北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测.doc

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测 高三年级数学学科试卷（文史类） 2018．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，则是A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，设复数满足，则=A． B． C． D．3．某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：日需求量n1415161820频率0．10．20．30．20．2试估计该商品日平均需求量为A． B． C． D． 4． “”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5． 下列函数中，是奇函数且在内是减函数的是① ② ③ ④A．①③ B．①④ C．②③ D．③④6． 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A． B． C． D． 7．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点间的距离为2，动点与，距离之比为，当不共线时，面积的最大值是A． B． C． D． 8．如图，为等边三角形，四边形为正方形，平面平面．若点为平面内的一个动点，且满足，则点在正方形及其内部的轨迹为 PABDCMA．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．一段圆弧 D．一条线段第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 开始i=1，S=2结束i=i+1i>4?输出S是否S=iS9．执行如图所示的程序框图，输出的值为 ．10．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线方程为，则双曲线的方程是 ．11．已知菱形的边长为2，，则 ．12．若变量x，y满足约束条件则的最小值为 ．13．高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；（2）左图阴影区域面积用表示为 ； （3）右图中阴影区域的面积为 ；（4）则柯西不等式用字母可以表示为．请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程： ．14．如图，一位同学从处观测塔顶及旗杆顶，得仰角分别为和. 后退 (单位m)至点处再观测塔顶，仰角变为原来的一半，设塔和旗杆都垂直于地面，且，，三点在同一条水平线上，则塔的高为 m；旗杆的高为 m.（用含有和的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．16．（本小题满分13分）已知由实数构成的等比数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求．17．（本小题满分13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．图1选手乙的接发球技术统计表技术反手拧球反手搓球反手拉球反手拨球正手搓球正手拉球正手挑球使用次数202241241得分率55%50%0%75%41．7%75%100%表1（Ⅰ）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）18．（本小题满分14分）ACBB1C1A1D如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱底面．已知是的中点，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．19．（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点坐标为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，过点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，直线与直线相交于点，试证明：直线与轴平行．20．（本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）求曲线在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程（为的导数）在区间内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围． 北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测 高三年级数学试卷答案（文史类） 2018.1一、选择题（40分）题号12345678答案CBDAABAD二、填空题（30分）题号91011121314答案；两个要点：（1）两图中的阴影部分面积相等；（2）.;三、解答题（80分）15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 .所以函数的最小正周期为. …………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．当时，，，.当即时，取得最小值．所以当时，. …………………………13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由可得.由数列各项为实数，解得，.所以数列的通项公式为或. …………………7分（Ⅱ）当时，；当时，.…13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术. ………………2分（Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A,B,正手拉球4次，分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是:AB, Aa,Ab, Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd, ab，ac, ad, bc, bd,cd.其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是:AB,Aa，Ab，Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd.则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率. …………………………10分（Ⅲ）正手技术更稳定. …………………………13分18. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由已知为正三角形，且是的中点，所以． 因为侧棱底面，，所以底面． 又因为底面，所以. 而,所以平面．因为平面，所以平面平面．…………………………5分ACBB1C1A1DE（Ⅱ）证明：连接，设，连接．由已知得，四边形为正方形，则为的中点.因为是的中点，所以．又因为平面，平面，所以∥平面． …………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知∥平面，所以与到平面的距离相等，所以．由题设及，得，且．所以，所以三棱锥的体积为． …………………………14分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知所以. 所以椭圆的方程为. …………………………3分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，此时轴.设，直线与轴相交于点，易得点是点和点的中点，又因为， 所以.所以直线轴.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，. 因为点，所以直线的方程为. 令，所以. 由消去得. 显然恒成立. 所以 因为 ， 所以.所以直线轴.综上所述，所以直线轴. …………………………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）.. …………………………3分（Ⅱ）设，.当时，，则函数为减函数.又因为，,所以有且只有一个，使成立.所以函数在区间内有且只有一个零点，即方程在区间内有且只有一个实数根. …………………………7分（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.因为当时，函数为减函数，所以在上，，即成立，函数为增函数；在上， ，即成立，函数为减函数.则函数在处取得极大值.当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在 两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于，显然.若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，则只需满足：.即，解得. ……………………13分11。