1112三角形内角和.ppt

人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册） 11.2 11.2 与三角形有关的角与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角三角形两边的夹角叫做三角形的内角三角形的内角红红色色的的大大三三角角形形对对蓝蓝色色的的小小三三角角形形说说：：““我我比比你你大，所以我的内角和肯定比你大大，所以我的内角和肯定比你大小小三三角角形形不不服服气气地地说说：：““不不对对不不对对，，我我的的内内角角和和和你的一样大！和你的一样大！””三角形兄弟之争　　追问　　追问　　运用度量的方法，得出的三个内角的和都运用度量的方法，得出的三个内角的和都是是180°°吗？为什么？吗？为什么？测量可能会有误差测量可能会有误差．　　　　　　三角形的三个内角和是多少?把三个角拼在一起试试看？你有什么办法可以验证呢?从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?180°实践操作F21ECBA三角形的内角和等于1800.过A作EF∥BC，∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠1(两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°证法一21EDCBA三角形的内角和等于1800.延长BC到D，过C作CE∥BA，∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等)∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°证法二CBEA三角形的内角和等于1800.过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°证法三　　 追追问　　通通过前面的操作和前面的操作和证明明过程，你能受到什程，你能受到什么启么启发？你能用其他方法？你能用其他方法证明此定理明此定理吗？？C A B 12345l P 6m 　　 追追问　　通通过前面的操作和前面的操作和证明明过程，你能受到什程，你能受到什么启么启发？你能用其他方法？你能用其他方法证明此定理明此定理吗？？C A B 12345l P 6m n  在这里，为了证明的需要，在原来在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做的图形上添画的线叫做辅助线辅助线。

在平面在平面几何里，辅助线通常画成几何里，辅助线通常画成虚线虚线 为了证明三个角的和为为了证明三个角的和为1800,转化转化为一个平角或同旁内角互补为一个平角或同旁内角互补,这种这种转化思想转化思想是数学中的常用方法是数学中的常用方法.思路总结思路总结(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?（2）60°， 40°， 90°（3）30°， 60°， 50°（1）3°， 150°， 27° （是是 ）（ 不是不是）（ 不是不是）巩固练习（（1）在）在△△ABC中，中，∠∠A=35°，，∠∠ B=43 ° 则则∠∠ C= . （（2）在）在△△ABC中，中， ∠∠A :∠∠B:∠∠C=2:3:4则则∠∠A = ∠∠ B= ∠∠ C= . （（3））一个三角形中最多有一个三角形中最多有 个直角？为什么？个直角？为什么？（（4）一个三角形中最多有）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？个钝角？为什么？（（5）一个三角形中至少有）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？个锐角？为什么？（（6）任意一个三角形中）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少最大的一个角的度数至少为为 .102 °80 °60 °40 °60°211应用新知应用新知运用三角形内角和定理运用三角形内角和定理　　例　　例1　如　如图，在，在△△ABC 中中， ∠∠BAC = =40°, , ∠∠B = = 75°，，AD 是是△△ABC 的角平分的角平分线．求．求∠∠ADB 的度数．的度数．CBDA如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。

求下面各题.（（1））∠∠DAC＝＝_____ ∠∠DAB＝＝______ ∠∠EBC＝＝_______ ∠∠CAB ＝＝ ______ A(2)从C岛看A 、B两岛的视角∠C是多少?50°80°40°DBCE北北解：∵ AD∥BE∴ ∠DAB﹢∠ABE＝180° ∴ ∠ABE ＝ 180°－∠DAB ＝＝ 180° －－ 80° ＝＝100° 在在△△ABC中中,∠∠C ＝＝ 180° －－ ∠∠CAB －－ ∠∠ABC＝＝ 180°－－30 °－－60 °＝＝90°∴∴ ∠∠ABC＝＝∠∠ABE﹣∠∠CBE30 °＝＝100°﹣40°＝＝60°例题讲解例题讲解3 3课堂练习课堂练习　练习　练习1　　如如图，，说出各出各图中中∠∠1 的度数．　　的度数．　　80°50°1 30° 105° 1 22°1（（1）） （（2）） （（3）） 　　练习　　练习2　　如如图，从，从A 处观测C 处的仰角的仰角∠∠CAD = = 30°，从，从B 处观测C 处的仰角的仰角∠∠CBD = = 45°．从．从C 处观测A，，B 两两处的的视角角∠∠ACB 是多少？是多少？ 　　　　课堂练习课堂练习ABDCABC在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形内角和定力，得, ∠A +∠B+ ∠C=180°即 ∠A +∠B+ 90°=180°，所以 ∠A +∠B= 90°.例题讲解例题讲解1 1也就是说， 直角三角形的两个锐角互余.由三角形内角和定理可得：由三角形内角和定理可得： 有两个角互余的三角形是直角三角形。

有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC.ABC已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,BD是AC边上的高，求∠DBC的度数D解：设∠A＝x0，则∠ABC＝∠C＝2x0∴x＋2x＋2x＝180 （三角形内角和定理）解得x＝36∴∠C＝2×360＝720∴∠DBC＝1800－900－720（三角形内角和定理）在△BDC中，∵∠BDC＝900(三角形高的定义）∴∠DBC＝180?例题讲解例题讲解2 2DCE北A50°∟B40 °北MN在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAC=50°解：过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N12例:如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向∴∠1=180 °-90°-50° =40°∵ AD∥BE∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °∴ ∠BNC =90° 同理得∠2 =50°∴ ∠ACB =180 ° -∠1 -∠2=180 °-40°-50° =90° 例题讲解例题讲解3 3BDCE北A1250°40°解：解： 过点过点C画画CF∥∥AD ∴∴ ∠∠1＝＝∠∠DAC＝＝50 °, F∵∵ CF∥∥AD, 又又AD ∥∥BE∴∴ CF∥∥ BE∴∠∴∠2＝＝∠∠CBE ＝＝40 °∴∴ ∠∠ACB＝＝∠∠1﹢∠∠2 ＝＝50 °﹢ 40 ° ＝＝90 °例题讲解例题讲解3 3巩固练习ABCDE如图，∠C= ∠D=90°，AD与BC相交于点E， ∠CAE和∠DBE什么关系。

在Rt△ACE中， ∠CAE=90°- ∠AEC在Rt△BDE中， ∠DBE=90°- ∠BED∵ ∠AEC= ∠BED（对顶角相等）∴ ∠CAE= ∠DBE3.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是( )A、锐角三角形　B、直角三角形 C、钝角三角形　D、等腰三角形4. 一个三角形至少有（ ） A、一个锐角 B、两个锐角 C、一个钝角 D、一个直角BB巩固练习5. 如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,∠A＝70°,∠ADE＝50°, 求∠BDC的度数.ABCDE解:∵∠A＝70° ∴∠ACB=180 °-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°∵DE//BC∴∠B=∠ADE＝50°∵ CD平分∠ACB巩固练习2、在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ= ∠B= ∠ C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？解:设∠A=x°,那么∠B=2x°,∠C=3x°根据题意得:解得∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°所以△ＡＢＣ是直角三角形拓展与思考1甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？甲甲乙乙16米米450？？45016米米解:由题意知ABC∴BC=AB=16答:两楼的距离是16米.拓展与思考2小结1、三角形的内角和：三角形三个内角之和为180°2、由三角形内角和等于180°，可得出(1)直角三角形两锐角互余；(2)一个三角形最多有一个直角或钝角；(3)任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；(4)一个三角形中至少有一个角小于或等于60°复习旧知•一个三角形最多有 直角；•一个三角形最多有 钝角；•一个三角形中，最多有 锐角，最少有 锐角；•一个三角形中至少有一个角 小于或等于（ ） •一个三角形中最大角至少是（ ） 11.2.2 三角形的外角ABCD三角形的外角：三角形的外角： 三角形的三角形的一边一边与与另一边的反向延长另一边的反向延长线线组成的角．组成的角．ABCDE看一看：看一看：算一算：算一算：若若∠∠ A＝＝55º，， ∠∠ B=60º,试求试求∠∠ ACB, ∠∠ACD, ∠∠CAE的度数．并说出你的理由．的度数．并说出你的理由．图中哪些角是三角形的图中哪些角是三角形的内角内角，，哪些角是三角形的哪些角是三角形的外角外角？？⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒115°60°65°55°125°　通过上题的计算，你发现通过上题的计算，你发现∠∠ACD，， ∠∠ CAE与三角形的内角之间有怎样的与三角形的内角之间有怎样的数量关系数量关系呢？呢？请你试着用自己的语言说一说．请你试着用自己的语言说一说．想一想：想一想：三角形的一个三角形的一个外角外角等于与它等于与它不相邻不相邻的的两个内角两个内角的和。

的和求下列各图中求下列各图中∠∠1 1的度数30°° 60°° 1 1 35°° 120°° 1 145°° 50°° 1 1∠1=∠1=∠1=90º85º95º ∠∠ACD ∠∠A (<、、>)；； ∠∠ACD ∠∠B (<、、>)结论：结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相三角形的一个外角大于任何一个与它不相 邻的内角邻的内角DACB>>你选什么你选什么 ？？把图中把图中∠∠1 1、、 ∠ ∠2 2、、 ∠ ∠3 3按由大到小的按由大到小的顺序排列顺序排列B 3 32 21ACDE∠∠1∠∠2∠∠3＞＞＞＞ABC123方法方法1 1方法方法2 2三角形的外角和等于三角形的外角和等于360360°°∠∠1＋＋∠∠2 ＋＋∠∠3 ＝＝ ?从哪些途径探究这个结果从哪些途径探究这个结果议一议议一议ABC123∠ ∠2＋＋ ∠ ∠ABC=180°∠ ∠3＋＋ ∠ ∠ACB=180°三个式子相加得到三个式子相加得到∠ ∠1＋＋ ∠ ∠2＋＋ ∠ ∠3＋＋ ∠ ∠BAC＋＋ ∠ ∠ABC＋＋∠ ∠ACB=540°而而∠ ∠BAC＋＋ ∠ ∠ABC＋＋∠ ∠ACB=180°∠ ∠1＋＋ ∠ ∠2＋＋ ∠ ∠3＝＝360°∠ ∠1＋＋ ∠ ∠BAC=180°解：解：解：过解：过解：过解：过A A作作作作ADAD平行于平行于平行于平行于BCBC∴ ∴ ∴ ∴ ∠ ∠ ∠ ∠3 3＝＝＝＝ ∠ ∠ ∠ ∠4 4BC1234A∴ ∴ ∴ ∴ ∠ ∠ ∠ ∠2 2＝＝＝＝ ∠ ∠ ∠ ∠BADBAD∴ ∴ ∴ ∴ ∠ ∠ ∠ ∠1 1＋＋＋＋ ∠ ∠ ∠ ∠2 2＋＋＋＋ ∠ ∠ ∠ ∠3 3＝＝＝＝ ∠ ∠ ∠ ∠1 1＋＋＋＋ ∠ ∠ ∠ ∠BADBAD＋＋＋＋ ∠ ∠ ∠ ∠4=360°4=360°两直线平行，两直线平行，两直线平行，两直线平行，同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等D判断题：判断题：1 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。

三角形的外角和是指三角形所有外角的和 ））2 2、三角形的外角和等于它内角和的、三角形的外角和等于它内角和的2 2倍 ））3 3、三角形的一个外角等于两个内角的和三角形的一个外角等于两个内角的和 ））4 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ））5 5、三角形的一个外角大于任何一个内角三角形的一个外角大于任何一个内角 ））6 6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角 ））练一练练一练学一学学一学例例1:1:如图，如图，D D是是△△ABCABC的的BCBC边上一点，边上一点，∠∠B B＝＝∠∠BADBAD，，∠∠ADCADC＝＝80°,∠BAC=70°80°,∠BAC=70°. .求：（求：（1 1））∠∠B B的度数；的度数； （（2 2））∠∠C C的度数的度数. .问：问：（（1）中为什么）中为什么∠∠ADCADC＝＝∠∠B+∠BADB+∠BAD？？ （（2 2）中求）中求∠∠C C的度数还有其他方法吗？的度数还有其他方法吗？ABCD8080°°7070°°40º40º⌒⌒练一练练一练∠∠A A＋＋∠∠B B＋＋∠∠C C＋＋∠∠D D＋＋∠∠E E＋＋∠∠F F＝＝ . .ADECFB123360°0°NPMABCDE(3)求求∠∠A+ ∠ ∠B+ ∠ ∠C+ ∠ ∠D+ ∠ ∠E的度数的度数⌒⌒FG⌒⌒∠∠∠∠B+ B+ ∠ ∠ ∠ ∠D= D= ∠ ∠ ∠ ∠EGFEGF∠∠∠∠EGF + EGF + ∠ ∠ ∠ ∠EFGEFG + ∠ ∠ ∠ ∠E E = = 180°∠∠∠∠A+ A+ ∠ ∠ ∠ ∠C= C= ∠ ∠ ∠ ∠EFGEFG解：因为解：因为解：因为解：因为所以所以所以所以∠∠∠∠A+ A+ ∠ ∠ ∠ ∠B+ B+ ∠ ∠ ∠ ∠C+ C+ ∠ ∠ ∠ ∠D+ D+ ∠ ∠ ∠ ∠E= E= 180°练一练练一练已知图中已知图中∠∠A A、、 ∠ ∠B B、、 ∠ ∠C C分别为分别为80°，， 20° ，， 30° ，求，求∠1的度数的度数B 3 32 21ACDE如图，试计算如图，试计算∠∠BOC的度数．的度数．练一练练一练90º30º20ºABCOD⌒⌒110°练一练练一练如图，在直角如图，在直角△△ABCABC中，中，CDCD是斜是斜边边ABAB上的高，上的高，∠∠BCDBCD＝＝35°35°，，求求∠∠A A与与∠∠EBCEBC的度数的度数. .ABCDE∟⌒⌒35°⌒⌒⌒⌒ 1、三角形外角的两条性质三角形外角的两条性质①① 三角形的一个外角等于与它不相邻三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

的两个内角的和 ②②三角形的一个外角大于任何一个与它三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角不相邻的内角2、三角形的外角和是、三角形的外角和是360再见再见。