向量自回归与ARCH、GARCH模型.doc

向量自回归预测是计量经济分析的重要部分，宽泛的说，依据时间序列数据 进行经济预测的方法有五种：（1）指数平滑法；（2）单一方程回归模 型；（3）联立方程回归模型；（4）单整自回归移动平均模型；（5）向 量自回归模型（VAR，vector autoregression一、VAR的估计VAR方法论同时考虑几个内生变量，它看起来类似于联立方程模 型但是，在VAR模型中，每一个内生变量都是由它的滞后或过去 值以及模型中所有其他内生变量的滞后或过去值来解释 通常模型中没有任何外生变量在联立方程模型中，我们把一些变量看作内生的， 而另一些变量看作外生的或预定的， 在估计这些模型之前，必须肯定 方程组中的方程是可识别的，而为达到识别的目的，常常要假定某些 预定变量仅出现在某些方程之中， 这些决定往往是主观的，因此这种 方法受到CA西姆斯（Christopher Sims）的严厉批评，他认为如果在 一组变量中有真实的联立性，这些变量就应该平等对待，而不应事先 区分内生和外生变量，以此思路，其推出了 VAR模型例我们想考虑中国的货币（M1）与利率（R）的关系如果通过 格兰杰因果关系检验，我们无法拒绝两者之间有双向因果关系的假 设，即M1影响R,而R反过来又影响M1，这种情形是应用 VAR 的理想情形。

假定每个方程都含有 M1和R的k个滞后值作为回归 元，每个方程都可以用OLS去估计，实际模型如下：M1t 吃+ 区 j/jR-i +比k kRt j/M1t」…二』jR」U2t其中u是随机误差项，在 VAR术语中称为脉冲值（impulses）在估计以上方程时，必须先决定最大滞后长度，这是一个经验问题， 包括过多的滞后项将消耗自由度，而且会引入多重共线性的可能性， 而包含过少的滞后值将导致设定误差，解决这个问题的方法之一就是 使用赤池、施瓦茨或汉南一奎因准则中的某一个准则，并选择准则最 低值的模型，因此，这个过程中试错法就不可避免值得注意的是，向量自回归模型中同时引入同一变量的几个滞后项，可能因多重共线性而使每个估计系数在统计上都不显著， 但基于F检验它们可能是联合显著的二、VAR建模的一些问题VAR的倡导者强调此法有如下的优点：（1）方法简单，无需决定 哪些变量是内生的，哪些变量是外生的， VAR中的全部变量都是内 生的2）估计简单：常用的OLS法可以用于逐个估计每一个方程3）在许多案例中，此方法得到的预测优于用更复杂的联立方程模型得到的预测但VAR建模的批评者指出如下的一些问题：1、 不同于联立方程模型，VAR利用较少的先验信息，所有是缺 乏理论支撑的，因为在联立方程中排除或包含某些变量， 对模型的识 别起到关键性作用。

2、 由于重点放到预测，VAR模型不适合用于政策分析3、实际上，对VAR建模最大的挑战在于选择适当滞后长度假 设有一个 3 变量的 VAR 模型，并且每个方程含有每个变量的 8 个滞 后值，加上常数每个方程就会有 25 个参数，一个方程中估计如此多 的参数将消耗大量自由度并带来种种问题4、严格地说，在一个 m 变量的 VAR 模型中，所有的 m 个变量 都应该是(联合)平稳的，如果是不平稳序列，则要通过差分变换数 据，而变换数据得到的结果往往令人不满意，更糟糕的是，如果模型 中各变量有的平稳，有的不平稳，如何变换数据将不是容易的事情5、由于 VAR 模型中的系数往往难以逐一加以解释， VAR 技术的 应用是常常估计一种脉冲响应函数 (IRF，impulse response function) 脉冲响应函数描绘 VAR 系数中的因变量如何响应于方程中误差项的 冲击假设在 M1 方程中的 u1 值增加一个标准差，这样的一个冲击或 变化将会改变现期以及今后时期里的 M1，但因M1出现在R的回归 中，q的变化将会影响R;与此类似，R方程中的U2的一个标准差变 化将会影响到 M1 脉冲响应函数跟踪这种冲击在将来若干个时期所 起的影响度量金融时间序列中的波动性：ARCH和GARCH模型现实世界中，诸如股票价格、汇率、通货膨胀等金融时间序列通 常表现出群集波动（volatility clustering ）的现象，即在相当长一段时 期，其价格表现出大幅波动，然后又会在下一段时期内保持相对稳定。

应该如何模型化可能存在这种波动性的金融时间序列呢？ 一般来说， 这些序列是一个随机游走序列，我们能不能对其一阶差分进行建模 呢？问题在于：金融时间序列的一阶差分通常变现出大幅摆动或变动，说明金融时间序列的方差也在随着时间而变化， 如果模型化这种变动着的方差”（一般而言，在金融时间序列中，这种变化的方差 不 是某个自变量的函数，而是随着时间变化并且依赖于过去误差的大 小），恩格尔（Robert Engle，1982）提出了自回归条件异方差（ARCH， autoregressive conditional heteroscedasticity 模型解决此问题例：Y^ = 2X2^ 3X3t Ut，其回归误差的方差依赖于过去不久误差的变化程度，最简单的关 系是：2 2a = a + ot 11t 01W 4上式表明I」t的方差二t2由两部分组成：一个常数项和前一时刻关于变化量的信息，用前一时刻的误差平方和来表示，记这个模型为ARCH（ 1）更一般地，方差可以看依赖于任意多个滞后变化量，记 为 ARCH （p）:2 2 2 2cr =0（ +a 11 +a 11 + …+a 11t 0 Mt ^t-2 p5~p如果回归系数全为0,说明不具有ARCH效应；如果回归系数不 全为0,说明具有ARCH效应。

由于寻是不能直接观测的，所有恩格尔证明了可以用如下回归来 检验上述假设，验证 ARCH效应：U?2^%+叫？「呜？…z?p?_p，其中?表示残差对上式可以通过通常的F检验或LM检验（即计算服从卡方分布2的nR来检验）来判断是否具有 ARCH效应我们通常有理由认为ut的方差依赖于很多时刻之前的变化量，问 题在于这样我们必须估计很多参数， 这一点往往很难精确做到可以 看到：ARCH （p）就是二t2的分布滞后模型，我们就能够用一个或几 个二t2的滞后值代替许多u2的滞后值（变形方法参看几何分布滞后模 型），也就是广义自回归条件异方差（GARCH， gen eralized autoregressive conditional heteroscedasticit）模型，最简单的 GARCH 模型是GARCH（ 1，1）模型：2 2 2ct 八0 —Ut_1 •〒 2该式表明t时期u的条件方差不仅取决于上一期误差项的平方，还取决于上一时期的条件方差般情形下，可以有任意多个 ARCH项和GARCH项，GARCH（p，q）模型为:t亠":II2 ■ 2 . 2pW-p 1 t -1 q t-q另外，ARCH和GARCH模型还可以进一步推广，它们的右边还 可以包含外生或预定变量，但应该保证 打是非负的。

与我们可以在描 述二t2的模型中加入外生或预定变量一样，我们也可以在回归方程的右 边加入g2，这样的模型称为ARCH-M模型在不加证明的情况下，指出一个结论： GARCH (p, q)模型等价于一个ARCH( p+q)模型例：时间序列y是上海证券交易所1998年1月5日至2003年3 月14日的交易日指数(收盘)，请试建立GARCH模型实际应用中，GARCH模型中的阶数p值远比ARCH模型中的p 值要小，一般，GARCH (1,1)模型就能够描述大量的金融时间序列 数据如果在ARCH检验时，p值很大检验依然显著，即残差序列存 在高阶ARCH效应时，应该考虑采用 GARCH模型股价序列常用 随机游走模型描述：y 二 y-1 t。