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2021-2022学年广东省汕头市礐石中学高二数学理上学期期末试题含解析.docx

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    • 2021-2022学年广东省汕头市礐石中学高二数学理上学期期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”,其内容为:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢?各穿几何?”如图的程序框图源于这个题目,执行该程序框图,若输入x=20,则输出的结果为(  )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6参考答案:C【分析】将代入,按照流程图一步一步进行计算,即可得到输出值.【详解】第1步:T=2,S=2,S<20成立,a=2,b=,n=2,第2步:T=,S=,S<20成立,a=4,b=,n=3,第3步:T=,S=,S<20成立,a=8,b=,n=4,第4步:T=,S=,S<20成立,a=16,b=,n=5,第5步:T=,S=,S<20不成立,退出循环,输出n=5,故选C.【点睛】主要考查了程序框图,属于基础题.这类型题,关键是严格按照流程图进行计算,寻找规律,从而得到对应的输出值.2. 直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为(     )A. B.1 C. D.参考答案:D【考点】直线与圆的位置关系.【专题】直线与圆.【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径,再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y+1=0的距离d,即可求出弦长为2,运算求得结果.【解答】解:圆x2+y2=1的圆心O(0,0),半径等于1,圆心到直线x+y+1=0的距离d=,故直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为 2=,故选 D.【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于中档题.3. 已知数列中,,当时,,则(    )A.         B.      C.       D. 参考答案:C略4. 将一枚质地均匀的骰子向上抛掷1次.设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则(    )A. A与B是互斥而非对立事件 B. A与B是对立事件C. B与C是互斥而非对立事件 D. B与C是对立事件参考答案:D分析:根据互斥事件和对立事件的概念,逐一判定即可.详解:对于A、B中,当向上的一面出现点数时,事件同时发生了,所以事件与不是互斥事件,也不是对立事件;对于事件与不能同时发生且一定有一个发生,所以事件与是对立事件,故选D.点睛:本题主要考查了互斥事件与对立事件的判定,其中熟记互斥事件和对立事件的基本概念是判定的关键,试题比较基础,属于基础题.5. 满足条件的复数z对应点的轨迹是(   )A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 线段参考答案:A【分析】设复数z=x+yi,结合复数模的定义可得z对应点的轨迹.【详解】设复数z=x+yi,则:,结合题意有:,整理可得:.即复数z对应点的轨迹是直线.故选:A.【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式,复数中的轨迹问题等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 过点P(a,5)作圆(x+2)2+(y﹣1)2=4的切线,切线长为2,则a等于(  )A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.0参考答案:B【考点】圆的切线方程.【专题】直线与圆.【分析】算出圆心为C(﹣2,1)、半径r=2,根据两点间的距离公式,算出圆心到点P的距离|CP|.再由切线的性质利用勾股定理加以计算,可得a的值.【解答】解:∵(x+2)2+(y﹣1)2=4的圆心为C(﹣2,1)、半径r=2,∴点P(a,5)到圆心的距离为|CP|==.∵过切点的半径与切线垂直,∴根据勾股定理,得切线长为=.解得:a=﹣2故选:B.【点评】本题考查求圆的经过点P的切线长.着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式、切线的性质与勾股定理等知识,属于中档题.7. 函数的值域为  (     )A  R           B             C        D  参考答案:D8. 用反证法证明命题:“若,那么,,中至少有一个不小于”时,反设正确的是(    )A.假设,,至多有两个小于   B.假设,,至多有一个小于C.假设,,都不小于          D.假设,,都小于参考答案:D略9. 已知是等比数列,,,则公比的值为(       )(A)             (B)                (C)2                  (D)参考答案:D10. (原创)已知函数满足,且当时, 成立,   若,的大小关系是(     )  A.    B.         C.        D.参考答案:C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若等比数列满足,则前项___      __.参考答案:12. 已知斜率为 的直线经过椭圆 的右焦点 ,与椭圆相交于 、 两点,则 的长为          .参考答案:          椭圆的右焦点为(1,0),直线的方程为,代入椭圆方程,可得,解得x=0或,即有交点为,则弦长为,故答案为.13. 已知方程  ,   m为何值时        方程表示焦点在y轴的椭圆。

       参考答案:14. 已知点P为抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影为M,点A的坐标为,则|PA|+|PM|的最小值是  .参考答案:【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程,延长PM交准线于H点,由抛物线的定义可得|PF|=|PH|,故|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣,由|PF|+|PA|≥|FA|可得所求的最小值为|FA|﹣.利用两点间的距离公式求得|FA|,即可得到|最小值|FA|﹣的值.【解答】解:依题意可知焦点F(,0),准线 x=﹣,延长PM交准线于H点,则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|,∴|PM|=|PH|﹣=|PF|﹣.∴|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣,我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可.由三角形两边长大于第三边可知,|PF|+|PA|≥|FA|,当点P是线段FA和抛物线的交点时,|PF|+|PA|可取得最小值为|FA|,利用两点间的距离公式求得|FA|=5.则所求为|PM|+|PA|=5﹣=.故答案为:.【点评】本题主要考查了抛物线的定义和简单性质,考查了考生分析问题的能力,数形结合的思想的运用.15. 命题“若,则圆过原点”的否命题是___________.参考答案:若,则圆不过原点∵若则的否命题是若则,所以“若,则圆过原点的否命题”是“若,则圆不过原点”. 10.椭圆的离心率是___________.【答案】【解析】将化为标准方程,∴,,,∴离心率.16. 过点的直线l与圆交于A,B两点,当最小时,直线l的方程为_________________.参考答案:17. 在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共     种(用数字作答).参考答案:4186【考点】D3:计数原理的应用.【分析】根据题意,至少有3件次品可分为有3件次品与有4件次品两种情况,有4件次品抽法C44C461,有3件次品的抽法C43C462,根据分类计数原理得到结果.【解答】解:根据题意,“至少有3件次品”可分为“有3件次品”与“有4件次品”两种情况,有4件次品抽法C44C461有3件次品的抽法C43C462共有C44C461+C43C462=4186种不同抽法故答案为:4186【点评】本题考查分类计数原理,本题解题的关键是注意至少有3件次品包括2中情况,不要写出三种情况的错解,即加上有5件次品,本题是一个基础题.三、 解答题:本大题共5小题,共72分。

      解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知数列的前n项为和Sn,点在直线上.数列满足,且b3=11,前9项和为153.(I)求数列的通项公式;(II)设,问是否存在m∈N*,使得成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.参考答案:(Ⅰ)由题意,得即.故当n≥2时,.当n=1时,a1=Sl=6,所以,an=n+5(n∈N*).  又bn+1-2bn+1+bn=0,即bn+2-bn+l=bn+1-bn(n∈N*),所以为等差数列,于是.   而b3=11,故因此,bn=b3+3(n-3)=3n+2,即bn=3n+2(n∈N*). (Ⅱ)①当m为奇数时,m+15为偶数.此时f(m+15)=3(m+15)+2=3m+47,5f(m)=5(m+5)=5m+25,所以3m+47=5m+25,m=11.②当m为偶数时,m+15为奇数,此时f(m+15)=m+15+5=m+20,5f(m)=5(3m+2)=15m+10,所以m+20=15m+10,m=(舍去).   综上,存在唯一正整数m=11,使得f(m+15)=5f(m)成立.19. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=﹣与x=1处都取得极值.(1)求a,b的值;(2)求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程.参考答案:【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)根据所给的函数的解析式,对函数求导,使得导函数等于0,得到关于a,b的关系式,解方程组即可,(2)求出切点坐标,利用导数几何意义求出切线斜率k,即可求解切线方程【解答】解:(1)f(x)=x3+ax2+bx,f′(x)=3x2+2ax+b,由f′()=﹣a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0,得a=﹣,b=﹣2,经检验,a=﹣,b=﹣2符合题意;(2)由(1)得f′(x)=3x2﹣x﹣2,曲线y=f(x)在x=2处的切线方程斜率k=f′(2)=8,又∵f(2)=2,∴曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y﹣2=8(x﹣2),即8x﹣y﹣14=0为所求.20. 设函数 (1)解不等式;(2)若存在不等式成立,求实数a的取值范围.参考答案:(Ⅰ);(Ⅱ)【分析】(1)先求出f(x)的表达式,得到关于x的不等式组,解出即可;(2)问题转化为:a+1>(f(x))min,求出f(x)的最小值,从而求出a的范围即可.【详解】(1)∵         综上,不等式的解集为: (2)存在使不等式成立 由(Ⅰ)知,时,时,      ∴实数的取值范围为【点睛】本题考察了绝对值不等式的解法,不等式有解问题,考察转化思想,是一道中档题.21. (12分)已知过曲线上任意一点作直线的垂线,垂足为,  且.⑴求曲线的方程;⑵设、是曲线上两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当变化且 为定值时,证明直线恒过定点,并求出该定点的坐标.参考答案:⑴  ⑵当时,直线恒过定点,当时直线恒过定点. (1)当时,即时,,所以,,所以.由①知:,所以因此直线的方程可表示为,即.所以直线恒过定点(2)当时,由,得==将①式代入上式整理化简可得:,所以,此时,直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点;所以由 (1)(2)知,当时,。

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