《高等数学课件》ppt课件.ppt

§8．1 多元函数的基本概念,一、区域,二．多元函数概念,三．多元函数的极限,四．多元函数的连续性,邻域、,内点、开集、边界点、边界,连通性、区域、闭区域,n维空间、点的坐标、两点间的距离,二元函数的定义、,值域、二元函数的图形,二元函数连续性定义、,函数的间断点,多元连续函数的性质、,多元初等函数,,,一、区域,,设P0(x0，y0)是xOy平面上的一个点，d 是某一正数．与点 P0(x0，y0)距离小于d 的点P(x，y)的全体，称为点P0(x0，y0)的邻 域，记为U(P0，d )或U(P0)，即,邻域:,U(P0，d ),{P | |P P0|d },,U(P0，d ),去心邻域：,,设E 是平面上的一个点集，P是平面 上的一个点． 如果存在点P 的某一邻域 U(P)，使U(P)E，则称P为E 的内点，,内点：,如果点集E 的点都是内点， 则称E为开集．,开集：,,边界点、边界：,如果点P的任一邻域内既有 属于E的点，也有不属于E的点， 则称P点为E的边点．,开集： E{(x，y)|1x2 +y24},,E的边界点的全体称为E的边 界．,,,,,设D是开集．如果对于D 内 任何两点，都可用属于D的折线 连结起来，则称开集D 是连通的．,连通性：,区域：,连通的开集称为区域或开区 域．,闭区域：,开区域连同它的边界称为闭 区域．,E1和E2都是连通的．,D = E1E2是不连通的．,,,E1和E2都是区域．,D = E1E2是不区域．,E3是闭区域．,,有界点集和无界点集：,对于点集E如果存在正数K，使一切点PE与某一定点A间的 距离|AP|不超过K，即 |AP|K 对一切PE与成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集．,例如 E={(x，y)|1≤x2y2≤4}是有界的， {(x，y)|x2y21}是 无界的．,,数xi 称为点(x1，x2，··· ，xn)的第i 个坐标．,n维空间：,设n为取定的一个自然数，则称有序n元数组(x1，x2，··· ，xn) 的全体为n维空间，记为R n ．,n维空间中点：,每个有序n元数组(x1，x2，··· ，xn)称为n维空间中的一个点．,点的坐标：,n维空间中两点P(x1，x2，··· ，xn)及Q(y1，y2，··· ，yn)间的距 离规定为,两点间的距离：,二．多元函数概念,,设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D，变 量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x，y 的二元函数(或点P的函数)，记为 z=f(x，y)(或z=f(P)),二元函数的定义：,其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量．,例 函数z=ln(x+y)的定义域为 {(x，y)|x+y0}(无界开区域)；,,,x+y=0,,二．多元函数概念,,设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D，变 量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x，y 的二元函数(或点P的函数)，记为 z=f(x，y)(或z=f(P)),二元函数的定义：,其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量．,例 函数z=ln(x+y)的定义域为 {(x，y)|x+y0}(无界开区域)；,函数zarcsin(x2y2)的定义域为 {(x，y)|x2y21}(有界闭区域)．,,x2y2=1,,值域： {z|z=f (x，y)，(x，y)D},二元函数的图形： 点集{(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D}称为二元函数zf(x，y) 的图形．,,二元函数的图形是一张曲面．,例 z=a x+b y + c是一张平面，,由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)有两个：,由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)是中心在原点，半径 为a的球面．它的定义域为,,D ={(x，y)|x2y2 a 2}．,,三．多元函数的极限,,,二重极限的定义：,设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是 D的内点或边界点．如果对于任意给定的正数e 总存在正数d ， 使得对于适合不等式,的一切点P(x，y)D ，都有 |f (x，y)A|e 成立，则称常数A为函数f (x，y)当x x0，y y0时的极限，记为,或f(x，y)A (r0) ，,这里r|P P0|．,,,,x2y2，,则当,时，总有,,必须注意： (1) 二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无 限接近于A (2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值， 则函数的极限不存在．,例,当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0)时函数的极限为零，,当点P(x，y)沿直线y=k x 趋于点(0，0)时,,,,,,,,解,四．多元函数的连续性,,则称函数f (x，y)在点P0(x0，y0)连续．,二元函数连续性定义：,设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0) D ．如果,函数f (x，y)在区域(开区域或闭区域)D 内连续： 是指函数 f (x，y)在D内每一点连续．此时称f (x，y)是D 内的连续函数．,二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去．,若函数f(x，y)在点P0(x0，y0)不连续，则P0 称为函数f(x，y)的 间断点． 注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点．,函数的间断点：,f(x，y),例,点(0，0)是f(x，y)的间断点；,,x2y21上的点是其间断点．,,,,,,,,多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续 函数，多元连续函数的复合函数也是连续函数．,性质1 (最大值和最小值定理)：,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和 最小值．,性质2 (介值定理)：,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不 同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少 一次．,,结论： 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．,多元初等函数：,是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由多元 多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构 成的．,例如sin(x+y)是由sin u 与u=x+y 复合而成的，它是多元初等 函数．,如果f(P)是初等函数，且P0是f(P)的定义域的内点，则,用函数的连续性求极限：,D{(x，y)| x 0，y 0}，点(1，2)是D的内点，函数f(x，y)在 (1，2)是连续的，所以,它的定义域为,,,解,,,,,,§8．2 偏 导 数,一、偏导数的定义及其计算法,二、高阶偏导数,偏导数的定义、,偏导函数,偏导数与导数的关系、,偏导数与连续性,二阶偏导数、,关于二阶混合偏导数的定理,,,一、偏导数的定义及其计算法,,偏导数的定义：,设函数zf(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有定义，,当y 固定,在y0 而x 在x0 处有增量x 时，,相应地函数有增量,f (x0x，y0)f(x0，y0) ，,如果极限,存在，,记作,则称此极限为函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对x 的偏导数，,或 f x(x0，y0)．,，,，,，,,类似地， 函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y 的偏导数定义为,记作,或 f y(x0，y0)．,，,，,,对自变量的偏导函数，记作,偏导函数：,如果函数zf(x，y)在区域D内每一点(x，y)处对x 的偏导数都,存在，,那么这个偏导数就是x 、y 的函数，,它就称为函数zf(x，y),或 f x(x，y)．,，,，,z x ，,或 f y(x，y)．,类似地， 可定义函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y 的偏导函数，,记为,，,，,z y ，,,偏导数与导数的关系：,f x(x0，y0),f y(x0，y0),偏导数与偏导函数的关系：,f x(x0，y0),f y(x0，y0),,3·12·27 ．,例1 求zx23x yy2在点(1，2)处的偏导数．,解,2x3y ，,3y2y ．,2·13·28，,2x sin 2y ，,例2 求zx2 sin 2y的偏导数．,解,2x2 cos 2y ．,x yx y 2z ．,解,y x y1，,x yln x ．,,解,，,．,；,证,p ,，,因为,V ,，,；,T ,，,所以,1．,．,,二元函数zf(x，y)在点(x0，y0)的偏导数的几何意义：,,M0,,,Tx,Ty,证函数在该点连续．,偏导数与连续性：,对于多元函数来说，,即使各偏导数在某点都存在，,也不能保,例如,不连续．,f(x，y),在点(0，0)有， f x(0，0)0 ，f y(0，0)0．,但函数在点(0，0)点并,,二． 高阶偏导数,,按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数,二阶偏导数：,设函数zf(x，y)在区域D内具有偏导数,f x(x，y)，,f y(x，y).，,那么在D 内fx(x，y)、fy(x，y)都是x，y 的函数．,如果这两个函数,的偏导数也存在，,则称它们是函数zf(x，y)的二偏导数．,f y y (x，y) ．,f x x (x，y) ，,f x y (x，y)，,f y x (x，y) ，,,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．,f x y (x，y)，,f y x (x，y) ，,其中,称为混合偏导数．,同样可得三阶、四阶以及n 阶偏导数．,类似在可定义二元以上函数的高阶偏导数．,,6x2 y9y21；,解,3x2 y23y3y ，,2x3 y9x y2x ；,6x y2 ，,6y2 ．,6x2 y9y21，,2x318x y；,,则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．,定理 如果函数zf(x，y)的两个二阶混合偏导数 及,在区域D内连续，,, ln(x2y2)，,证,因为,所以,，,，,，,，,=0．,,其中 ．,例8 证明函数 满足方程   0 ，,证,，,，,=0．,,,,,,§8．3全微分及其应用,一、全微分的定义,二* 、全微分在近似计算中的应用,偏增量与偏微分、全增量,全微分的定义、,可微与连续,可微的必要条件、可微的充分条件,叠加原理,,,一、全微分的定义,,偏增量与偏微分：,f (xx，y)f(x，y)f x(x，y)x,函数对x的偏增量,函数对x的偏微分；,f (x，yy)f(x，y)f y(x，y)y,函数对y的偏增量,函数对y的偏微分；,,,,,,,,,z f (xx，yy)f(x，y)称为函数在点P对于自变量增量 x、 y的全增量．,全增量：,,则称函数zf(x，y)在点(x，y)可微分，而称AxBy为函数 zf(x，y)在点(x，y)的全微分，记作dx ，即 dz AxBy．,全微分的定义：,如果函数zf(x，y)在点(x，y)的全增量 z f (xx，yy)f(x，y),,可表示为 zAxByo(r)， 其中A、B不依赖于x、y 而仅与x 、y 有关，,，,如果函数在区域D 内各点处都可微分，那么称这函数在D 内 可微分．,,可微必连续，但偏导数存在不一定连续．,可微与连续：,,且函数zf(x，y)在点(x，y)的全微分为,定理1(必要条件):,如果函数zf(x，y)在点(x，y)可微分，则该函数在点(x，y)的,偏导数 、 必定存在，,dz x y ．,个邻域内的任意一点P (xx，yy)，有zAxByo(r)． 特别当y0时有 f (xx，y)f(x，y) Ax o(|x|)．,证 设函数zf(。