与几何相关的分类讨论问题.doc

分类讨论一、考点聚焦在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的.2.分类的原则：正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． 二、热点分析与等腰三角形有关的分类讨论是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论.热点1：　与角有关的分类讨论【例1】已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________【思路点拨】对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.热点2：　与边有关的分类讨论【例2】　已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________.【思路点拨】对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.热点3：　与高有关的分类讨论【例3】一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是________度.【思路点拨】因不知此等腰三角形的顶角是钝角、直角、锐角，应分情况讨论.解：（1）当顶角为锐角时，（如图1）则顶角为90°－35°＝55°.（2）当顶角为直角时，不符合题意（如图2），应舍去.（3）当顶角为钝角时（如图3），顶角为180°－（90°－35°）＝125°故此等腰三角形的顶角为55°或125°.【解题反思】此题涉及了顶角有“钝角、直角、锐角”之分的分类讨论，特别是当顶角为钝角时的情况容易漏解，请同学们注意体会.【练习】等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角的度数________度.【解题反思】三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外.【例4】(《中考指导用书》例题)为美化环境，计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.【思路点拨】 【解题反思】【练习】如图，在网格图中找格点M，使△MPQ为等腰三角形.并画出相应的△MPQ的对称轴.【变式】这样的点M共有____________个热点3：综合应用A（－2，2）yxo【例5】在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（－2，2），试在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标【练习】（2010四川宜宾）如图，在平面直角坐标系xoy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3，4)．连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是 yxPOT11【例6】直角坐标系中，已知点P（－2，－1），点T（t，0）是x轴上的一个动点.(1) 求点P关于原点的对称点的坐标；(2) 当t取何值时，△TO是等腰三角形？【规范解答】解：（1）点P关于原点的对称点的坐标为（2，1）. （2）. （a）动点T在原点左侧.此题涉及了两个层次的分类讨论，点的位置的分类与等腰三角形的分类，请注意体会。

当时，△是等腰三角形.∴点. （b）动点T在原点右侧.①当时，△是等腰三角形. 得：.② 当时，△是等腰三角形. 得：点.③ 当时，△是等腰三角形.得：点. 综上所述，符合条件的t的值为.与圆有关的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解.　热点1：由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论【例1】已知点P到⊙O的最近距离为3cm，最远距离为13cm，求⊙O的半径.【规范解答】：点P既可能在⊙O的内部；也可能在⊙O的外部，如图，当点P在⊙O的内部时，由AB=PA+PB=16 cm，得到⊙O的半径为8cm，当点P在⊙O的外部时，由AB=PB—PA =10 cm，得到⊙O的半径为5cm，从而得到⊙O的半径应为8cm或5cm. 　热点2：由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论【例2】A、B是⊙O上的两点，且∠AOB=1360，C是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠ACB的度数是___________.解析：点C既可能在优弧AmB上，也可能在劣弧AB上，当点C1在优弧AmB上时，如图，∠AC1B=∠AOB，从而得到∠AC1B =680当点C2在劣弧AB上时，不难得到∠AC2B =1120.所以∠ACB为680或1120.　热点3：由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论 【例3】已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度.解析：水面AB所对的弧既可能是劣弧，也可能是优弧，如图，当水面AB所对的弧是劣弧时，过圆心O作OE⊥AB，垂足为E，延长OE交⊙O于点F，则BE=AB=40cm，OB=50cm，由勾股定理可得cm此时水深EF（cm）当水面AB所对的弧是优弧时，同理可求得（cm）所以水的最大深度为20cm或80cm热点4：由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论 【例4】⊙O的直径AB=2，过点A有两条弦AC=，AD=，求∠CAD的度数.解析：两弦既可能在直径的两侧，也可能在直径的同侧，如图，当两弦AC、AD在直径AB的两侧时，作OE⊥AC于点E，OF⊥AD于点F，则cos∠CAO=，cos∠DAO=,所以∠CAO=450，∠DAO=30，从而得到∠CAD=∠CAO +∠DAO =450+300=750，当两弦AC、AD在直径AB的同侧时，同理可得∠CAD=∠CAO -∠DAO =450-300=150.热点5：由于直线与圆的位置的不确定而分类讨论【例5】（2010青海西宁）如图2，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移 个单位时，它与轴相切.【例6】如图，直线与x轴，y轴分别交于点M，N（1）求M，N两点的坐标；　　　　　　（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线相切，求点P的坐标.【思路点拨】本题是一道函数与圆的综合题，注意第（2）小问涉及到分类讨论，与直线相切时的情况，本题可分为两大类，四小类，切勿漏掉，解决此类问题关键是把握标准，正确的分类.热点6：由于圆与圆的位置的不确定而分类讨论【例7】（2010山东济宁）已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3 cm，⊙O2的半径为2 cm，则O1O2的长是 cm ．【答案】1或5 AB【例8】（2010福建宁德）如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移 个单位长后，⊙A与⊙B相切．【例9】（2010山东聊城）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a，0)，半径为5，如果两圆内含，那么a的取值范围是_________．【答案】-2＜a＜2【例10】(2009年上海市)．在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为（1，0），点的坐标为（0，4），直线轴（如图7所示）．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线CM相交于点D，联结OD．（1）求的值和点D的坐标；（2）设点P在轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的⊙与⊙外切，求⊙的半径．CMOxy1234图7A1BD解：（1） ∵点A的坐标为，点与点关于原点对称，∴点的坐标为． （1分）∵直线经过点，∴，得． （1分）∵点的坐标为，直线轴，∴设点的坐标为． （1分）∵直线与直线相交于点，∴．∴的坐标为．…（1分）（2） ∵的坐标为，∴． （1分）当 时，点的坐标为； （1分）当 时，点的坐标为， （1分）当 时，设点的坐标为，∴，得，∴点的坐标为． （1分）综上所述，所求点的坐标是、或．（3） 当以为半径的圆与圆外切时，若点的坐标为，则圆的半径，圆心距，∴圆的半径． （2分）若点的坐标为，则圆的半径，圆心距，∴圆的半径． （2分） 综上所述，所求圆的半径等于或．与直角三角形有关的分类讨论热点1：【例1】已知点M（0，1），N（0，3），在直线y=2x＋4上找一点P使△MPN为直角三角形，求点P的坐标.【例2】如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值； （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的关系式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）yxAOBPM图1C1C2C3图（1）【解析】解：（1）由抛物线C1：得顶点P的为（-2，-5） ∵点B（1，0）在抛物线C1上∴ 解得，a＝ （2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G∵点P、M关于点B成中心对称∴PM过点B，且PB＝MB∴△PBH≌△MBG∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3∴顶点M的坐标为（4，5） 抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到∴抛物线C3的表达式为 yxAOBPN图(2)C1C4QEFHGK（3）∵抛物线C。