线性系统的稳定性分析(精品).doc

第三章 线性系统的稳定性分析3.1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的否则，系统不稳定一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。

3.2 外部稳定性与内部稳定性3.2.1 外部稳定：考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u（t），即满足条件：的输入u（t），所产生的输出y（t）也是有界的，即使得下式成立：则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO（Bounded Input Bounded Output）稳定注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的系统外部稳定的判定准则系统的BIBO稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别a) 时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统，设为脉冲响应矩阵，则系统BIBO稳定的充要条件是，存在一个有限常数k，使对于一切的每一个元即，是绝对可积的b) 定常情况下的判定准则： 对于零初始条件的线性定常系统，初始时刻t0=0,G(t)为脉冲响应矩阵，G(s)为传递函数矩阵，则系统BIBO稳定的充要条件是，存在一个有限常数k，G(t)的每一个元当G(s)为真的有理分式函数矩阵时，G(s)的每一个传递函数g（s）的所有零极点都具有负实部对于一个定常线性系统，其传递函数矩阵为：因此，只要满足系统的全部特征根具有负实部根，则系统是BIBO稳定的。

3.2.2 内部稳定性对于线性定常系统如果外部输入u（t）为0，初始状态x0为任意，且由x0引起的零输入响应满足：则称系统实内部稳定的，或称为是渐进稳定的判定准则：对于系统，其解为因此，对于上面所列的状态空间表达，它的渐进稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值具有负实部3.2.3 内部稳定性和外部稳定性之间的关系对线性定常系统的内部稳定和外部稳定的等价关系，得出如下结论：1. 线性定常系统是内部稳定的，则其必为BIBO稳定的2. 线性定常系统是BIBO稳定的，不一定就是内部稳定的3. 线性定常系统是能控制和能观测的，则其内部稳定性和BIBO稳定是等价的图3.1 外部稳定与内部稳定的关系 3.3 Lyapunov意义下的稳定性问题对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法反过来，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。

李雅普诺夫稳定分析法是确定时变系统和非线性系统的稳定性更一般的方法，这种方法可以在无需求解状态方程的条件下，确定系统的稳定性3.3.1 基本概念a) 平衡状态忽略输入后，非线性时变系统的状态方程： 为n维状态向量；t为时间变量； 为n维函数），其展开式为： 如果对于所有t，满足 的状态xe称为平衡状态（又称为平衡点）如果系统是线性定常的，也就是说，则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在）任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动都可通过坐标变换，统一化为扰动方程之坐标原点，即或在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点()处之平衡状态的稳定性问题这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化，而不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为鉴于线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。

对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑b) 李雅普诺夫稳定性如果对于任意小的e > 0，均存在一个，当初始状态满足时，系统运动轨迹满足lim，则称该平衡状态xe 是李雅普诺夫意义下稳定的设系统初始状态x0位于平衡状态xe为球心、半径为δ的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于以xe为球心，半径为ε的闭球域内c) 一致稳定性 通常δ与e、t0 都有关如果δ与t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的定常系统的δ与t0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的d) 渐进稳定性 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有 称此平衡状态是渐近稳定的这时，从 出发的轨迹不仅不会超出，且当时收剑于xe或其附近c) 大范围稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的此时，，，对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。

非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定d) 不稳定性不论δ取得得多么小，只要在内有一条从x0 出发的轨迹跨出，则称此平衡状态是不稳定的实际上，渐近稳定性比纯稳定性更重要考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间换句话说，发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难然而，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了图3.2 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹图3.2（a）、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定性的典型轨迹在图3.2(a)、(b)和(c)中，域S（d）制约着初始状态，而域S(e）是起始于的轨迹的边界 注意，由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除非S(e)对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。

此外，在图5.2（c）中，轨迹离开了S(e），这说明平衡状态是不稳定的然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在S(e）外的某个极限环（如果线性定常系统是不稳定的，则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远但在非线性系统中，这一结论并不一定正确）上述各定义的内容，对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析，是最低限度的要求注意，这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法实际上，在其他文献中还有另外的定义对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定但对于非线性系统，一般只考虑吸引区为有限的定范围的渐近稳定最后指出，在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统两者的区别与联系如下表所示经典控制理论(线性系统）不稳定 (Re(s)>0)临界情况 (Re(s)=0)稳定 (Re(s)<0)Lyapunov意义下不稳定稳定渐近稳定3.3.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法是通过系统矩阵A的特征值来判断系统的稳定性的，其主要内容:(1)用一次近似表达式表达状态方程，即，假如系统矩阵Ade全部特征值具有负实部，则系统在平衡点处是稳定的，而且稳定性与高阶导数无关。

2）如果在一次近似式的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正实部时，无论高阶导数的情况如何，系统在平衡点处不稳定3）如果在一次近似式的系统矩阵A的特征值中有零特征值，系统的稳定性要有高阶导数决定当高阶导数为零时，系统处于临界稳定状态3.3.3 标量函数的正定性定义正定性：标量函数在域S中对所有非零状态有且，称在域S内正定如是正定的负定性：标量函数在域S中对所有非零x有且，称在域S内负定如是负定的如果是负定的，-则一定是正定的负（正）半定性：，且在域S内某些状态处有，而其它状态处均有（），则称在域S内负（正）半定设为负半定，则为正半定如为正半定不定性：在域S内可正可负，则称不定如是不定的关于正定性的提法是：标量函数在域S中，对于及所有非零状态有,且，则称在域S内正定的其它定号性提法类同二次型函数是一类重要的标量函数，记 （1）其中，为对称矩阵，有显然满足，其定号性由赛尔维斯特准则判定当的各顺序主子行列式均大于零时，即 （2）为正定矩阵，则正定当的各顺序主子行列式负、正相间时，即 （3）为负定矩阵，则负定若主子行列式含有等于零的情况，则为正半定或负半定。

不属以上所有情况的不定3.3.4 李雅普诺夫第二法由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小（这意味着总能量对时间的导数必然是负定的），直到平衡状态时为止，则振则系统是稳定的Lyapunov第二法是建立在更为普遍的情况之上的，即：如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止然而对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法为了克服这个困难，Lyapunov引出了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov函数当然，这个函数无疑比能量更为一般，并且其应用也更广泛实际上，任一纯量函数只要满足Lyapunov稳定性定理的假设条件，都可作为Lyapunov函数Lyapunov函数与和t有关，我们用或者来表示Lyapunov函数如果在Lyapunov函数中不含t,则用或表示在Lyapunov第二法中，和其对时间的导数的符号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不必直接求出方程的。