A51定积分的概念与性质ppt课件.ppt

§5.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质0 定积分的概念定积分的概念0 微积分基本公式微积分基本公式0 定积分计算方法定积分计算方法第五章第五章 定积分定积分abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）一、问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．曲边梯形面积．（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．分过程求得路程的精确值．（（1〕分割〕分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（（2〕求和〕求和（（3〕取极限〕取极限路程的精确值路程的精确值二、定积分的定义定义定义被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：定理定理1 1定理定理2 2存在定理曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值定积分的几何意义几何意义：几何意义：例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解证明证明利用对数的性质得利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得故故五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：２．定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值——定积分定积分求近似以直〔不变〕代曲〔变）求近似以直〔不变〕代曲〔变）取极限取极限思考题思考题将和式极限：将和式极限：表示成定积分表示成定积分.思考题解答思考题解答原式原式练练 习习 题题练习题答案练习题答案对定积分的补充规定对定积分的补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．在，且不考虑积分上下限的大小．三、定积分的性质证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1证证性质性质2 2补充：不论补充：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.例例 假设假设（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）那么那么性质性质3 3证证性质性质4 4性质性质5 5解解令令于是于是性质性质5 5的推论：的推论：证证（（1））证证说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的.性质性质5 5的推论：的推论：（（2））证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6解解解解例例. 试证试证:证证: 设设则在上 , 有即故即解解于是于是证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7〔定积分中值定理）〔定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：说明说明:• 可把故它是有限个数的平均值概念的推广.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 • 积分中值定理对因例例. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度. 解解: 已知自由落体速度已知自由落体速度为为故所求平均速度例 求f(x)=x2在[0，1]上的平均值。

解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使１．定积分的性质１．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）２．典型问题２．典型问题（１〕估计积分值；（１〕估计积分值；（２〕不计算定积分比较积分大小．（２〕不计算定积分比较积分大小．二、小结思考题思考题思考题解答思考题解答例例练练 习习 题题练习题答案练习题答案。