常用坐标系中速度_加速度和动量矩推导的矩阵方法.pdf
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西南二母沈《龙毅研究》200 0年 第3期(总第5 6期)常用坐标系中速度、加速度和动量矩推导的矩阵方 法邝向军(基拙科学系)本 文利用 柱 坐标、极坐标和球坐标系 中的单位 矢量与直角坐标系 中的单 位 矢量 间 的矩 阵变换关系,对 柱坐标、极坐标和球坐标 系中 的速度、加 速度以及 动量矩的表达式分别进行了推导一、柱坐标系中的速 度、加 速度和 动一 矩的表 达式对于柱 坐标系,位矢芬可以表示 为:于~r co so了+r sin夕了+:万直,,标系 单位矢量 我们示 为,一…;{,坐标,,单位矢 量 我,门示Lk」 一〔!{,·········-·!· ·!-·-1·,···· ··· ···……矩阵位矢于可以表示为矩阵形式:一〔rCO SOr一〕{ …,·…标一据数一易·单位··…换一 LkJ一5inseoso叼 O卜速度 的直角坐标 系 表达 式可以写为”-1J月月 0 5i no一沐|卜l|.一一一A le se s.w e| w e e sJCU,1sin6eos6刀月n0 5.5 10c一l.r aw ew eL一一A〔户eos口一,一sins夕户5ino+reoso夕、〕…;{,。
据单位一阵 ·换 关·…,·LkJ柱坐标系中的表达式为:石~〔户050一r sin口夕户sins+:eoss夕乏〕产Qs151二一5inse oso{ {「二‘{「.、、:[二’」 :{{竺“1一Lrr以乙J】二‘{-占刁L 亡:JL 仁;J户百,+厂夕万云百:,这就 是在柱坐标系中 的速一6一度表达式同样,在柱 坐标系中加速度 的 直角坐标单位矢量表达 式可以写 为:石一[矛eos夕一2户sin夕夕一二eo se夕,一二sin夕沙〕、·in·2/C OS夕夕-rsin艺·rCOS夕·){,同样 ,据单位矢 量 ·的 变换关…得到:区」 石=[reos口一z分sin6口一:eos口口2一:sin口乡曰一 二沙了 rs ‘n口十‘犷 cos 口口一犷s’n口口一十犷co s口 口“J[S ’二分一sinoe os夕臼日 :1{二‘1 占‘L erJ二几*,_.;.、.,肛 L犷一r口一‘r口十r口“」{二L e一 (二一:护)若r+(2户夕十:沙)若十乏若:这就是加速度 在…J柱坐标系中的表达式对 于质量为m的质点,其动 量矩 在直角坐标系中的表达式可以写 为:了一芬xm石一(二c o s o一亨十:s in口了+z万 )xm〔(分cos夕一: sino乡)了+(分sin夕+:eos夕乡)夕+汤万〕=m(户。
in头+二eos夕乡二一二sin夕坛)了+m(:eos夕乏+二sin先乡一户c os先 )了一mrZ乡万一:、/sin*十从·乡·-从·51··脚咫i··乡-,/· 一l」,根据单位矢量间的矩阵变换关系可以得 到其在柱坐标 系中的表达式为:了~〔m矛in口二+,reoso乡二一mrsino坛mreos口之+rsin先乡一m户05先一mr,乡j )二;二,;,日 {一L’n 犷z一’n厂“一从”一口」{气‘} JL 亡七J介陀|阵! | l!l|J卜州 {”’言口一5in夕eos夕一mr z夕万r十m(二三一户二) 若,一m尸乡万:这就是柱坐标系 中动量矩 的表达式二、平面极 坐 标系速 度、加速 度和 动t矩的表 达式只需令柱 坐标系的速度、加速度和动量矩 的表达 式 中的z、云和z等于零,就 可以分别得到在平面极坐标系的速度、加速度和动量矩的表 达式如下:石一户武. 十:乡几蕊一( i -一:口2)万r+(2户夕+:句凡了-一mr z夕百‘三、球坐标系中的速 度、加速度 和动 ,矩的表达 式:在球坐标系中位矢 于可以表示为:一7一 {尸口巨曰厂一陡声=r sina cos必了+r sina sin必了+r co s夕万=〔rsinoeos曰rsino sin曰而速度则可以表示 为:石=(户sina cos必+r cos决05曰乡一:sin夕sin必必)了+(户sin先in必+二eoso s;n必夕+r si n氏o s必之)了+(户eos口一二sin夕乡)万=[户sin灸05必+:eo sa cos必乡一,sina sin必必/·i n*i n··r cOS0 si n/乡·r si n6 cOS··/COS口一日,·· · ··一A!·【-一i;{,····················……间的变换矩阵为:A飞川洲 」必必8sin先in必e osssin必e os必e o ss—5In0尸‘n今05巴c os色05畏 一}s ,n “s ,兮刃s, n岁co贡口LCO S U一SlnU一5in必eos必0…速度的球坐标系表达式容易由以下变换得到:sin灸05必+r co s氏05必乡一;sin陇in必方sin先in曰+r cosa sin必乡+ r sin决05必必、c 。
s,一in副汁|卜汗一一一V户‘n今0 5贾Cosa : os资 }s , “口,‘呈妙Cos卿s’罗LC O SU一sln口一s i州日二.;CO又岁}1二“1一Lrrv.L亡日J‘日 ’‘s ’n口岁」{乞’1 Le日J~户万r+:乡万二s in 6方言这就是球坐标系中速度的表达式球坐标系中加速度的表达式可以写为:万=(升sin氏0 5必+z户eosa cos必乡一2户sin陇in必之一zre o s先in必夕必一rsino co s必乡’一,‘sin氏05必必’+reos庆0 5必汐一r sin先in必必万+(于sin陇in曰+2户eos夕sin必夕+2户sino cos必必一rsin先in必夕‘+Zre oso co s必乡之+;eos陇in必乡一rsin陇in必必‘+rsin氏05必必)了+(升eos口一z户sin助一:eosa夕’一r sine沙)万利用单位矢且间的矩阵变换关系l~A一’e及已知 的变换矩阵A一 ‘,可以将上式变为:三=〔分一厉,一:sin,e之,二沙+z户沙一二sino co se必’r sin口必+2户sin口必+Zreo s夕夕必J·- 1日. ..口 口. . 月,口I巴{t .‘。
一;_.、.一}二‘}一‘厂一犷“‘一”’n‘“妙‘,“十‘厂口十‘r“一”s ’nU COs口刃一’‘’七e日J一8一+( r,i n6必+2户i n夕方十Zr coso夕之)万这就是加速度在球坐标系中的表达式对于 质量 为m的质点,其动量矩可以表示 为:了一声x用若一次(r si n庆s必了+二s i no必歹十:c os瘫)x〔(户s i n灸0 5必+:c oso co s必乡一,一sin夕sin必必)了+(户sinosin必+二e o s先; n必夕+:sin夕s必必)了+(户056一:sin夕夕)万〕一〔mrZsin必夕+m二Zsino cos头05必必mrZsin灸oso sin必必一mrZe os必乡一,r,sin“o必〕 }」-[脚·2·、···爪·2 一必从·2·i·口 ··i···-水·2一陈:~刀~z洲户石 ~户叹,「e几}S生n口COS乞 刃COSUCOS忆少一Sl n、 勺(l‘,}}S l n US ln份,S ln认 乡COS口C OS业多} {扮门}=IU冷止厂‘SlnU凶一”王r‘U}‘、甘k J甘二一,司L e曰」 {;{-斑rZ·in·百,-mrZ夕万·。
··……矩在球坐标系中的表达式对于其它 的曲线坐标系中的速度、加速度和动量 矩 的表达式,只要找 到其单位矢 量与直角坐标系中的单位矢 量间的变换矩阵A及A‘,就可以通 过类似的方法求得参考文献1周衍柏.理论力学教程.北京:人民教育出版社2《数学手哥》编 写组.教学手册.北京:人民教育出版社升净衬十歼争 升争 月 令洲冷升争 争 羚淤矛 升子升争升升卜 争粉争片琳争片争 争争升争拼升 争 特片升料升升争 升洲冷月干玲争月干歼李 洲 冷争李矛升升粉升冷升升升粉 奋升争 升 冷争特升争(上接第3页)参考文献潜每元.“走向2 1世纪高等教 育思 想的转史”.《中国教育报》.1999.1.9吴 启迪二创新现代大学办学理念”.人大复印资料《高等教育》.1 9 99.1 0游建军等.“从全面素质教育谈人才珑问题”.西南工学院《高教研究》· 1 99 9.4莫飞平.“对大学生蛛合素质侧评工作的几点 思考”.《高校教育改革理论与实践》(下 ).新华出版社.1 9 9 8年第一版(上接第5页)这 一点我们从江 总书记讲话:在 中国要建设若干所世界 一 流的综合性大学从最近新 浙江大学的成 立中可以看到,我国 的高等教育正向着综合性、互补性、广博性方 向发展,因为只有这样的环境,才能开展好博才教育,才能 培养出“一专多能”的人才。
知识经济时代正 向我们走来,我们唯 有坚持小 平 同 志提出的教育要 三个“面 向”,大力推动大学 生 的素质培养,把握这一伟大历史变革赋予我们的机遇,培养出一大批 面向知识经济时代的人 才,为祖国的发展,民族的振 兴贡献 力量。
