法向量在高中立体几何题中的几点应用.doc
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向量在高中立体几何中的几点应用昭通一中 毛孝宗高中立体几何中经常需要计算有关距离（点到线的距离、点到平面的距离、异面直线间的距离）和空间角（线线夹角、线面夹角、面面夹角）即“三大距离”与“三大角”， 传统方法解决这些问题时，应遵循“一作（或找）、二证、三求解”这一步骤，关键是作出垂线段和角用向量法求解“三大距离”，其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线（或面）的一个法（或公垂）向量上的投影，也即数量积的直接应用三大角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，学生太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那学习就会水到渠成！特别是近几年高考中这些问题频繁出现，为了更好地理解和解决上述问题现将常用的与向量有关知识点列举如下：⑴ ⑵ ⑶平面的法向量的定义：直线 ，取直线的方向向量，那么向量叫做平面的一个法向量⑷射影的定义：已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点A在上的射影，作点B在上的射影，则叫做向量在轴上或在方向上的正射影，简称射影。
可以证明：同样，设是同方向的向量，则可以证明在上的射影：※）⑸设是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，所以基于以上事实，运用法向量来解决一些距离和空间角的问题，有以下几个结论可以应用:⑹定义：是两条异面直线，向量所在的直线同时垂直于，那么向量叫做的公垂向量结论1：是两条异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离，则※）空间中的三大角与三大基本距离的计算，都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中，体现在这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓尽致”，而又不失自然！这给“立体几何” 中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！【例1】已知M，N分别是棱长为1的正方体的棱和的中点，求：异面直线MN与间的距离分析及解】本题需要找出异面直线与的公垂线段,比较麻烦,可以考虑用法向量来解答：以D为原点,DA,DC,DD1分别为X、Y、Z轴建立如图1的空间直角坐标系，则，由于M、N是的中点，则，从而，，设与都垂直的方向向量为，则ABCDA1B1D1C1MNxzy图1即即，不妨设，所以异面直线MN与CD1间的距离为 结论2：设为平面的法向量，是经过面的一条斜线，，则点到平面的距离。
例2】如图2，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，，求三棱锥的体积V分析及解】 该题需要求点到平面的距离，按传统方法，需要过点作平面的垂线段，比较麻烦,可以考虑用法向量来解答：以D为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，， ，∴， ∴，所以，ABCDA1B1D1C1Exy图2FzG设平面 的法向量为，由得，，不妨设 ，∴点到平面的距离，∴，即为所求 结论3：直线是平面的一条斜线，为平面的法向量，则直线与平面所成角或例3】如图3，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G求与平面ABD所成角的大小结果用反三角函数表示）【分析及解】本题按传统方法，需要作 在平面ABD上的射影，比较复杂，若用法向量来解，则可简化问题：以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，， ∴，，，，GADC1B1A1CBxyzE图图3∵ 点E在平面ABD上的射影是的重心G，∴ 平面ABD，∴，解得 ，∴，，∵ 平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量；由，得，∴与平面ABD所成的角为，即 。
评析：因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足结论4：若，分别为平面，的法向量，则二面角的平面角或例4】如图4，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，求二面角的大小分析及解】依题意，需要在平面与平面各取一条直线与垂直且相交，从而找出二面角的平面角，比较麻烦，若取BC的中点O，连AO，由题意平面平面，，∴平面，以O为原点，建立如图4所示空间直角坐标系，则，，，，∴，，，BzOCxyB1C1A1AD图4 由题意平面ABD，∴为平面ABD的法向量设平面的法向量为，则，∴，∴即 ，不妨设，由，得故所求二面角的大小为评析：此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而误认为所求二面角为，其实不然，二面角仍为因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，或通过判断法向量的方向来确定取“相等角”或取“补角”通过上面例题可以看出：法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，在利用法向量后变得思路清晰且规范；在立体几何的问题解决中越来越显示出它的优越性和灵活性，也越来越广泛地被广大师生所青睐和重视。
随着新课程改革的进行，向量的应用将会更加广泛，特别是在高考中，用向量法来解立体几何题，更能显示出它的作用第77页。
