不成谐波不成谐波关系关系●非周期信号非周期信号FT的物理意义的物理意义一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFTFTFT））））第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱X(ω)一般是复函数，写为一般是复函数，写为说明：说明： 前面推导并未遵循严格的数学步骤前面推导并未遵循严格的数学步骤X(ω)|~ω幅度谱幅度谱  (ω)~ω相位谱相位谱　　非周期信号的幅度频谱是频率的连续函数，　　非周期信号的幅度频谱是频率的连续函数，其形状与相应周期信号频谱的包络线相同。

其形状与相应周期信号频谱的包络线相同 一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFTFTFT））））第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱4343求矩形窗函数的频谱，函数如图求矩形窗函数的频谱，函数如图1-121-12所示第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱图图1-121-12一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFTFTFT））））4444sinc θ的图像如图的图像如图1-13所示第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱图图1-131-13一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFTFTFT））））实验：典型信号的频谱分析　实验：典型信号的频谱分析　第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFTFTFT））））频谱分析的应用频谱分析的应用 频频谱谱分分析析主主要要用用于于识识别别信信号号中中的的周周期期分分量量，，是是信信号号分分析析中中最最常用的一种手段。

常用的一种手段案例：案例：在齿轮箱故障诊断在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障机床转速和传动链，找出故障齿轮案例：案例：螺旋浆设计螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围螺旋浆转速工作范围第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（一、傅里叶变换（FTFTFTFT））））47471.1.奇偶虚实性奇偶虚实性第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质 一个信号的时域描述和频域描述依靠傅里叶变换来确一个信号的时域描述和频域描述依靠傅里叶变换来确立彼此一一对应的关系立彼此一一对应的关系时时 域域频频 域域实偶函数实偶函数实偶函数实偶函数实奇函数实奇函数虚奇函数虚奇函数虚偶函数虚偶函数虚偶函数虚偶函数虚奇函数虚奇函数实奇函数实奇函数48482.2.线性叠加性线性叠加性第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质49493.3.对称性对称性第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱图图1-141-14若若则则利用已知的傅里叶变换对即利用已知的傅里叶变换对即可得出相应的变换对。

可得出相应的变换对二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质50504.4.时间尺度改变特性时间尺度改变特性第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱图图1-151-15若若则则当时间尺度压缩当时间尺度压缩(k>1)时，频谱的频时，频谱的频带加宽、幅值降低；带加宽、幅值降低；当时间尺度扩展当时间尺度扩展(k<1)时，其频谱变时，其频谱变窄、幅值增高窄、幅值增高二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质51515.5.时移和频移特性时移和频移特性第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱若若则则时移特性时移特性频移特性频移特性 （（1 1）将信号在时域中平移，其幅频谱不变，而）将信号在时域中平移，其幅频谱不变，而相频中相角的改变量和频率成正比相频中相角的改变量和频率成正比证明时移特性：证明时移特性： FT [ x (t – t0 ) ] 二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质 （（2 2）左侧是时域信号与正、余弦信号之和的乘）左侧是时域信号与正、余弦信号之和的乘积积证明频移特性：证明频移特性： IFT [ x (t – t0 ) ] 第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质6.6.卷积特性卷积特性第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱若若则则卷积的定义：卷积的定义：二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质 卷积积分在测试中是一个十分重要的概念。

特别是关于信卷积积分在测试中是一个十分重要的概念特别是关于信号的时域与频域分析，号的时域与频域分析，它是沟通时域它是沟通时域————频域的一个桥梁频域的一个桥梁 时域卷积定理时域卷积定理频域卷积定理频域卷积定理5454时域卷积特性证明时域卷积特性证明第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质按照定义按照定义 时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，既在时间域中两信号的个时间函数频谱的乘积，既在时间域中两信号的卷积，等效于在频域中频谱中相乘卷积，等效于在频域中频谱中相乘 55557.7.微分和积分特性微分和积分特性第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱若若则则 在振动测试在振动测试中，如果测得振中，如果测得振动系统的位移、动系统的位移、速度或加速度中速度或加速度中之任一参数，应之任一参数，应用微分、积分特用微分、积分特性就可以获得其性就可以获得其他参数的频谱。

他参数的频谱二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质二、傅里叶变换的主要性质56561.1.矩形窗函数的频谱矩形窗函数的频谱第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱幅值谱幅值谱相位谱相位谱主瓣主瓣旁瓣旁瓣57572. δ函数及其频谱函数及其频谱第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱(1) δ函数的定义：在很短的时间内激发一个矩阵函数的定义：在很短的时间内激发一个矩阵脉冲，其面积为脉冲，其面积为1，当时间长度趋近于，当时间长度趋近于0时，矩形脉时，矩形脉冲的极限就称为冲的极限就称为δ函数图图1-161-16从极限值看从极限值看：：从强度角度看从强度角度看：：三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱(2) δ函数的采样性质函数的采样性质任一信号任一信号 与与 相乘的广义积分等于此信相乘的广义积分等于此信号在零点处的函数值号在零点处的函数值 。

任任一一信信号号与与具具有有向向左左或或向向右右时移移t t0 0的的单位位脉脉冲冲信信号号 乘乘积的的广广义积分分等等于于在在 点点处的的函函数数值 ，，此性质对连续函数的采样十分重要此性质对连续函数的采样十分重要第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱5959第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱图图1-171-17(3) δ函数的卷积函数的卷积三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱6060第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱(4) δ函数的频谱函数的频谱傅里叶变换：傅里叶变换：三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱时域时域频域频域δ(t)(脉冲信号)1(均值频谱密度函数)1(直流信号)δ(f)(在f=0处有脉冲谱线)δ(t-t0)(δ函数时移t0)e-j2Πft0(各频率成份分别相移2Πft0)ej2Πft0(复指数函数)δ(f-f0)(将δ(f)频移到f0) 根据傅立叶变换的对称性和时移、频移性质，根据傅立叶变换的对称性和时移、频移性质，可得到如下变换对可得到如下变换对 对对线线性性系系统统来来说说，，系系统统的的输输出出是是任任意意输输入入与与系系统统脉脉冲冲响响应应函函数数的的卷卷积积。

在在单单位位脉脉冲冲输输入入时时，，其其输输出出中中必必定定包包含含有有对对所所有有频频率率的的响响应应δδ( (t t) )频频谱谱的的均均匀匀性性在在各各种种机机械械结结构构的的动动态态性性能能试试验验中中得得到到广广泛泛的的应应用用工工程程中中，，我我们们经经常常使使用用钢钢球球或或榔榔头头来来敲敲击击机机械械结结构构，，在在此此冲冲击击力力的的作作用用下下，，机机械械结结构构的的各各部部分分会会相相应应地地产产生生振振动动，，此此振振动动中中含含有有在在一一定定频频率率宽宽度度上上对对各各频频率率激激振振分分力力的的响响应应如如果果我我们们测测出出了了此此振振动动响响应应，，就就知知道道了了机机械械结结构构的的频频率率特特性性，，这这就就是是我我们们通通常常所所说说的的脉脉冲冲激振试验法激振试验法第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱63633 3、、 正、余弦函数的频谱正、余弦函数的频谱第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱由由有有三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱两侧求傅里叶变换：两侧求傅里叶变换：64644 4、、 周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列的频谱第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱图图1-201-20梳状函数：梳状函数：三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱式中，式中，Ts周期脉冲的周期。

周期脉冲的周期是周期信号，所以可由傅里叶级数展开为是周期信号，所以可由傅里叶级数展开为 其中：其中：将上式傅里叶级数展开式，有：将上式傅里叶级数展开式，有：第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱频谱：频谱：根据傅里叶变换的频移特性可求得它的频谱：根据傅里叶变换的频移特性可求得它的频谱：图2-16 周期单位脉冲信号的频谱图周期单位脉冲信号的频谱图仍然是一个周期脉冲，其频域周期周期单位脉冲信号的频谱图仍然是一个周期脉冲，其频域周期fsfs为时域周期为时域周期TsTs的倒数，各脉冲的强度也为时域周期的倒数，各脉冲的强度也为时域周期TsTs的倒数第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱6767第四节第四节 随机信号随机信号一、概述一、概述一、概述一、概述 随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。

服从统计规律随机过程随机过程平稳过程平稳过程非平稳过程非平稳过程各态历经随机过程各态历经随机过程6868第四节第四节 随机信号随机信号一、概述一、概述一、概述一、概述图图1-211-21单个样本函数：单个样本函数：随机过程随机过程：在同一试验条件下，全部样本函数：在同一试验条件下，全部样本函数的集合就是随机过程，记作的集合就是随机过程，记作6969第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数1 1）） 均值、方差和均方值均值、方差和均方值2 2）） 概率密度函数概率密度函数3 3）） 自相关函数自相关函数4 4）） 功率谱密度函数功率谱密度函数 信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参数读取特征参数 第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数信号波形图信号波形图AtT PPp-p周期周期T T，频率，频率f=1/Tf=1/T峰值峰值P P峰峰值峰峰值P Pp-pp-p72721 1、、 均值、方差和均方值均值、方差和均方值第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数Ø均值表示均值均值表示均值E[x(t)]E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。

表示集合平均值或数学期望值 均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量为直流分量7373第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数Ø方差描述随机信号的波动分量方差描述随机信号的波动分量大方差大方差 小方差小方差 方差：反映了信号绕均值的波动程度方差：反映了信号绕均值的波动程度 标准差标准差7474第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数Ø均方值描述信号的均方值均方值描述信号的均方值E[x2(t)]E[x2(t)]，表达了信号，表达了信号的强度；其正平方根值的强度；其正平方根值 ，又称为有效值，又称为有效值(RMS)(RMS)，也是信号平均能量的一种表达也是信号平均能量的一种表达 均值、方差、和均方值的相互关系：均值、方差、和均方值的相互关系：第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数76762 2、、 概率密度函数概率密度函数第四节第四节 随机信号随机信号随机信号的概率密度函数是表示信号幅值落在指定随机信号的概率密度函数是表示信号幅值落在指定区间的概率。

如图区间的概率如图1-221-22所示图图1-221-22二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数77772 2、、 概率密度函数概率密度函数第四节第四节 随机信号随机信号如图如图1-221-22中，落在区间内的时间为：中，落在区间内的时间为：幅值落在区间的概率：幅值落在区间的概率：概率密度函数的定义：概率密度函数的定义：二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数78782 2、、 概率密度函数概率密度函数第四节第四节 随机信号随机信号直方图：直方图：以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的频次为纵坐标进行统计分析的一种方法现的频次为纵坐标进行统计分析的一种方法直方图直方图概率密度函数概率密度函数 归一化归一化二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数79792 2、、 概率密度函数概率密度函数第四节第四节 随机信号随机信号概率密度函数的性质：概率密度函数的性质：二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数 概率密度函数概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息，提供了随机信号幅值分布的信息，是随机信号的主要特征参数之一。

是随机信号的主要特征参数之一80802 2、、 概率分布函数概率分布函数第四节第四节 随机信号随机信号 概率分布函数是信号幅值小于或等于某值概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R R的的概率，其定义为：概率，其定义为： 概率分布函数又称之为累积概率，表示了落概率分布函数又称之为累积概率，表示了落在某一区间的概率在某一区间的概率 二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数8181第四节第四节 随机信号随机信号常见的四种随机信号如图常见的四种随机信号如图1-231-23所示图图1-231-23 正弦信号、正弦信号加随机噪声、窄带随机正弦信号、正弦信号加随机噪声、窄带随机信号、宽带随机信号的概率密度函数信号、宽带随机信号的概率密度函数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数82822 2、、 概率分布函数概率分布函数第四节第四节 随机信号随机信号二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数8383第四节第四节 随机信号随机信号三、三、三、三、 样本参数、参数估计和统计采样误差样本参数、参数估计和统计采样误差样本参数、参数估计和统计采样误差样本参数、参数估计和统计采样误差 对于时间平均估计对于时间平均估计来说，随机误差还与信来说，随机误差还与信号的频带宽度的平方根号的频带宽度的平方根成反比，成反比，信号频带愈宽，信号频带愈宽，愈容易获得误差小的估愈容易获得误差小的估计计。

估计值的统计采样估计值的统计采样误差如图误差如图1-241-24所示图图1-241-24 随机信号特征参数分析就是由有限样本获取样本随机信号特征参数分析就是由有限样本获取样本参数，然后以样本参数作为随机信号特征参数的估计参数，然后以样本参数作为随机信号特征参数的估计值，带来的误差称为值，带来的误差称为统计采样误差统计采样误差第四节第四节 随机信号随机信号三、三、三、三、 样本参数、参数估计和统计采样误差样本参数、参数估计和统计采样误差样本参数、参数估计和统计采样误差样本参数、参数估计和统计采样误差均方误差：均方误差：第四节第四节 随机信号随机信号三、三、三、三、 样本参数、参数估计和统计采样误差样本参数、参数估计和统计采样误差样本参数、参数估计和统计采样误差样本参数、参数估计和统计采样误差时间平均估计：时间平均估计：集合平均估计：集合平均估计：★★1 1、周期性信号的傅里叶级数展开（、周期性信号的傅里叶级数展开（3 3个公式）个公式）★★2 2、非周期信号的傅里叶变换公式、非周期信号的傅里叶变换公式（正、反变换公式）（正、反变换公式）★★3 3、傅里叶变换的性质、傅里叶变换的性质4 4、随机信号的特征参数及其物理意义、随机信号的特征参数及其物理意义本章小结本章小结习题解析习题解析周期性三角函数的复指数傅里叶级数展开周期性三角函数的复指数傅里叶级数展开周期信号表达式：周期信号表达式：习题1 习题解析习题解析习题1 习题解析习题解析习题1 习题解析习题解析习题1 习题1 周期性三角函数的双边幅值谱和相频特性周期性三角函数的双边幅值谱和相频特性习题解析习题解析周期性三角函数的幅值谱和相频特性周期性三角函数的幅值谱和相频特性周期性三角函数的双边幅值谱和相频特性周期性三角函数的双边幅值谱和相频特性习题1 习题解析习题解析频谱图的概念频谱图的概念( (重要重要) ) 工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以 f fn n (ω(ω0 0) )为横坐标，为横坐标，b bn n 、、a an n为纵坐标画图，称为实频－虚频为纵坐标画图，称为实频－虚频谱图。

谱图图例图例习题解析习题解析以频率为横坐标，以频率为横坐标，An、、 为纵坐标画图，则称为为纵坐标画图，则称为幅值－相位谱幅值－相位谱习题解析习题解析以以fn为横坐标，为横坐标， 为纵坐标画图，则称为功率谱为纵坐标画图，则称为功率谱 习题解析习题解析图示示为一存在一存在质量不平衡的量不平衡的齿轮传动系系统，，大、中、小大、中、小齿轮的的齿数分数分别为40,20,1040,20,10大齿轮为输入入轴，，转速速为600r/min600r/min，若在，若在齿轮箱机壳上箱机壳上测得的振得的振动信号信号频谱如下所示：如下所示： 试判断哪一个齿轮轴存在质量不平衡问题？试判断哪一个齿轮轴存在质量不平衡问题？ 习题解析习题解析习题1 频谱分析的应用频谱分析的应用 频频谱谱分分析析主主要要用用于于识识别别信信号号中中的的周周期期分分量量，，是是信信号号分分析析中中最最常用的一种手段常用的一种手段案例：案例：在齿轮箱故障诊断在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障机床转速和传动链，找出故障齿轮。

齿轮案例：案例：螺旋浆设计螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围螺旋浆转速工作范围习题解析习题解析习题1 习题解析习题解析习题1 转子不平衡的典型故障特征为工频突出转子不平衡的典型故障特征为工频突出齿数为齿数为40的大齿轮为输入轴，转频的大齿轮为输入轴，转频600r/min，即工频为，即工频为10Hz；；根据相互啮合的齿轮转速与齿数成反比的关根据相互啮合的齿轮转速与齿数成反比的关系，可知齿数为系，可知齿数为20的中齿轮，工频为的中齿轮，工频为20Hz；齿数为；齿数为10的小齿轮，工频为的小齿轮，工频为40Hz由频谱图可知，由频谱图可知，40Hz的频率成分最为突出，的频率成分最为突出，故小齿轮轴存在转子不平衡的问题故小齿轮轴存在转子不平衡的问题分析：分析： 谱阵分析：设备启谱阵分析：设备启/ /停车变速过程分析停车变速过程分析 。