福建师范大学21秋《常微分方程》在线作业一答案参考50.docx
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福建师范大学21秋《常微分方程》作业一答案参考1. 证明：Gauss整环Z[i]关于映射 φ：a+bi→a2+b2作成一个欧氏环．证明：Gauss整环Z[i]关于映射 φ：a+bi→a2+b2作成一个欧氏环．正确答案：显然对任意αβ∈Z[i]有\r\n φ(α)=|α|2 φ(αβ)=φ(α)φ(β)．\r\n故当β≠0时令αβ-1=s+ti(st∈Q)且ab分别是最接近st的整数．于是q=a+bi∈Z[i]且\r\n\r\n从而由上知：\r\n φ(αβ-1-q)=(s-a)2+(t一b)2≤ (1)\r\n再令r=α-βq则r=0或由(1)有\r\n φ(r)=φ(α-βq=φ(β)φ(αβ-1一q)≤．\r\n因此Z[i]关于φ作成一个欧氏环．显然,对任意α,β∈Z[i],有φ(α)=|α|2,φ(αβ)=φ(α)φ(β)．故当β≠0时,令αβ-1=s+ti(s,t∈Q)且a,b分别是最接近s,t的整数．于是q=a+bi∈Z[i],且从而由上知：φ(αβ-1-q)=(s-a)2+(t一b)2≤(1)再令r=α-βq,则r=0,或由(1)有φ(r)=φ(α-βq=φ(β)φ(αβ-1一q)≤．因此,Z[i]关于φ作成一个欧氏环．2. 已知是全微分表达式．则a=( )． (A) -1 (B)0 (C) 1 (D) 2已知是全微分表达式．则a=( )． (A) -1 (B)0 (C) 1 (D) 2D用凑全微分法：由于分母是x+y的平方，故分子应凑为(x+y)及d(x+y)的形式为此考察 (x+2y)dx+ydy=(x+y)d(x+y)+yd(x+y)-(x+y)dy与(x+y)-2恰好构成全微分： 因此a=2 解2 用即可得a=2． 解3 用待定系数法，原函数必为的形式，作全微分得 比较得A=1(B=0，C=-1)，因而a=2． 3. 设f(x)在[a，b]上连续，且证明：在(a，b)内至少存在两点x1，x2，使 f(x1)=f(x2)=0设f(x)在[a，b]上连续，且证明：在(a，b)内至少存在两点x1，x2，使 f(x1)=f(x2)=0①证法1 若在[a，b]上f(x)≡0，则命题结论成立，设f(x)不恒为零，且 则F(a)=F(b)=0，又F(x)在[a，b]上连续，可导，可知F'(x)=f(x),因此 (*) 由于F(x)为[a，b]上的连续函数，且，可知必定存在一点η∈(a，b)，使F(η)=0,否则，与(*)式矛盾， 在[a，η]，[η，b]上对F(x)利用罗尔定理，可知必定存在x1∈(a，η)，x2∈(η，b)，使得 F'(x1)=f(x1)=0， F'(x2)=f(x2)=0 证法2 由题设，f(x)为[a，b]上的连续函数，可知必定存在点x1∈(a，b)，使f(x1)=0,否则不妨设在(a，b)内f(x)＞0，则与题设矛盾 设f(x)在(a，b)内不存在第二个零点，则不妨设 设g(x)=(x1-x)f(x)， 则 可知 又得出矛盾，表明f(x)在(a，b)内至少存在两个零点x1，x2 4. 在某一试验中变更条件xi四次，测得相应的结果yi示于表7－1，试为这一试验拟合一条直线，使其在最小二乘意义上最在某一试验中变更条件xi四次，测得相应的结果yi示于表7-1，试为这一试验拟合一条直线，使其在最小二乘意义上最好地反映这项试验的结果(仅要求写出数学模型)。
表7-1xi2468yi13565. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论： 设在[0，1]上f"(x)＞0，则f&39;(0)，f&39;(1)，f(1)－f(0)选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论： 设在[0，1]上f"(x)＞0，则f'(0)，f'(1)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)几个数的大小顺序为( )． (A) f'(1)＞f'(0)＞f(1)-f(0) (B) f'(1)＞f(1)-f(0)＞f'(0) (C) f(1)-f(0)＞f'(1)＞f'(0) (D) f'(1)＞f(0)-f(1)＞f'(0)B6. 称二阶导数的导数为三阶导数，阶导数的导数为阶导数 )A.正确B.错误参考答案：A7. 当x→0时，与x相比是( )． A．高阶无穷小 B．低阶无穷小 C．等价无穷小当x→0时，与x相比是( )． A．高阶无穷小 B．低阶无穷小 C．等价无穷小C当x→0时，是等价无穷小，可知选C．8. 已知函数 在x=0处连续，求a、b的值已知函数 在x=0处连续，求a、b的值因为 f(0)=1 又由题设f(x)在x=0处连续，知 即a=lnb=1 则a=1，b=e 9. 某环节的传遇函数为2s，则它的幅频特性的数字表达式是___________，相频特性的数学表达式是__________。
某环节的传遇函数为2s，则它的幅频特性的数字表达式是___________，相频特性的数学表达式是__________参考答案：. A(ω)=2ω ф(ω) =9010. 仿射变换把菱形变成________仿射变换把菱形变成________参考答案：平行四边形11. 标志变异指标是反映统计数列中以______为中心总体各单位标志值的______标志变异指标是反映统计数列中以______为中心总体各单位标志值的______平均数$差异大小范围或差离程度12. 设随机变量X～π(5)，求k，使得概率P{X=k}在分布律中最大．设随机变量X～π(5)，求k，使得概率P{X=k}在分布律中最大．泊松分布． 已知X～π(5)，则其分布律为．计算相邻两项的比值，得． 当k＜4时，pk+1＞pk；当k＞4时，pk+1＜pk．因此，最大值在k=4，或k=5时取到．计算得，即共有两项最大． 13. 设有一密度均匀的球锥体，球的半径为R，锥顶角为π／3，求该球锥体对位于其顶点处的单位质点的引力．设有一密度均匀的球锥体，球的半径为R，锥顶角为π／3，求该球锥体对位于其顶点处的单位质点的引力．{"msg":"","data":[],"voicepath":""}14. 向量组α1，α2，…，αs的秩为r，当每个向量都可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组. 若向量向量组α1，α2，…，αs的秩为r，当每个向量都可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组. 若向量组α1，α2，…，αs的秩为r，且其中有一个向量可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组？[例] 设α1=(11,13,15),α2=(22,26,30),α3=(1,1,0),α4=(2,0,0),α5=(5，5，0)，可知r(α1，α2，α3，α4，α5)=3，且α1可以由α2，α3，α5线性表出，但α2，α3，α5不为极大无关组．15. 已知基金F以利息力函数(t≥0)累积，基金G以利息力函数(t≥0)累积．若分别用aF(t)和aG(t)表示两个基金在t(t≥0)时已知基金F以利息力函数(t≥0)累积，基金G以利息力函数(t≥0)累积．若分别用aF(t)和aG(t)表示两个基金在t(t≥0)时刻的累积函数，并令h(t)=aF(t)-aG(t)，试计算使h(t)达到最大的时刻T．由题设条件有 根据h(t)定义得 h(t)=t-2t2， 由此求出． 16. 设M=f(x，y，z)是二次可微的函数且 li=(cosαi,cosβi,cosγi), i=1,2,3是三个相互垂直的方向向量．试证明： a)设M=f(x，y，z)是二次可微的函数且 li=(cosαi,cosβi,cosγi), i=1,2,3是三个相互垂直的方向向量．试证明： a) b)a) (1) 由此直接得 (2) 由于矩阵 (3) 是从正交基(i，j，k)到正交基(l1，l2，l3)的过渡矩阵，故矩阵(3)是正交矩阵，由式(2)直接得出等式a) b)先求是式(1)中的第一个等式： 类似求，再把所得三个等式相加得 利用矩阵(3)的正交性，由此直接得等式b)． 17. 设e1，e2，…，en是n维欧氏空间V的一个基.证明：如果对于V中任意两个向量α=a1e1+a2e2+…+anen，β=b1e1+b2e2+…+bnen设e1，e2，…，en是n维欧氏空间V的一个基.证明：如果对于V中任意两个向量α=a1e1+a2e2+…+anen，β=b1e1+b2e2+…+bnen，都有 〈α，β〉=a1b1+a2b2+…+anbn (6-23) 则e1，e2，…，en是V的一个标准正交基.证 因为 ei=0e1+…+0ei-1+ei+0ei+1+…+0en (i=1，2，…，n). 故由题设条件(6-23)式，就有 这就是说e1，e2，…，en是V中的正交单位向量组，因而是V的一个标准正交基.本题连同定理6.10的(2) 说明：欧氏空间的基e1，e2，…，en为标准正交基对于V中任意向量，都有. 18. 证明下列方程(组)存在唯一的稳定极限环：证明下列方程(组)存在唯一的稳定极限环：将方程组转化为二阶方程： 此为李纳方程f(x)=3x2-1，g(x)=x+x5．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(0)=-1＜0，xg(x)=x2+x6＞0，同时有唯一正零点x=1，当x≥1时F(x)单调增加，且当x→±∞时F(x)→±∞．方程存在唯一稳定极限环．$f(x)=α(x2n-β)，g(x)=γx2m-1，． 19. 仿射变换把圆变成__________。
仿射变换把圆变成__________参考答案：椭圆20. 系统的热力学能的绝对值(U)__________，但是系统发生状态变化导致的热力学能的变化值(△U)________系统的热力学能的绝对值(U)__________，但是系统发生状态变化导致的热力学能的变化值(△U)__________正确答案：不可测量、可以测量不可测量、可以测量21. 集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示( )A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合参考答案：B22. 若一个向量乘以 i，则可以理解为：A、旋转90度B、旋转180度C、乘以－1D、乘以1若一个向量乘以 i，则可以理解为：A、旋转90度B、旋转180度C、乘以-1D、乘以1正确答案： A。
