课时分层作业20两个向量的数量积.pdf

课时分层作业 20 两个向量的数量积  第 2 页 课时分层作业(二十) 两个向量的数量积 (建议用时：45 分钟) [基础达标练] 1．若非零向量 a，b 满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则 a 与 b 的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° C [∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0， 即 2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝0，而|a|＝|b|， ∴2cos〈a，b〉＋1＝0，∴cos〈a，b〉＝－12. 又〈a，b〉∈[0°，180°]， ∴〈a，b〉＝120°，选 C.] 2．在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，下列结论不正确的是( ) A.AB→＝－C1D1→ B．AB→·BC→＝0 C.AA1→·B1D1→＝0 D．AC1→·A1C→＝0 D [如图，AB→∥C1D1→，AB→⊥BC→，AA1→⊥B1D1→，故 A，B，C 选项均正确．] 3．如图 3-1-29 所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是 BC 的中点，那么 ( ) 【导学号：33242258】 图 3-1-29 A.AE→·BC→＜AE→·CD→ B.AE→·BC→＝AE→·CD→ C.AE→·BC→＞AE→·CD→ D.AE→·BC→与AE→·CD→不能比较大小 C [因为 E 是 BC 的中点，AB＝AC，故AE→⊥BC→，即AE→·BC→＝0.不妨设空 第 3 页 间四边形的各边和对角线长均为 1，且AB→，AC→，AD→的夹角为 60°，则AE→·CD→＝12(AB→＋AC→)·(AD→－AC→)＝12(AB→·AD→－AB→·AC→＋AC→·AD→－AC→·AC→)＝－14＜0， 故选 C.] 4．已知 a，b 是异面直线，且 a⊥b，e1，e2分别为取自直线 a，b 上的单位向量，且 a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数 k 的值为( ) A．－6 B．6 C．3 D．－3 B [由 a⊥b，得 a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0， ∵e1·e2＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.] 5．已知 a、b 是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且 AB＝2，CD＝1，则 a 与 b 所成的角是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° C [AB→＝AC→＋CD→＋DB→， ∴AB→·CD→＝(AC→＋CD→＋DB→)·CD→ ＝AC→·CD→＋CD→2＋DB→·CD→＝0＋12＋0＝1， 又|AB→|＝2，|CD→|＝1. ∴cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|AB→||CD→|＝12×1＝12. ∴a 与 b 所成的角是 60°.] 6． 已知向量 a， b 满足|a|＝1， |b|＝2， 且 a 与 b 的夹角为π3， 则|a＋b|＝________. 【导学号：33242259】 7 [|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝1＋2×1×2×cosπ3＋22＝7， ∴|a＋b|＝ 7.] 7．设向量 a 与 b 互相垂直，向量 c 与它们构成的角都是 60°，且|a|＝5，|b| 第 4 页 ＝3，|c|＝8，那么(a＋3c)·(3b－2a)＝________；(2a＋b－3c)2＝________. －62 373 [(a＋3c)·(3b－2a)＝3a·b－2a2＋9c·b－6a·c＝3|a||b|cos 90°－2|a|2＋9|c||b|cos 60°－6|a||c|cos 60°＝－62；(2a＋b－3c)2＝4a2＋b2＋9c2＋4a·b－12a·c－6b·c＝4|a|2＋|b|2＋9|c|2＋4|a||b|cos 90°－12|a||c|cos 60°－6|c|·|b|cos 60°＝373.] 8．如图 3-1-30 所示，在一个直二面角 α-AB-β 的棱上有两点 A，B，AC，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于 AB 的线段，且 AB＝4，AC＝6，BD＝8，则 CD＝________. 图 3-1-30 2 29 [∵CD→＝CA→＋AB→＋BD→＝AB→－AC→＋BD→，∴CD→2＝(AB→－AC→＋BD→)2＝AB→2＋AC→2－2AB→·AC→＋BD2→＋2AB→·BD→－2AC→·BD→＝16＋36＋64＝116，∴|CD→|＝2 29.] 9．如图 3-1-31 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且 PA＝AB＝BC＝12AD＝1，求 PB 与 CD 所成的角. 【导学号：33242260】 图 3-1-31 [解] 由题意知|PB→|＝ 2， |CD→|＝ 2，PB→＝PA→＋AB→，DC→＝DA→＋AB→＋BC→， ∵PA⊥平面 ABCD， ∴PA→·DA→＝PA→·AB→＝PA→·BC→＝0， ∵AB⊥AD，∴AB→·DA→＝0， ∵AB⊥BC，∴AB→·BC→＝0， ∴PB→·DC→＝(PA→＋AB→)·(DA→＋AB→＋BC→) ＝AB→2＝|AB→|2＝1，又∵|PB→|＝ 2，|CD→|＝ 2，  第 5 页 ∴cos〈PB→，DC→〉＝PB→·DC→|PB→||DC→|＝12× 2＝12， ∴〈PB→，DC→〉＝60°，∴PB 与 CD 所成的角为 60°. 10．已知空间四边形 OABC 中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且 OA＝OB＝OC.M、N 分别是 OA、BC 的中点，G 是 MN 的中点． 求证：OG⊥BC. [证明] 连接 ON， 设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， 又设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c， 则|a|＝|b|＝|c|. 又OG→＝12(OM→＋ON→) ＝1212OA→＋12OB→＋OC→ ＝14(a＋b＋c)，BC→＝c－b， ∴OG→·BC→＝14(a＋b＋c)·(c－b) ＝14·(a·c－a·b＋b·c－|b|2＋|c|2－b·c) ＝14(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. ∴OG→⊥BC→，即 OG⊥BC. [能力提升练] 1．已知正方形 ABCD 的边长为 1，设AB→＝a、BC→＝b、AC→＝c，则|a＋b＋c|等于( ) A．0 B．3 C．2＋ 2 D．2 2 D [利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解， |a＋b＋c|＝2|AC→ 第 6 页 |＝2 2.] 2．在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是 A1B1，BB1的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 ( ) 【导学号：33242261】 A．－25 B．25 C.35 D．1010 B [如图， 由图知直线 AM 与 CN 所成角等于 〈AM→， CN→〉 .AM→＝AA1→＋A1M→，CN→＝CB→＋BN→， ∴AM→· CN→＝(AA1→＋A1M→)·(CB→＋BN→)＝AA1→·CB→＋AA1→·BN→＋A1M→· CB→＋A1M→·BN→＝12， |AM→|＝|AA1→|2＋|A1M→|2＝54＝52，|CN→|＝54＝52. ∴cos〈AM→，CN→〉＝AM→·CN→|AM→||CN→|＝1252×52＝25.] 3．如图 3-1-32 所示，四面体 ABCD 的每条棱长都等于 2，点 E，F 分别为棱 AB，AD 的中点，则|AB→＋BC→|＝________，|BC→－EF→|＝________. 图 3-1-32 2 3 [|AB→＋BC→|＝|AC→|＝2； EF→＝12BD→， BD→·BC→＝2×2×cos 60°＝2， 故|BC→－EF→|2＝BC→－12BD→2 ＝BC→2－BC→·BD→＋14BD→2＝4－2＋14×4＝3，  第 7 页 故|BC→－EF→|＝ 3.] 4．如图 3-1-33 所示，在三棱锥 A-BCD 中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点 M，N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是________． 图 3-1-33 78 [由 AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2 得 cos〈AB→，AD→〉＝cos〈AC→，AD→〉＝13， cos〈AB→，AC→〉＝79，AN＝CM＝2 2. 又AN→＝12AB→＋12AC→，CM→＝12AD→－AC→， ∴AN→·CM→＝12AB→＋12AC→·12AD→－AC→ ＝14AB→·AD→＋14AC→·AD→－12AB→·AC→－12AC→2 ＝14×3×2×13＋14×3×2×13－12×3×3×79－12×9＝－7. ∴cos〈AN→，CM→〉＝AN→·CM→|AN→||CM→|＝－72 2×2 2＝－78. ∴异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为78.] 5．如图 3-1-34 所示，已知正四面体的棱长为 1，点 E、F 分别是 OA、BC的中点，选择适当的基底； 图 3-1-34 (1)表示EF→，并求出|EF→|； (2)计算EF→·AC→，并求出〈EF→，AC→〉. 【导学号：33242262】 [解] 设OA→＝a，OB＝b，OC→＝c，  第 8 页 则|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝π3， ∴a·b＝a·c＝b·c＝12. (1)EF→＝OF→－OE→＝12(OB→＋OC→)－12OA→ ＝－12a＋12b＋12c＝－12(a－b－c)， 则有|EF→|＝14a－b－c2 ＝14a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c) ＝121＋1＋1－1－1＋1＝22， (2)∵AC→＝OC→－OA→＝c－a＝－(a－c) EF→·AC→＝12(a－b－c)·(a－c)＝12(a2＋c－a·b＋b·c－2a·c)＝121＋1－12＋12－1＝12. 则有 cos〈EF→，AC→〉＝EF→·AC→|EF→||AC→|＝1222＝22， ∵〈EF→，AC→〉∈[0，π]，∴〈EF→，AC→〉＝π4. 。